Re-Calibration

que depende unicamente do valor esperado E[X] e do desvio padrão

Std[X] da variável aleatória X. Estes parâmetros caracterizam comple-

tamente qualquer distribuição de probabilidade Gaussiana de uma única variável aleatória.

Um vetor aleatório X é dito Gaussiano se a sua função de densi- dade de probabilidade multi variável é deĄnida por

fX(x) = 1 [(2π)N_{det S]}12 exp  −1₂(x − E[X])TS−1_{(x − E[X])}  , (4.31)

que depende unicamente do valor esperado E[X] = [E[X1], E[X2], ..., E[XN]]T

e da matriz de covariâncias S do vetor X, que é deĄnida como

S= Eh(X − E[X]) (X − E[X])Ti, (4.32) tal que S=     

V ar[X1] Cov[X1, X2] · · · Cov[X1, XN]

Cov[X2, X1] V ar[X2] · · · Cov[X2, XN]

..

. ... ... ...

Cov[XN, X1] Cov[XN, X2] · · · V ar[XN]

     . (4.33) 4.2 CAMPOS ALEATÓRIOS

Em muitos cálculos estruturais é necessário a utilização de cam- pos aleatórios para a representação de incertezas em alguns parâmetros do modelo (LI; KIUREGHIAN, 1993). Como exemplo, pode-se citar a varia- bilidade espacial aleatória da geometria e das propriedades do material de uma estrutura mecânica.

Um campo aleatório real e escalar H(t) é uma coleção de variáveis

aleatórias, onde t ∈ Rd _{representa as coordenadas de um ponto em um}

espaço d-dimensional (VANMARCKE, 1983). Em aplicações práticas de engenharia estrutural, considerando somente variações no espaço, tem-se

d = 1, 2 ou 3 (SUDRET, 2007). Um campo aleatório é dito unidimensional

ou multidimensional de acordo com a dimensão d de t, ou seja, d = 1 ou

d > 1 (SUDRET, 2007).

As informações de segunda ordem relativas a variação ponto a

representa a covariância entre valores do campo aleatório nos pontos t e

t′ _{(VANMARCKE, 1983). A função de covariâncias é determinada como}

Cov [H(t), H(t′_{)] = µ(t, t}′_{)V ar [H(t)] V ar [H(t}′_{)] , (4.34)}

onde V ar [H(t)] e V ar [H(t′_{)] são as funções da variância do campo}

aleatório em t e t′_{, respectivamente, e µ(t, t}′_{) é a função de correlação do}

campo aleatório (SUDRET, 2007).

Quando E [H(t)], que representa a função do valor esperado do

campo aleatório, e V ar [H(t)] são constantes e µ(t, t′_{) depende unica-}

mente das diferenças ti − t′i, i = 1, ..., d, o campo é dito homogêneo

(SUDRET; KIUREGHIAN, 2000).

Além destas classiĄcações, os campos aleatórios podem ser ditos Gaussianos ou não Gaussianos. Campos aleatórios Gaussianos são comple-

tamente descritos por meio de E [H(t)] e de Cov [H(t), H(t′_{)] (SUDRET,}

2007).

4.2.1 Modelos de autocorrelação homogêneos

Para a deĄnição da função de covariâncias, Eq. (4.34), é neces-

sária a deĄnição da função de correlação µ(t, t′_{). Existem alguns modelos}

de função de correlação, apresentados a seguir, que são frequentemente utilizados na literatura (SUDRET; KIUREGHIAN, 2000):

• Exponencial µA(t, t′) = exp  −|t − t′| a  ; (4.35) • Exponencial ao quadrado µB(t, t′) = exp  −|t − t′| 2 a2  ; (4.36) • Seno cardeal µC(t, t′) = sin−2.2|t−ta ′|  2.2|t−t′_| a ; (4.37)

onde a é uma medida de taxa de Ćutuação espacial do campo aleatório, também conhecido como tamanho de correlação (LI; KIUREGHIAN, 1993).

4.2. CAMPOS ALEATÓRIOS 65

De uma forma geral, quanto maior o valor do comprimento de correlação

a, menor é a taxa de Ćutuação do campo aleatório.

Na maioria das aplicações práticas, é necessária a representação de um campo aleatório contínuo em termos de um vetor Ąnito de variáveis aleatórias (LI; KIUREGHIAN, 1993). Essa transformação é denominada de discretização de campos aleatórios.

