CONCLUSIONS AND RECOMMENDATIONS

Motivados pela reconstrução das bordas de grafeno da estrutura híbrida descrita na seção anterior, decidimos investigar a estabilidade e as propriedades eletrônicas e magnéticas de fitas de grafeno de poucas camadas com reconstruções nas bordas.

Reconstruções nas bordas de grafite foram investigadas em 2002 Rotkin et al[15], onde propuseram uma análise dos mecanismos que levam a reconstrução de bordas e o crescimento de estruturas de grafite não-planar. Eles notaram que nano-arcos são formados nos planos da borda de grafite e cristais poliédricos do mesmo, os quais são obtidos por meio de folhas de grafeno, isto faz com que as reconstrução de borda de grafite seja diferente da reconstrução da superfície de outros materiais. A formação destes arcos requer a interação entre um número par de camadas e, no próprio trabalho de Rotkin et al, é possível ver que certas bordas são formadas a partir de um número ímpar de planos. Nestas bordas há indicios de reconstruções onde ligações do tipo sp3estão presentes, como é mostrado figura 19.

A partir das estruturas rompidas, dos cálculos anteriores, criou-se fitas com bordas sp3, variando de 3 a 6 camadas de grafeno. As figuras 20, 21, 22 e 23 descrevem as geometrias das fitas geradas. Nas vistas laterais das figuras, onde são mostradas duas células unitárias das fitas, é possível ver que todas as fitas apresentam 2 heptágonos e 2 pentágonos por célula unitária, sendo que na mesma célula unitária os pentágonos estão em uma borda e os heptágonos em outra. Estes pentágonos e heptágonos fazem a ligação das duas camadas mais externas

Capítulo 4. Resultados 40

Figura 19: Arcos formados por dobragem de grafeno [15].

com o interior, ou as camadas centrais. Nas camadas centrais, a estrutura da borda é análoga a superfície (110) do diamante, onde metade dos átomos (os mais externos) fazem 3 ligações e a outra metade (mais internos) fazem 4 ligações. Esta forma análoga a superfície do diamante sugere que as fitas sejam estáveis já que a superfície (1,1,0) do diamante não se reconstrói mesmo quando aquecida a altas temperaturas [46].

Figura 20: Representação da estrutura composta por 3 fitas de grafeno. À esquerda e à direita da estrutura está representada as suas laterais, bordas, onde nota-se claramente os defeitos topológicos, pentágonos e heptágonos.

Capítulo 4. Resultados 41

Figura 21: Representação da estrutura composta por 4 fitas de grafeno. À esquerda e à direita da estrutura está representada as suas laterais, bordas, onde nota-se claramente os defeitos topológicos, pentágonos e heptágonos.

Figura 22: Representação da estrutura composta por 5 fitas de grafeno. À esquerda e à direita da estrutura está representada as suas laterais, bordas, onde nota-se claramente os defeitos topológicos, pentágonos e heptágonos.

Capítulo 4. Resultados 42

Figura 23: Representação da estrutura composta por 6 fitas de grafeno. À esquerda e à direita da estrutura está representada as suas laterais, bordas, onde nota-se claramente os defeitos topológicos, pentágonos e heptágonos. Os átomos representados em roxo e verde são os que apresentam maior contribuição para o carácter magnético na estrutura.

O número de átomos por célula unitária que fazem 4 ligações (4,8, 12 e 16 para 3, 4, 5 e 6 camadas, respectivamente) cresce linearmente com o número de camadas, assim como o número total de átomos. Então, é esperado que a energia total em função do número de camadas crescesse linearmente. Ou seja,

Etotal = E3+ (n − 3)E0, (4.2)

onde E3e E0são constantes e n o número de camadas.

