3. Revisión bibliográfica sobre la programación metabólica de la obesidad por alteraciones
3.6. El crecimiento compensatorio como sistema agravante de la programación metabólica
Tendo de nido o tratamento dos uxos nas interfaces para uma malha composta, um algoritmo para a malha composta utilizando o Ciclo − V pode ser introduzido. O algo- ritmo descrito aqui é uma extensão lógica do algoritmo multigrid descrito na Seção 5.1.3. O algoritmo usado aqui é o mesmo apresentado por Mantin (1998) e Roma (1996) e des- creve de forma simpli cada a aplicação do Método Multigrid-Multinível para uma variável centrada, considerando escoamentos incompressíveis. Algoritmos similares também tem sido usado para escoamentos compressíveis (DUDEK, 1996).
Como já citado anteriormente a equação que se deseja resolver é
Aφ = B, (5.31)
ou referindo-se as discretizações apresentadas acima
L(φ) = B, (5.32)
onde L(φ) é o operador Laplaciano.
Para cada nível de re namento l = 1 a l = ltop, os valores de φl, Bl são armazenados
em cada nível, sendo que Bl é de nido somente em Ωl− Ωl−1, ou seja, apenas na região
em que a malha grossa não está coberta pela malha na. Considerando que a formulação
de equação residual está sendo usada, para cada nível é necessário de nir o resíduo Rl e
a correção el em todo domínio, inclusive na região coberta pela malha na, ou seja, na
região composta .
Como citado na seção anterior, o operador Laplaciano na malha composta é de nido
na região distante da interface Ωl, tratado da mesma forma que na malha uniforme e na
região ao longo da interface na/grossa δΩl, o qual é de nido em função da diferença de
uxo. Vale ressaltar, que as células fantasmas ao redor da interface na/grossa é obtida por meio de interpolações quadráticas entre as malhas grossa e na.
Da mesma forma que na malha uniforme, é necessário também um operador de relaxa- ção o qual realiza η relaxações na equação de Poisson. Assim de ne-se GSRB(el, Rl, hl)
em Ωl, o qual realiza η relaxações com o método Gauss-Seidel Red-Black em um dado
nível l. Este operador não tem informação nenhuma sobre o outro nível ou sobre ou- tra malha do mesmo nível, entretanto deve-se utilizar os operadores e as condições de contorno apropriadas para realizar a relaxação em cada nível.
Para cada nível, o resíduo possui duas componentes. Primeiro, como na malha uni- forme, o resíduo no nível l que advém de um resíduo do nível mais no por meio do processo de restrição. Assim, este resíduo é de nido apenas na região do nível l que está coberto pelo nível l+1, ou seja, em P (Ωl+1
l )o qual de ne a região de projeção do nível l+1 em l. Em adição a este resíduo, há o resíduo de nido na região que não está coberta pela
malha do nível mais no, ou seja, em Ωl− Ωl+1. Baseando-se nisto, tem-se os seguintes
cálculos de resíduos:
• No nível mais no, para l = ltop
Rltop ← Bltop− Lltop(φltop). (5.33)
• Na região do nível l coberto pelo nível l + 1
Rl ← Rl+1l (Rl+1− Ll+1(el+1)). em P (Ωl+1l ), (5.34)
• Na região do nível l que não está coberto pelo nível l + 1
Rl← Bl−1− Ll(φl), em Ωl− Ωl+1. (5.35)
O Algoritmo 5.2, o qual apresenta o Método Multigrid-Multinível para uma quanti-
dade máxima de níveis igual a ltop, é estruturado da mesma forma que o Algoritmo 5.1
para malha uniforme, onde o processo se inicia no nível mais no l = ltop. Nas malhas
progressivamente mais grossas realiza-se a relaxação, resolve-se a equação residual até o nível l = 1 e nalmente em sentido contrário interpola e relaxa novamente. A diferença é que para este caso, a forma como os operadores são aplicados não é a mesma para todo o nível l. Os processos de interpolação e atualização da correção também são idênticos ao aplicado na malha uniforme.
Quando se considera variáveis deslocadas, não mais faz sentido em se falar em uxos nas interfaces na/grossa. Assim, nenhum tratamento diferenciado é aplicado para o Laplaciano na interface na/grossa e a mesma estrutura apresentada no Algoritmo 5.2 é aplicada para malhas com re namento localizado utilizando variáveis deslocadas.
5.2: Multigrid-Multinível para o Ciclo-V
for l = ltopa 1 do if l = ltop then
elltop = 0
Calcule L(φ), em Ωltop
Rltop ← Bltop− L(φ)ltop em Ωltop
elltop ← RBGS(Alltop, elltop, Rlltop) em Ωltop
else el= 0 Calcule L(φ)l, em Ωl Calcule L(e)l, em δΩl+1 Rl ← Bl− L(φ)l, em Ωl− Ωl+1 Rl ← Rl+1 l (Rl− L(el)), em P (Ω l+1 l ) el← RBGS(Al, el, Rl) em Ωl end if end for for l = 2 a ltop do el ← el+ Pl−1 l (el−1) el ← RBGS(Al, el, Rl) φl ← φl+ el end for
Capítulo 6
Resultados e Discussão
Neste capítulo, são apresentados os resultados de validação das implementações e de estudos de comportamento físico de escoamentos, utilizando-se modelagem matemática e simulação numérica. A solução do modelo matemático foi feita utilizando-se malhas uniformes e malhas adaptativas bloco-estruturadas, re nadas localmente, aplicadas à si- mulação de escoamentos incompressíveis transientes. Escoamentos bifásicos são também simulados via um Método Híbrido Front-Tracking/Front-Capturing.
