Cumulative, pathway and interaction effects of social indicators on child health and child care

Outro tema importante na matemática escolar é a proporcionalidade. Para Post, Behr e Lesh (1994), a proporcionalidade envolve um raciocínio qualitativo e quantitativo, o que, de certa forma, pode gerar dificuldades nos alunos principiantes, os quais tendem a ir direto para as contas, sem antes analisar qualitativamente o que acontece. Os problemas de proporcionalidade não se resumem ao uso dos algoritmos que geralmente são empacotados sob o rótulo “regra de três”, mas envolve vários procedimentos analíticos, muitos deles utilizados ou com reflexos diretos na vida social mais ampla dos alunos. A proporcionalidade é importante em álgebra, além disso, porque se associa ao estudo das funções lineares, que servem de modelo matemático para as relações de proporcionalidade entre grandezas e englobam, assim, muitas ocorrências físicas. Segundo os autores, a ideia de proporcionalidade pode estar implícita nos gráficos e tabelas, além das fórmulas do modelo linear, o que requer, em qualquer caso, alguma forma de conhecimento algébrico.

De acordo com Post, Behr e Lesh (1994), o algoritmo padrão para se resolver um problema de proporcionalidade (essencialmente a “multiplicação cruzada”) não faz muito sentido no “mundo real” e sua introdução formal, sem o devido cuidado com as ideias qualitativas associadas, pode gerar dificuldades na aprendizagem. O processo de multiplicação cruzada é sustentado por uma lógica nada evidente e, por isso, não gera uma compreensão imediata da razão pela qual o algoritmo realmente funciona. Os autores sugerem sequências de ensino alternativas e também complementares à regra de três, no trabalho com a noção de proporcionalidade. Segundo eles, para introduzir a proporcionalidade, podemos começar com problemas de cálculo de taxas unitárias. As taxas unitárias nos informam sobre um valor determinado por uma divisão. A partir daí pode-se facilmente calcular o valor correspondente a k unidades, através da multiplicação por k. O problema a seguir exemplifica uma questão de proporção que se encontra no estudo de Post, Behr e Lesh (1994): Sally pagou R$ 4,50 por 5 disquetes. Quanto ela pagaria por uma dúzia? (p.95). Os autores chamam atenção que, para a resolução, neste caso, não é necessário, evidentemente, montar o algoritmo da regra de três, como é usualmente trabalhado esse tipo de problema. Basta, num raciocínio que pode ficar facilmente sob controle do estudante, encontrar o preço unitário e multiplicá-lo por 12. Observe-se que as contas são praticamente as mesmas, mas evita-se um algoritmo que se sustenta em uma lógica nem sempre (de fato, quase nunca) transparente para o aluno.

Existem várias formas de resolução de problemas de proporcionalidade que podem ser trabalhadas com os alunos, sempre levando em conta as iniciativas deles, mas o importante é que se chegue ao algoritmo da regra de três (simples ou composta), com base

no entendimento. Todos esses métodos podem ajudar a compreensão da lógica do algoritmo de resolução dos problemas de proporcionalidade, ainda que cada um deles tenha suas limitações práticas, o que acaba por recomendar a eventual abordagem através do algoritmo. Os autores recomendam também a abordagem gráfica da proporcionalidade direta entre duas grandezas, descrita por uma função linear, cujo gráfico é uma reta no plano cartesiano, passando pela origem. A inclinação desta reta aponta o comportamento no “longo prazo” ao mesmo tempo em que dá a variação de uma das grandezas quando a outra aumenta de uma unidade.

Post, Behr e Lesh enfatizam a importância da compreensão em detrimento da simples reprodução de algoritmos. Mas, para enfatizar a compreensão em detrimento da simples reprodução dos algoritmos é necessário que o professor esteja preparado para oferecer diferentes abordagens e para criar e conduzir tarefas e atividades que levem a essa compreensão, ou seja, precisa deter conhecimentos profissionais docentes associados a essa demanda da prática escolar. Eis as palavras dos autores sobre esse ponto:

O tipo de análise realizado aqui sempre pode ser utilizado para reinterpretar o algoritmo padrão ou a abordagem da multiplicação em cruz, seja como uma taxa unitária, seja como uma estratégia de fator. Isso o tornará mais compreensível para os alunos. Na realidade, quanto mais os alunos entenderem, mais perceberão a matemática como uma teia intrincada, e sempre em expansão, de ideias aprendidas anteriormente e inter-relacionadas, e não como uma coleção de regras arbitrárias, aparentemente sem qualquer relação ou fundamento lógico (Post, Behr e Lesh, 1994, p.101)

Isso parece repetitivo, mas é importante destacar que não adianta apenas recomendar a abordagem pela compreensão, é preciso estar suficientemente preparado (isto é deter conhecimentos específicos) para executá-la efetivamente em sala de aula. São esses saberes que se espera que o futuro docente incorpore num curso de formação inicial. São saberes que vão além do que se costuma chamar de “conteúdo matemático”, mas que não se reduzem, por outro lado, a um “como ensinar” genérico. Seria uma preparação que envolve simultaneamente o trabalho docente escolar com determinado tópico matemático, o que implica uma unidade funcional entre diversos tipos de saberes todos vinculados entre si e vinculados com a disciplina escolar “matemática”, o que tem sido condensado na forma de alguns nomes como Mathematical Knowledge for Teaching, MKT (Ball), conhecimento matemático específico para o ensino escolar (ver Ferreira, 2014) e ainda matemática do professor, como tem sido referido por Romulo Lins em alguns de seus trabalhos. É preciso deter conhecimentos importantes e fundamentais para ser capaz de levar os alunos a analisar, conjecturar, testar, avaliar etc., como partes da produção do

saber matemático na escola. Não basta estar aberto às recomendações curriculares ou ter “boa vontade”.

Assim vemos que o trabalho com a noção de proporcionalidade, de acordo com as demandas da prática expressas pela literatura especializada, não é contemplado no currículo de formação inicial do professor de matemática da UFMG.