A cinemática é o estudo do movimento sem considerar as forças envolvidas, segundo a configuração da maquina é possível identificar dos tipos de cinemáticas: a primeira chamada trivial agrupando ma- quinas simples onde cada junta é localizada ao longo de um eixo cartesiano, facilitando o modelamento matemático. O segundo tipo é as maquinas com cinemática não trivial como robôs, onde cada junta não corresponde com as coordenadas cartesianas, desta forma é necessário usar funções matemáticas para estabelecer a relação (GUPTA; YU, 2001). Por conseguinte, o estudo da cinemática (não trivial) num ma- nipulador industrial é a análise matemática da movimentação espacial do robô em relação a um sistema de referência, especificamente a relação entre a posição e orientação do efetuador do manipulador. A movi- mentação da estrutura do robô é o produto de movimentos elementares de cada elo em respeito ao anterior (SICILIANO et al., 2008).
A estrutura geral de um manipulador industrial é serial ou possuí uma cinemática aberta, termo usado quando existe uma sequência de elos ligados formando uma cadeia com dois extremos. Enquanto a ci-
nemática fechada é composta de uma sequência de elos formando um ciclo ou laço (CRAIG, 2005). No contexto industrial, o manipulador deve ser analisado em um espaço de três dimensões com a posição e a orientação, de modo que uma cinemática aberta para um manipulador tenha normalmente seis graus de liberdade. Com menos de seis DOF o robô não terá a capacidade de atingir todos os pontos em seu ambi- ente de trabalho, porém, se existem mais de seis graus de liberdade, aumentará a dificuldade de controlar o manipulador (SPONG; HUTCHINSON; VIDYASAGAR, 2005).
Para o estudo da cinemática de um manipulador industrial existem duas perspetivas, a primeira é a cinemática direta, responsável por especificar a posição e orientação do efetuador, em respeito a um sis- tema de coordenadas de referência, conhecendo os valores articulais do manipulador. Enquanto a segunda perspetiva é a cinemática inversa, responsável por determinar os valores articulais das juntas conhecendo a posição e orientação do efetuador (BARRIENTOS, 2007). Na Figura 2.12 é apresentada a relação do estudo cinemático para manipuladores.
Figura 2.12: Sistemas de origem segundo a convenção DH Fonte: (CRAIG, 2005)
2.6.2.1 Cinemática Direita
Um robô é integrado de elos ligados entre si através de juntas, determinando uma cadeia cinemática entre um sistema de referência vinculado à base do manipulador, e a localização dos elos em respeito ao sistema de referência da base. Em consequência a análise da cinemática direta do manipulador é des- crita matematicamente achando uma matriz de transformação homogênea T , a qual relaciona a posição e orientação do efetuador segundo o sistema de referência inerente à base do robô (BARRIENTOS, 2007).
A posição de um corpo rígido no espaço é expressado fazendo referência a um sistema de coordenadas fixo em relação a um ponto específico do corpo rígido. Enquanto a orientação do mesmo é expressada em termos dos vetores unitários do sistema de coordenadas ligado ao corpo rígido com a referência do sistema de coordenadas fixa. Para descrever matematicamente um elemento do manipulador em termos de posição e orientação é necessário associar um sistema de coordenadas, permitindo a relação matemática com um sistema de coordenadas fixa (CRAIG, 2005). Na Figura 2.13 são apresentados sob a convenção do sistema cartesiano, a descrição matemática da orientação e posição de um elemento do manipulador associado a um sistema fixo de referência (frame).
Figura 2.13: Posição e orientação de um elemento físico a) Sistema de coordenadas fixo; b) Sistema coordenadas móvel
Fonte: (SICILIANO et al., 2008)
Para facilitar a relação entre dois sistemas de coordenadas que relaciona a posição e a orientação de um objeto no espaço é usado o conceito de matriz de transformação homogênea T (SICILIANO et al., 2008). Em robótica estas representações são usadas para relacionar dois elos consecutivos, e a representação geral desta matriz é apresentada na Equação 2.1.
T = " Rotação Translação Perspectiva Escala # (2.1) A representação de uma matriz de transformação homogênea para relacionar dois ou mais elos de um manipulador robótico, considerando a posição e orientação em referência a um sistema de coordenadas fixas, é apresentado na Equação 2.2.