A primeira seção destaca os elementos matemáticos usados para avaliar o comporta- mento da metodologia em termos quantitativos. Nela a ordem de convergência do método empregado é analizada. No intuito de validar as soluções das equações de Navier-Stokes com a metodologia descrita nos capítulos anteriores, simulações numéricas são realizadas para uma cavidade, de forma que, a partir do regime permanente, os resultados são com- parados com resultados numéricos encontrados na literatura, os quais são apresentados na Seção 6.2. Na Seção 6.3, uma primeira análise é feita sobre a regularização dos pon- tos lagrangianos, que compõem uma fronteira imersa. Resultados qualitativos são então apresentados para interfaces submetidas a elevadas deformações.
Resultados numéricos são obtidos para bolhas ascendentes e comparados com o dia- grama de Clift et al. (1978), sendo apresentados na Seção 6.4. Essa seção termina com os resultados obtidos para um caso de múltiplas bolhas.
6.1 Normas e Estudo de Convergência
No presente trabalho, são apresentadas simulações bidimensionais em um domínio re-
tangular Ω = [a, b] × [c, d] ⊂ R2. Malhas estruturadas regulares, tanto uniformes como
compostas são aplicadas e as variáveis do uido são discretizadas numa célula MAC (FOR- TUNA, 2000). Nesta discretização, as variáveis que descrevem os campos escalares estão localizadas nos centros das células computacionais, enquanto que as componentes dos campos vetoriais estão localizadas nas suas faces.
Antes da apresentação dos resultados, é necessário descrever como a norma é calculda em uma malha uniforme e em uma malha composta e como o estudo de convergência é realizado.
Em uma malha MAC, três conjuntos de pontos podem ser diferenciados: o conjunto de pontos onde as variáveis escalares do uido são calculadas, Ωh
p; o conjunto de pontos onde
a primeira componente das variáveis vetoriais do uido são calculados, Ωh
u e o conjunto
de pontos onde a segunda componente das variáveis vetoriais são calculados, Ωh
v.
As normas euclidiana k · k2 e in nito k · k∞ para as variáveis escalares φ podem ser
de nidas em Ωh p por kφk2 = ³ X k∈Ωh p |φk|q∆x∆y ´1/2 , (6.1) kφk∞= max k∈Ωh p |φk|, (6.2)
onde φk é avaliado no centro da célula k, cujas dimensões são ∆y e ∆x.
Para as componentes de uma variável vetorial de nida numa malha composta, e.g.
a componente u do vetor velocidade em Ωh
u, as normas euclidiana e in nito são obtidas
em função de pesos especí cos ai, dependentes da localização da variável na malha
composta. Essas expressões são dadas por kuk2 = ³X i∈Ωh u |ui|2ai ´ , (6.3) ku|∞ = max i∈Ωh u {|ui|}, (6.4) onde, ai =
( ∆x∆y, na malha grossa l,
∆x∆y
r2 , na malha na l + 1,
(2r+1)∆x∆y
r2 , nas interfaces na/grossa,
sendo r = 2 a razão de re namento entre os níveis l e l + 1. As normas euclidiana e in nito para a componente v são de nidas de forma análoga à Eq. (6.3) e Eq. (6.4).
Para analisar numericamente a convergência do método, é suposto que a solução for- necida por ele tenha expansão assintótica nas potências do espaçamento da malha. Nas malhas uniformes empregadas, por exemplo, com h = ∆x = ∆y, a função escalar φ tem solução numérica φ(x, t, h) a qual, por hipótese, pode ser escrita na forma assintótica
φ(x, t, h) = φe(x, t) + Eq(x, t)hq+ Eq+1(x, t)hq+1+ . . .
para h su cientemente pequeno, onde φe(x, t)é a solução exata e os coe cientes Ei(x, t), i = q, q + 1, . . ., são independentes de h.
Se a solução exata é conhecida, após ter sido encontrada a solução aproximada φ(x, t, h) para algum h, calcula-se para o mesmo ponto (x, t) a aproximação φ(x, t, h/2). Assim obtém-se, em primeira aproximação,
φ(x, t, h) ≈ φe(x, t) + Eq(x, t)hq, (6.6)
φ(x, t, h/2) ≈ φe(x, t) + Eq(x, t)h
q
2q. (6.7)
Das duas aproximações anteriores, os erros entre a solução exata e as aproximadas para malhas de espaçamentos h e h/2, satisfazem a razão
re= kφ(x, t, h) − φe(x, t)k kφ(x, t, h/2) − φe(x, t)k ≈ 2
q, (6.8)
com k · k representando a norma dada por (6.1) ou (6.2). Para obter a ordem de conver- gência q em (6.8), basta tomar
log2re ≈ q. (6.9)
Fazendo-se o uso de (6.8), tem-se que a razão entre os erros, nas malhas de espaça- mentos h e h/2, para métodos de ordem q = 1, 2 e 3, devem ser aproximadamente 2, 4 e 8, respectivamente.
Esta estimativa é usada nos testes apresentados a seguir para determinar a ordem de convergência das variáveis discretas que compõem o modelo matemático.