Conforme apresentado em Sudret e Kiureghian (2000), quando

o modelo de correlação exponencial µA(t, t′) é utilizado, maiores são os

erros associados comparando-se o campo discretizado com o campo contí- nuo, considerando qualquer método de discretização de campos aleatórios (apresentados na próxima subseção). Isto ocorre devido ao campo aleatório Gaussiano, considerando este modelo de correlação, ser não diferenciável (SUDRET; KIUREGHIAN, 2000). Desta forma, em aplicações práticas, se não existem evidências da forma do modelo de correlação, os mode-

los µB(t, t′) ou µC(t, t′) podem ser utilizados (SUDRET; KIUREGHIAN,

2000).

4.2.2 Métodos de discretização de campos aleatórios

Vários métodos para a discretização de campos aleatórios foram propostos na literatura, sendo que os mais conhecidos e estudados são:

• Método do ponto médio (MP - MidPoint) (KIUREGHIAN; KE, 1988);

• Método da média espacial (SA - Spatial Average) (VANMARCKE; GRIGORIU, 1983);

• Método das funções de forma (SF - Shape Functions) (LIU; BELYTS- CHKO; MANI, 1986b);

• Método da estimativa linear ótima (OLE - Optimal Linear Estima-

tion) (LI; KIUREGHIAN, 1993);

• Expansão Karhunen-Loève (KL) (GHANEM; SPANOS, 2003); • Expansão em séries ortogonais (OSE - Orthogonal Series Expansion)

(ZHANG; ELLINGWOOD, 1994);

• Expansão estimativa linear ótima (EOLE - Expansion Optimal Linear

Análises comparativas de desempenho entre os métodos MP, SA, SF e OLE são feitas em Li e Kiureghian (1993), onde veriĄca-se que o método OLE é superior em performance em todos os casos analisados en- quanto o método MP é inferior em todos os casos analisados. Além disso, independente do método de discretização e da função de correlação con- siderados, o erro do campo discretizado (em relação ao campo contínuo) aumenta com o tamanho do elemento do campo aleatório normalizado pelo tamanho de correlação l/a. Ou seja, para tamanhos de correlação a pequenos, deve-se utilizar um tamanho de elemento do campo aleatório l pequeno com o intuito de garantir pequenos erros em relação ao campo contínuo.

Os métodos de expansão em séries (KL, OSE e EOLE) são com- parados em Sudret e Kiureghian (2000), onde veriĄca-se que o método KL apresenta os melhores resultados, seguido dos métodos EOLE e OSE.

Cada método de discretização citado possui sua particularidade. Teoricamente, se a malha de discretização do campo aleatório for extrema- mente reĄnada (se o tamanho do elemento tender a zero), considerando os métodos MP, SA, SF e OLE, o resultado obtido será o mesmo (LI; KIUREGHIAN, 1993). O mesmo pode ser dito sobre os métodos de ex- pansão em séries KL, OSE e EOLE. Se o número de termos utilizados na expansão tender a inĄnito, o resultado obtido será o mesmo (SUDRET; KIUREGHIAN, 2000).

Normalmente, na literatura, os métodos de expansão em séries são utilizados junto ao método espectral para a quantiĄcação de incertezas (GHANEM; SPANOS, 2003), enquanto os outros métodos são utilizados junto ao método de perturbação (KLEIBER; HIEN, 1992), mas isto não é uma regra. Métodos de expansão em séries também podem ser utili- zados junto ao método da perturbação, conforme mostrado em Sudret e Kiureghian (2000), Lepage (2006).

Vale salientar que os métodos MP, SA e SF podem ter uma me- lhora signiĄcativa na eĄciência computacional utilizando a abordagem de desacoplamento apresentada em Liu, Belytschko e Mani (1986b).

Neste trabalho optou-se pela utilização do método MP devido a sua simplicidade de implementação junto ao método de perturbação. No método MP, o valor do campo aleatório sobre um elemento é conside- rado constante e é representado pelo valor do campo no ponto central do elemento (KIUREGHIAN; KE, 1988), de forma que uma realização deste campo é uma função que apresenta descontinuidades ao longo do con- torno dos elementos (LI; KIUREGHIAN, 1993). Os valores esperados e a