A figura 24 mostra esse comportamento linear para 3, 4 e 5 camadas mas a energia de 6 camadas foge deste comportamento, sendo muito menor que o esperado. Isto ocorre porque, de fato, a estrutura de 6 camadas embora pareça, não faz parte da mesma família das demais. As bordas da estrutura de 6 camadas, diferentemente das demais, possui simetria de espelho em relação ao eixo vertical (paralelo a margem maior da folha). Isto pode ser visto olhando as vistas laterais das bordas mostradas nas figuras 20, 21, 22 e 23. Por causa disso, bordas das fitas de 3, 4 e 5 camadas impõem curvaturas invertidas nas camadas internas de grafeno. Isto é mais claramente visto na camada interna da estrutura de 3 camadas, onde a ligações sp3 _{da borda}

da esquerda tentam fazer com que a camada central seja arqueada para baixo (concavidade negativa), enquanto as ligações sp3_{da borda da direita da figura tentam fazer com que a camada}

central seja arqueada para cima. Esta competição não ocorre na estrutura de 6 camadas e, por isso, ela tem menor energia. É possível fazer estruturas de 3, 4 e 5 camadas da mesma família da estrutura de 6, porém, percebemos que as estruturas não são todas da mesma família quando fizemos o gráfico da figura 24. Atualmente, cálculos com a família de menor energia estão em andamento.

Capítulo 4. Resultados 43

Figura 24: Estabilidade para diferentes quantidades de fitas de grafeno, ou seja, a energia total (Et) pelo número

de camadas em função de 1 pelo número de camadas de cada estrutura.

É interessante comparar a estabilidade energética das fitas obtidas com a de estrutura existentes, como o nanotubo (10,0) e fulereno (C60). Para isso calculamos a energia de formação

das nanofitas e das outras estruturas de carbono de acordo com a equação 4.1. A figura 25 mostra a energia de formação por átomo em função do inverso do número de átomos. É possível ver que as estruturas de 3, 4 e 6 camadas possuem energia de formação por átomo menores que aquelas do C60 e do nanotubo (10,0). Como o C60 e o nanotubo (10,0) existem, é bem possível

que as nanofitas propostas neste trabalho também possam ser sintetizadas experimentalmente já que são energeticamente mais estáveis.

Figura 25: Energia de formação (Ef) pelo número de átomos vs 1 número de átomos para as estruturas estudas,

Capítulo 4. Resultados 44 De fato, o trabalho de Rotkin etal sugere que existam estruturas com bordas de 3 cama- das de grafeno,como pode-se observar na imagem 19.

Cáculos com polarização de spin foram feitos para investigar as propriedades magné- ticas das fitas representadas na figura 20, 21, 22, 23 respectivamente. A tabela 1 apresenta o momento de dipolo magnético de cada uma delas, onde 3 estruturas apresentam um carácter ferromagnético. Não é observado um comportamento monotônico do momento de dipolo mag- nético com o número de camadas. Dada esta característica, para tentar entender a dependência do momento de dipolo magnético com o numero de camadas, decidimos analisar como está distribuído o ferromagnetismo em toda a estrutura através da análise da população de Mulliken.

Tabela 1: Polarização de spin para variadas bordas.

Bordas Polarização de spin (µbohr) Spin/no_{de átomos}

Borda3 1.99 0.027

Borda4 0.13 _{≈ 0.00}

Borda5 3.88 0.032

Borda6 3.99 0.027

Na coluna 3 da tabela 1 é dado a magnetização total pelo número de átomos, porém na maior parte dos casos alguns átomos tem uma maior contribuição para este carácter ferromag- nético. Assim, fez-se a análise para cada estrutura e percebeu-se que para a estruturas compostas por 3 e 6 camadas de grafeno, os átomos que apresentam uma maior contribuição para tal ca- racterística, estão nas extremidades da borda das estruturas e também são os que constituem os defeitos topológicos, pentágonos e heptágonos.

