se perde e o grupo fica à deriva em alto mar. O
grupo possui apenas um aparelho de rádio, que
emite somente sinal UHF (ultra-alto Freqüência),
impossibilitando a comunicação verbal. Em terra
organiza-se uma equipe de resgate, que segue em
um avião que, além do tempo limitado para o so-
brevôo, possui somente um rádio com capacidade
para captar sinais emitidos do barco, também em
UHF. Mas não existe, na equipe de resgate, ne-
nhum profissional especializado no exercício de
resgate. Há, porém, um professor de Matemática
que, utilizando-se do conhecimento matemático,
contribuiu para que o resgate fosse concretizado.
Em sua opinião, como isso ocorreu?
Na tentativa de busca dos problemas enfrentados, o homem, em muitas situações, encontrou na matemática meios que viabilizaram so- luções. É comum, em algumas regiões africanas, os pescadores seca- rem peixes dispondo-os em volta de uma fogueira para que todos se aqueçam por igual, procurando colocá-los ao longo de uma curva, todos à mesma distância do fogo. São os conhecimentos matemáti- cos, mais precisamente o conhecimento geométrico, contribuindo pa- ra a solução de problemas.
De início, a geometria foi empregada na medição dos campos de cultivo e nas primeiras construções de edifícios. Os seus avanços ocor- reram a partir de estudos desenvolvidos pelos gregos, enfatizando o aperfeiçoamento de trabalhos de medidas de outros povos.
Historicamente, mudanças acontecem e novos conceitos surgem, como, por exemplo, o método de Descartes, que introduz o sistema de coordenadas – que vocês já conhecem - e o de representar, em forma de curva plana, qualquer equação algébrica de duas incógnitas, que vocês verão na seqüência deste texto. Dessa forma, Descartes introduz no cenário da Geometria, a Geometria Analítica. Na concepção carte- siana, a Geometria Analítica, aplicando o método das coordenadas, es- tuda os objetos geométricos por meios algébricos.
Temos contato com objetos do cotidiano, usados pelas pessoas, que apresentam formato de uma circunferência. O movimento dos ponteiros de um relógio segue um movimento circular e desenha, em seu percurso, uma circunferência. Outros objetos, como moedas e CDs, muito presentes em nosso meio, também apresentam o mesmo formato.
Em tantas situações do dia-a-dia, deparamo-nos com rodas ou rota- ções com características que nos lembram a circunferência.
O que é a circunferência? Quais são seus elementos?
Vamos procurar respostas! Elas contribuirão para solucionar nosso problema principal.
Imaginamos um ponto, figura 1, e supomos que ele seja fixo. Nessa situação, podemos admitir que um conjunto de pontos, em um plano, que eqüidistam (se você não lembra... dicionários são ferramentas efi- cientes) do ponto fixo, seja uma circunferência. O ponto fixo é o cen- tro da circunferência.
Figura 1: idéia de circunferência
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Qual Matemática está presente no resgate do barco? É possível termos uma idéia sobre alguns elementos da circunferência. Observe os dese- nhos da figura 2 e faça um exercício de linguagem matemática, procurando definir estes ele- mentos, a partir da observação das figuras.
Agora, compare a linguagem de suas definições com a linguagem padrão da Matemática, justifican- do com respostas escritas.
O diâmetro é uma corda? Todo diâmetro é uma corda? Toda corda é um diâmetro?
Os pontos pertencentes ao diâmetro pertencem à circunferência? Os pontos pertencentes à circunferência pertencem ao diâmetro? Qual é a sua idéia de arco?
O arco é um segmento de circunferência?
No seu ponto de vista, a afirmação “O arco possui apenas dois pontos” é falsa ou verdadeira? Os pontos de um arco pertencem também à circunferência?
Circunferência possui lado de dentro e lado de fora? Possui pontos internos e pontos externos? O que significa, para você, “lado de dentro” e “lado de fora”?
Um segmento que sai do ponto médio da corda e vai a um ponto qualquer da circunferência pode ser considerado uma flecha?
ATIVIDADE
Figura 2: representação de elementos da circunferência
Dando seqüência ao nosso trabalho, vamos relembrar um conceito importante: lembra do Teorema de Pitágoras?
No contexto de estudo que envolve circunferências não podemos deixar de abordar a Equação Reduzida da Circunferência e Equação Geral ou Desenvolvida da Circunferência, pois as mesmas se revelam importantes para realizarmos operações com ou sobre elementos da circunferência.
Vejamos:
Figura 3: circunferência no plano cartesiano
Observe a figura 3 e procure in- terpretá-la, acompanhando os pas- sos abaixo, para chegar à cons- trução que se obterá da “equação reduzida” de uma circunferência.
Figura 4: triângulo retângulo transladado da circunferência do Plano Carte- siano da figura 3
Se você observar com atenção, perceberá que a figura 4, translada- da da Figura em destaque e interna à circunferência no Plano Cartesia- no, representa um triângulo retân- gulo. Assim, usando o conhecido Teorema de Pitágoras, tem-se:
(PC)2 = (AC)2 + (PA)2
A distância do ponto P ao pon- to C é o raio da circunferência, por- tanto podemos chamar o segmen-
to de r.
A distância do ponto A ao pon- to C é chamada de (x – a) e a dis- tância do ponto P ao ponto A é chamada de (y – b).
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Qual Matemática está presente no resgate do barco? Portanto, uma circunferência que possui um ponto P(x,y),
um centro C(a,b) e raio r, sendo r > 0, terá a equação reduzida
r2 = (x - a)2 + (y - b)2.
a) No caso de termos o centro da circunferência coincidindo com a origem do plano cartesiano, qual será a equação reduzida da circunferência? Demonstre-a.
b) Utilizando as informações contidas no desenvolvimento deste trabalho, e sabendo que para ob- ter a equação da circunferência precisamos da coordenada do centro e a medida do raio, encontre a equação reduzida da circunferência de centro em (-1, 4) e raio de 4 cm.
ATIVIDADE
Na linguagem matemática, o outro tipo de equação da circunferên- cia é denominada de Equação Geral ou Desenvolvida da Circunferên- cia. Essa equação é obtida a partir da equação reduzida da circunfe- rência r2 = (x - a)2 + (y - b)2.