Ao longo das três edições de Scientific Reasoning, Howson e Urbach depuraram continuamente a apresentação do enfoque bayesiano para o raciocínio científico. Embora os aspectos principais tenham sido mantidos a cada reformulação, há diferenças cuja explicitação é necessária, inclusive como forma de melhor conhecer a evolução do bayesianismo à medida que seus argumentos foram submetidos ao exame crítico de filósofos e cientistas.
Um primeiro ponto digno de registro é que, na edição de 2006 de Scientific
Reasoning, Howson e Urbach passaram a aceitar os conhecidos argumentos elaborados
por De Finneti contra o chamado princípio ou lei da adição de probabilidades (principle
of countable additivity). Embora não afete a apresentação do argumento bayesiano, a
modificação de posição é relevante, uma vez que se trata de um princípio que, do ponto de vista matemático, é considerado tão fundamental para o Cálculo de Probabilidades quanto os seus demais axiomas, muito embora possa ser questionado filosoficamente.
O segundo ponto, que será elaborado na seção seguinte, diz respeito à condicionalização com base no Teorema de Bayes. Na edição de 1993 de Scientific
Reasoning, Howson e Urbach adicionaram um capítulo que estava ausente na edição de
1989 – e que veio a ser retirado na edição de 2006 -, no qual examinam uma série de questões fundamentais do ponto de vista da condicionalização. Ao examiná-las, o propósito de Howson e Urbach era, conforme ficará claro a seguir, mostrar que a análise que propõem é válida mesmo no caso em que a atualização de probabilidades posteriores não observe a regra da condicionalização bayesiana. Com isso, procuraram evidenciar que o enfoque bayesiano está fundamentado na ficção de um cientista ideal, não podendo ser tomado como uma descrição da prática diária nos laboratórios. O fato de que cientistas não se comportem como o investigador ideal bayesiano não invalida a aplicação do enfoque à prática da investigação científica.
Considerem-se dois eventos mutuamente exclusivos e associados com um experimento aleatório. Seja a união desses dois eventos. Suponha que o
experimento em questão seja repetido um grande número de vezes e produza, assim, uma série de tentativas sob condições idênticas. Seja n o número total de tentativas, e
47 sejam n( , n( e n( o número de tentativas dos eventos e , respectivamente. Se, para determinada tentativa, obtemos A, então isso significa que se obteve ou , mas nunca ambos, uma vez que se trata de eventos mutuamente exclusivos. É evidente que
n( = n( n( e também que
Ocorre que, para n suficientemente grande, cada um dos termos acima, que expressa a frequência relativa para , , passa a coincidir com as probabilidades respectivas P( , P( ) e P( . Nessa situação, segue que
P( = P( ) + P(
De forma mais geral, é possível obter a seguinte formulação, que corresponde precisamente à chamada lei, princípio ou axioma da adição de probabilidades:
(⋃
) ∑
A fórmula acima pode ser entendida da seguinte forma: se , , , ... são um conjunto de proposições mutuamente excludentes no domínio P e a proposição “uma das proposições é verdadeira” está também incluída em P, então a probabilidade total é igual à soma . Pode-se creditar a Kolmogorov boa parte do status atribuído à lei da adição das probabilidades. De fato, o matemático russo incluiu a referida lei como um dos axiomas fundamentais do cálculo das probabilidades em uma famosa monografia de 1950. Com isso, Kolmogorov fez do cálculo de probabilidades uma extensão da teoria matemática da medida, que se tornou desde então o paradigma dominante para entender probabilidades.
Howson e Urbach ressaltam que considerações matemáticas explicam, em grande medida, a adoção do axioma da adição como fundamento do cálculo de probabilidades. Sem esse axioma, seria extremamente difícil, por exemplo, apresentar certas versões do teorema do limite no cálculo de probabilidades. Eles asseveram, porém, que não obstante tais considerações, a razão fundamental para se adotarem axiomas é que eles permitem formular argumentos válidos. Independentemente da interpretação dada a esses axiomas, suas consequências devem ser, necessariamente,
48 verdadeiras. No caso específico do axioma da adição das probabilidades, haveria, segundo Howson e Urbach, boas razões para considerá-lo, em determinadas situações, falso.
Ao se medir probabilidades ou tendências como frequências relativas que tendem a um limite, não há nenhuma razão para considerar verdadeiro o axioma, já que tais frequências relativas, diferentemente das frequências em amostras limitadas, nem sempre estão a ele sujeitas. Especificamente, no caso de determinadas ocorrências que tendem a acontecer apenas um número limitado de vezes, o limite da frequência correspondente é zero no caso de o número de tentativas tender ao infinito.
De Finetti indicou (1972, p. 86) ser perfeitamente razoável, sob determinadas condições, atribuir probabilidade zero a cada um dos membros de uma soma infinita de partições exaustivas do universo total de possibilidades, embora isso vá de encontro ao axioma, uma vez que a probabilidade total do universo de possibilidades deve ser 1.
O argumento de Howson (2006, p. 28) é, assim, que em diversas ocasiões há boas razões para atribuir o valor uniforme zero a cada um dos resultados possíveis e mutuamente exclusivos de um universo de possibilidades. Tal possibilidade é, porém, vedada pelo axioma, o que faz que o analista seja forçado a adotar uma distribuição de probabilidades equivocada. Na verdade, ele sublinha que o axioma somente é claramente aplicável no caso de as probabilidades da partição do espaço de resultados possíveis formar uma sequência que converge para o valor 1, como, por exemplo, a progressão + + + ...
Que motivo teria levado Howson e Urbach a introduzir uma seção específica em
Scientific Reasoning para rejeitar a lei da adição de probabilidades? Uma primeira
explicação é que a rejeição do axioma constitui uma evolução importante do ponto de vista teórico que aproxima Howson e Urbach ainda mais de De Finnetti. De Finnetti foi um dos principais idealizadores da interpretação subjetivista das probabilidades. Seus escritos são a base sobre a qual repousa a exposição do bayesianismo levada a cabo por Howson e Urbach.
Há, porém, uma segunda razão para esta seção, que é mais relevante. Vários bayesianos, como Jaynes e Williamson, nunca estiveram completamente à vontade com a interpretação subjetivista das probabilidades, tendo buscado identificar critérios
49 "objetivos" para a atribuição das probabilidades prévias.19 Um desses critérios é, precisamente, o axioma da adição das probabilidades. Ao rejeitar esse axioma, Howson e Urbach estão dando um primeiro passo para negar a possibilidade de constranger a liberdade do investigador para atribuir probabilidades prévias. Com isso, eles reafirmam seu entendimento da noção de probabilidade como valor de crença e, mais especificamente, como disposição do pesquisador para apostar na veracidade da hipótese, como proposto por De Finnetti.