Sendo o momento de dipolo magnético aproximadamente localizado nos pentágonos e heptágonos, uma explicação plausível para o comportamento não monotônico seria baseada na interação entre pentágonos e heptágonos das camadas superior e inferior. Nas estruturas de 5 e 6 camadas os pentágonos e heptágonos dos camadas superior e inferior já estariam sufici- entemente afastados e por isso não sentiriam os efeitos um do outro resultando em momentos iguais. Já nas estruturas de 3 e 4 camadas estes defeitos topológicos interagiriam um com o outro resultando em valores diferentes dos casos em que tais defeitos estejam isolados. Entre- tanto, tal explicação necessita de mais suporte e, de fato, o magnetismo destas fitas pode ser mais complexo para além da presença de defeitos e de sua interação. De fato, a superfície (110) do diamante apresenta propriedades magnéticas e assim sua parte análoga na fita pode afetar o magnetismo. Outros efeitos como paridade do número de camadas e curvatura das bordas também poderiam afetar as propriedades magnéticas [47].

45

Conclusão

Em resumo, neste trabalho foi proposto inicialmente a análise das propriedades mecâni- cas de uma estrutura híbrida com alótropos de carbono: nanotubo de carbono (10,0) e folhas de grafeno. Sendo assim, realizamos o estudo da estabilidade para diferentes camadas de grafeno sobrepostas por nanotubo de carbono. Notamos que uma estrutura composta por 4 camadas de grafeno com o respectivo nanotubo é mais estável que estudos realizados por Batista et al. Também observamos uma alta densidade próximo ao nível de Fermi que se deve as ligações pendentes que constitui a estrutura. Por fim, realizou cálculos de polarização de spin e obtive- mos um momento magnético total de 2µbohr.

Posteriormente, foi realizado um estudo da deformação ”stress” da estrutura composta por tubo e 5 camadas de grafeno. Notamos que ao longo do eixo do tubo o gráfico deformação vs tensão é determinado pelas ligações sp2. Entretanto, na direção perpendicular as ligações sp3são mais importantes, onde ocorre um rompimento da estrutura para valores de deformação superiores a 10%, este rompimento inicia-se na região oposta ao tubo.

A partir das reconstruções observadas na estrutura híbrida rompida, onde estão presen- tes defeitos tipo pentágonos e heptágonos, construímos nanofitas de grafeno com as mesma reconstruções nas bordas. Investigamos a estabilidade de cada uma dessas estruturas e notamos que a estrutura composta por 6, 3 e 4 fitas de grafeno são energeticamente estáveis quando comparadas com estruturas existentes na natureza, como nanotubos de carbono e C60. Foram

realizados estudos referentes ao magnetismo dessas estruturas e podemos perceber que estas apresentam magnetismo com exceção da estrutura composta por 4 fitas de grafeno. O carácter ferromagnético das estruturas de 3 e 6 nanofitas de grafeno devem-se aos átomos que estão lo- calizados nas extremidades da borda e também são os que constituem os defeitos topológicos, pentágonos e heptágonos.

46

Perspectivas futuras

Com base nos resultados obtidos, pretendemos investigar o efeito da pressão (Entalpia x Pressão) para a estrutura híbrida composta por tubo grafeno 4 camadas e sua análoga tubo sobreposto por 4 camadas de grafeno para determinar a pressão de transição. Com este resultado escrever um coment no artigo de Batista et al.

Como vimos, estruturas compostas por 6 fitas de grafeno é consideravelmente estável e possui uma padrão de formação, o próximo passo é a realização de cálculos com a variação de nanofitas de grafeno baseada nesta estrutura e investigar as propriedades magnéticas afim de entender o magnetismo observado.