H10= nx sx ax px ny sy ay py nz sz az pz 0 0 0 1 = " n s a p 0 0 0 1 # (2.2)
Onde os vetores n, s e a representam a orientação do sistema de coordenadas móvel x1, y1, z1, em
referência a um sistema fixo o0x0y0z0. O vetor p representa a posição do sistema móvel em relação ao
sistema fixo de referência. Para facilitar a análise matemática da cinemática direta é necessário relacionar uma variável para cada uma das juntas do manipulador (SPONG; HUTCHINSON; VIDYASAGAR, 2005).
Desta forma, para cada junta iné associado a variável qidependendo do tipo de junta, como é apresentado
a seguir: qi = θi, se a junta i é de revolução di, se a junta i é prismatica
Para deduzir a cinemática inversa de um manipulador industrial é necessário desenvolver as equações da configuração cinemática. No caso do escopo do presente documento, é considerada a configuração de
robôs antropomórficos onde as variáveis de junta (qi) entre os elos são ângulos de rotação. É necessário
um procedimento sistemático para a análise matemática da configuração cinemática do manipulador. A convenção comumente usada para a seleção de sistemas de referência em aplicações robóticas é chamada
Denavit-Hartenberg, ou notação DH. Neste procedimento cada matriz de transformação homogênea Ai
é representada como resultado de quatro transformações básicas apresentadas na Equação 2.3 (SPONG; HUTCHINSON; VIDYASAGAR, 2005).
Ai = Rotz,θiT ransz,diT ransx,aiRotx,αi
Ai =
cos(θi) −sen(θi)cos(αi) sen(θi)sen(αi) aicos(θi)
sen(θi) cos(θi)cos(αi) −cos(θi)sen(αi) aisen(θi)
0 sen(αi) cos(αi) di 0 0 0 1 (2.3)
Onde as variáveis ai, αi, di θi são parâmetros da junta e do elo i. Geralmente são intitulados como:
longitude do elo; torção do elo; compensação do elo e ângulo da junta, respectivamente (SPONG; HUT- CHINSON; VIDYASAGAR, 2005). É necessário identificar os valores destas variáveis para gerar as ma-
trizes Ai de cada um dos graus de verdade do manipulador. Na Figura 2.14 é apresentada a distribuição
das variáveis DH dos elos associados a junta i.
Figura 2.14: Definição do sistema de coordenadas segundo DH Fonte: (CRAIG, 2005)
É apresentada a seguir a definição de cada uma das variáveis DH, facilitando a dedução dos valores (CRAIG, 2005):
• ai, distância entre ˆZie ˆZi+1, ao longo do ˆXi
• αi, ângulo entre ˆZie ˆZi+1, ao longo do ˆXi
• di, distância entre ˆXi−1e ˆXi, ao longo do ˆZi
• θi, ângulo entre ˆXi−1e ˆXi, ao longo do ˆXi
O procedimento apresentado anteriormente permite deduzir os valores da matriz de transformação
homogênea A0
n, fazendo uma associação ao sistema de coordenadas do efetuador em relação ao sistema de
referencia de um manipulador com n graus de liberdade. 2.6.2.2 Cinemática Inversa
Na Subsubseção 2.6.2.1 foi considerado o problema para deduzir matematicamente a posição e orien- tação do efetuador de um manipulador industrial em relação a sua base. Nesta seção é descrito o proce-
dimento para obter o valor das variáveis cinemáticas do manipulador (qi) com base nas coordenadas de
posição e orientação do efetuador. Existem dois métodos semelhantes para obter a solução da cinemática inversa do manipulador, o algebráico e geométrico. Os métodos diferem só da perspectiva de análises, segundo a configuração cinemática do manipulador (CRAIG, 2005).
Para o escopo do presente trabalho é apresentada a definição do método algebráico para obter as variá- veis cinemáticas do manipulador, onde é possível encontrar termos analíticos com expressões polinômicas de quarto grau ou menores. A perspectiva algebráica consiste em comparar as equações da representação geral da matriz de transformação homogênea (Equação 2.2), e a matriz de transformação homogênea re- sultante da configuração cinemática do manipulador com a notação DH. Desta forma é possível ter um máximo de doze equações para seis incógnitas ou variáveis articulais, três variáveis referentes à posição e as restantes três associadas à orientação do efetuador.