47

APÊNDICE A – Programa Siesta

Nesta seção há uma breve abordagem sobre o programa SIESTA (Spanish Initiative for Eletronic Simulations with Thousands od Atoms)[43, 13], o qual foi utilizado para a realização desse trabalho. O código computacional Siesta é utilizado para cálculos de estrutura eletrônica e simulações "ab initio" de dinâmica molecular e sólidos. Sendo baseado na Teoria funcio- nal da Densidade, utiliza-se as equações de Kohn-Sham para sistemas com grande número de átomos e Aproximação de Densidade Local (LDA) [34] e Aproximação de Gradiente Gene- ralizada (GGA) [36] e emprega pseudopotenciais para escrever as interações elétron-íon [44]. As funções de Khon-Sham são expandidas em uma combinação de orbitais atômicos numéri- cos flexíveis. O Siesta lê os pseudopotenciais na forma semilocal de acordo com a porposta de Kleinman e Bylander [48]. Assim, tem-se:

b VPS= Vlocal(r)+VkB (A.1) b VPS= lKB max

∑

l=0 l

∑

m=−ln=1

∑

N_lKB_|χKB_lmniυKB_{ln hχ}KB_lmn| (A.2) υKB_{ln = hϕ}ln|Vl(r)|ϕlni (A.3)

sendo δVl(r) = Vl(r) −Vlocal(r) e χKB_lmn( ~(r) = χKB_ln (r)Ylm(r) (com Yˆ lm(r) (é uma harmô-

nica esférica) são funções de projeções de KB, ou seja:

χKB_ln = δVl(r)ϕln(r) (A.4)

As funções ϕ_ln são obtidas por meio de auto-estados ψn do pseudopotencial semilocal

na energia ε_lnutilizando o esquema de ortogonalização proposto por Blöchl [49]:

ϕln(r) = ψln(r) − n−1

∑

n′=1 ϕ_ln′(r)hϕln′|δVl(r)|ψlni hϕln′|δV_l(r)|ψ_ln′i (A.5)  −_2r1 d 2 dr2r + l(l + 1) 2r2 +Vl(r) +VH(r) +Vxc(r)  ψ_ln(r) = εlnψln(r) (A.6)

sendo que VH e V xc são os potenciais de hartree e de troca-correlação para pseudodensidade

APÊNDICE A. Programa Siesta 48 carga positiva da seguinte forma:

ρlocal_{(r) ∝ exp[−(sinh(abr)/sinh(b))}2] (A.7)

Sendo a = 1,82/rc e b = 1, e estes valores foram os melhores obtidos para a convergência no

espaço recíproco e localização no espaço real [43, 13].

Como Vlocal(r) = Vl(r) fora do raio de corte do pseudopotencial rc, χKB_ln (r) é zero além

desse raio, independente do valor de εln. Geralmente é adequado ter apenas um projetor χKB_ln

para cada momento angular e assim toma-se εln igual ao autovalor atõmico de valência εl e a

função ϕl(r) na equação A.4 igual do auto-estado correspondente ψl(r).

O SIESTA emprega bases orbitais localizadas para obter as matrizes hamiltonians e de "overlap" esparsas, ou que contém muitos elementos nulos. Isto ocorre pois ss orbitais nu- méricos são nulos acima do raio de corte. Dentro desse raio de confinamento, as bases orbitais atômicas podem ser obtidas através do produto de uma função radial por uma função harmônica esférica. Assim, dado im átomo I localizado no raio de RI tem-se:

φ_Ilmn(r) = φ~ Iln(rI)Ylm(r~I) (A.8)

onde ~rI =~r − ~RI, r =|~r | e ˆrI =~r/r.

O momento angular pode ser grande em geral e existir diferentes orbitais (n) com a mesma dependência angular porém com as dependências radiais diferentes denominadas bases multíplo - ζ. Apesar de cada função radial poder ter vários raios de corte e ser livre além desse raio o SIESTA tem procedimentos que geram bons conjuntos de bases.

Para o caso de bases single-ζ , utiliza-se o método de Sankey e Niklewski [50, 51], onde as autofunções numéricas φl(r) do pseudopotencial atômico Vl(r) para uma dada energia

εl+ δεl é escolhida de forma que o primeiro nó irá ocorrer no raio de corte rcescolhido seja:

 −_2r1 d 2 dr2r + l(l + 1) 2r2 +Vl(r)  φ_l(r) = (εl+ δεl)φl(r) (A.9)

sendo que φl(rc) = 0. Frequentemente fixa uma "energia shift" δε para todos os átomos e mo-

mentos angulares para que o efeito de confinamento seja o mesmo em todos os orbitais.

Porém, para obter bases múltiplo-ζ, o SIESTA utiliza o método baseado no "split - valence" [52]. Neste método o primeiro orbital ζ é obtido por meio da combinação linear va- riacional ou pelo ajuste das autofunções atômicas numéricas. Para a segunda função ζ é uma função Gaussiana que decai lentamente e obtida a partir da combinação anterior e o mesmo acontece para orbitais mais altos.

Para incluir as deformações induzidas pelas ligações acrescenta-se orbitais de polariza- ção. Porém, a utilização de orbitais pseudo-atômicos de alto momento angular não é a melhor opção, sendo que eles tendem a serem muito ampliado. Assim, uma possibilidade é considerar

APÊNDICE A. Programa Siesta 49 um orbital pseudo-atômico de valência φlm(r) = φ~ l(r)Y~ lm(r), levando em consideração que nãoˆ

haja orbital atômico de valência com momento angular l + 1 e uma aplicação de um pequeno campo elétrico ε na direção z. Com isto, usa-se a teoria da perturbação de primeiro ordem:

(H − E)δφ = −(δH − δE)φ (A.10) sendo que δH = εz e δE ≈ hφ|δH|φi = 0. Assim, o orbital resultante da perturbação terá com- ponentes com l = l + 1 e m = m, ou seja:

δHφ_lm(r) = (εr cos (θ))(φ~ l(r)Ylm(r)) = εrφˆ l(r)(Cl−1Yl−1,m+Cl+1Yl+1,m) (A.11)

e

δφ_lm(r) = ϕ~ _l−1(r)Y_l−1,m(r) + ϕˆ l+1(r)Yl+1,m(r)ˆ (A.12)

Em geral, já haverá orbitais com momento angular l − 1 no conjunto de base, os com- ponentes l + 1 são escolhidos substituindo as equações A.11 e A.12 na equação A.10 e multi- plicando por Y∗

l+1,m(r) e intregrando sobre as variáveis angulares, tem-se:ˆ

 −_2r1 d 2 dr2r + (l + 1)(l + 2) 2r2 +Vl(r) − El(r)  ϕ_{l+1(r) = −rφl}(r) (A.13) Os orbitais de polarização são então adicionados no conjunto de base:

φ_l+1,m(r) = Nϕl+1(r) (A.14)

onde N é uma constante de normalização.

Com estes dados, o próximo passo é obter as matrizes hamiltoniana e de overlap. Assim, escreve-se o hamiltoniano de Kohn-Sham da seguinte forma:

ˆ

H = ˆT +

_∑

I

(V_Ilocal(r) + ˆ~ vKB

I ) +VH(v) +V~ xc(r)~ (A.15)

sendo que Vlocal

I (r) + ˆ~ vKBI são as partes local e não-local (Kleinman-Bylander) do pseudopoten-

cial do átomo, ˆT é o operador de energia cinética, I o índice do átomo, VH(r) é o potencial de

Hatree, Vxc(r) o potencial de troca-correlação.

O Vlocal

I (r) é de longe alcance e com isto é necessário truncá-lo. Para realização deste~

procedimento toma-se o potencial Vatom

I obtido por uma dada densidade atômica ρatomI , que

pode ser obtida por meio da ocupação dos orbitais de valência com cargas adequadas, ou seja:

ρ = ρatom+ δρ ~(r) =

_∑

I

APÊNDICE A. Programa Siesta 50 dado que δρ ~(r) tem a informação da redistribuição de carga e isto deve-se as ligações químicas. As bases orbitais são nulas fora do raio de corte e o mesmo acontece com o potencial do átomo neutro e isto resulta em um potencial de curto alcance. A partir disso, tomando:

VH(ρ) = VH(ρatom) + δVH (A.17)

pode-se reescrever o Hamiltoniano total da seguinte forma:

ˆ

H = ˆT +

_∑

I

(V_Ineutro(r) + ˆ~ V_IKB) + δVH(r) +V~ xc(r)~ (A.18)

As matrizes de overlap e os dois primeiros termos da hamiltoniana da equaçao A.18 são obtidas por integrais de dois centros de acordo com o método proposto por Sankey e Nikleski [50] e os outros termos da hamiltoniana são obtidos por meio de uma rede tridimensional no espaço real.

Para obter a energia total e Kohn-Sham faz-se a somatória das energias referente as interações eletrônicas e nucleares, assim pode ser escrita da seguinte maneira:

EKS=

_∑

i − 1 2 Z Z _ρ(r′_)ρ(r) |r′_{− r|} d 3_rd3_{r +}Z _(ε xc− υxc)ρ(r)d3r +

∑

I<J ZIZJ RIJ (A.19)

dado que I e J são índices atômicos e RIJ = |RJ− RI|,ZI, ZJ são as pseudocargas nucleares.

Como existe interação de longo alcance, faz-se necessário reescrever o último termo da equação A.19 para evitar esta interação. Assim tem-se:

∑

I<J

ZIZJ

RIJ =

1

2

∑

_IJUIJlocal(RIJ) +_I<J

∑

δUIJlocal(RIJ) −

∑

_I UIlocal (A.20) dado que U_IJlocal é a energia de interação eletrostática ente "I"e "J", δU_IJlocal é o termo referente ao curto alcance que corrige uma possível superposição entre cargas iônicas extendidas e, por fim, Ulocal

I é uma auto-interação criada de uma carga iônica.

Portanto, a energia total é composta de termos de curto alcance, dos quais são calculadas por meio de integrais de dois centros.

51

Referências

[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, et al. Electric field effect in atomically thin carbon films. science, 306(5696):666–669, 2004.

[2] Nokia Research Center. Disponível em : https://research.nokia.com/locations. Accesso: Janeiro de 2016.

[3] S. O. Adriano. Propriedades Eletrônicas e Estruturais de Grafeno Depositado Sobre o Substrato Diamante Hidrogenado (111). Dissertação (Mestrado em Física de Materiais) - Universidade federal de Ouro Preto - Minas Gerais, 2011.

[4] R. Hamaann. Tecmundo. nokia ganha 1,35 bilhão de dólares para desenvolver o grafeno. [5] L. Karasinski. Tecmundo. seis formas como o grafeno poderá mudar o mundo. Disponível

em : http://www.tecmundo.com.br/grafeno. Accesso: Janeiro de 2016.

[6] B. A. Gonçalves. Crescimento, Propriedades Estruturais e Eletrônicas de Grafeno Epita- xial. Tese (Doutorado em Física) - Universidade Federal de Minas Gerais, Minas Gerais, 2012.

[7] A. H. C. Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K. S. Novoselov, and A. K. Geim. The electronic properties of graphene. Reviews of modern physics, 81(1):109, 2009.

[8] S. F. Araujo. Propriedades Eletrônicas da Bicamada do Grafeno Adsorvida com Potássio. Dissertação (Mestrado em Física) - Universidade Federal do Mato Grosso, Mato Grosso, 2012.

[9] R. Vidu, M. Rahman, M. Mahmoudi, et al. Nanostructures: a platform for brain repair and augmentation. Frontiers in systems neuroscience, 8, 2014.

[10] Chintamani Nagesa Ramachandra Rao, BC Satishkumar, A Govindaraj, and Manashi Nath. Nanotubes. ChemPhysChem, 2(2):78–105, 2001.

[11] A. Gomes de Souza Filho and S. B. Fagan. Funcionalização de nanotubos de carbono. Química nova, 30(7):1695, 2007.

[12] Blog divulgação da ciência. Moléculas alotrópicas. Accesso: Janeiro de 2016.

[13] J. M. A. S. Morbec. Adsorção de Ge em SiC(0001): um estudo ab initio. Dissertação (Mestrado em Física) - Universidade Federal de Uberlândia - Minas Gerais, 2006.

[14] R. J. C. Batista, S. S. Carara, T. M. Manhabosco, and H. Chacham. A ferromagnetic pure carbon structure composed of graphene and nanotubes: First-principles calculations. The Journal of Physical Chemistry C, 118(15):8143–8147, 2014.

Referências 52 [15] S Rotkin and Yury Gogotsi. Analysis of non-planar graphitic structures: from arched edge planes of graphite crystals to nanotubes. Material Research Innovations, 5(5):191–200, 2002.

[16] G. J. Perreira. Estudo do Espectro Vibracional de Nanotubos de Carbono por Simulações de Dinâmica Molecular. Dissertação (Mestrado em Física de Materiais) - Universidade Federal de Ouro Preto, Minas Gerais, 2014.

[17] I. N. Kholmanov, C. W. Magnuson, et al. Optical, electrical, and electromechanical proper- ties of hybrid graphene/carbon nanotube films. Advanced Materials, 27(19):3053–3059, 2015.

[18] C. Berger, Z. Song, et al. Ultrathin epitaxial graphite: 2d electron gas properties and a route toward graphene-based nanoelectronics. The Journal of Physical Chemistry B, 108(52):19912–19916, 2004.

[19] Y. Zhang, Yan-Wen Tan, H. L Stormer, and P. Kim. Experimental observation of the quantum hall effect and berry’s phase in graphene. Nature, 438(7065):201–204, 2005. [20] R. Rosei, S. Modesti, et al. Electronic structure of carbidic and graphitic carbon on ni

(111). Physical Review B, 29(6):3416, 1984.

[21] S. Stankovich, R. D. Piner, Xinqi Chen, et al. Stable aqueous dispersions of graphitic nanoplatelets via the reduction of exfoliated graphite oxide in the presence of poly (sodium 4-styrenesulfonate). Journal of Materials Chemistry, 16(2):155–158, 2006.

[22] R. Saito, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus, et al. Physical properties of carbon nanotu- bes, volume 35. World Scientific, 1998.

[23] Mildred S Dresselhaus, Gene Dresselhaus, and Peter C Eklund. Science of fullerenes and carbon nanotubes: their properties and applications. Academic press, 1996.

[24] Sumio Iijima et al. Helical microtubules of graphitic carbon. nature, 354(6348):56–58, 1991.

[25] Susan B Sinnott and Rodney Andrews. Carbon nanotubes: synthesis, properties, and ap- plications. Critical Reviews in Solid State and Materials Sciences, 26(3):145–249, 2001. [26] M. C. G. Rosa. Dano Térmico em Diamantes: Efeito Protetor da Cobertura de Titânio.

Dissertação em Engenharia e Ciências de Materiais) - Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro - Rio de Janeiro, 2011.

[27] G. A. Baym. Lectures on quantum mechanics. Benjamin, 1969.

[28] N. W. Ashcroft and N. D. Mermin. Solid state phys. Saunders, Philadelphia, page 293, 1976.

Referências 53 [29] Eduardo A Castro and Fracisco M Fernández. Una formulación rigurosa del método va-

racional. Revista Colombiana de Química, 11(2):29–38, 2009.

[30] Llewellyn H Thomas. The calculation of atomic fields. In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, pages 542–548. Cambridge Univ Press, 1927. [31] Enrico Fermi. Un metodo statistico per la determinazione di alcune priorieta dell’atome.

Rend. Accad. Naz. Lincei, 6(602-607):32, 1927.

[32] Pierre Hohenberg and Walter Kohn. Inhomogeneous electron gas. Physical review,

In document Sammanställning av de FoU-projekt som presenterats vid förbundsutskottsmötena i København 2004, Tórshavn 2005, Uppsala 2006, Trondheim 2007 och Helsinki 2008 (sider 185-189)