Tomamos inicialmente as s´eries da flutua¸c˜ao do potencial el´etrico ϕ para cada um dos conjun- tos de dados. Apresentamos a an´alise padr˜ao para o c´alculo da distribui¸c˜ao de tempo de retorno (DTR). A primeira informa¸c˜ao relevante ´e a fun¸c˜ao densidade de probabilidade (FDP) pois ´e a partir dela que devemos escolher o intervalo de retorno I adequado para uma visualiza¸c˜ao da DTR. Os resultados para o potencial flutuante s˜ao apresentados na figura 6.7. Comparamos essas distribui¸c˜oes com a distribui¸c˜ao Gaussiana (6.2). Esta compara¸c˜ao ´e feita a partir de um ajuste num´erico da distribui¸c˜ao (6.2) aos pontos em torno do pico. Notamos, no entanto, que as duas fun¸c˜oes densidade de probabilidade (FDP) da figura6.7, ao contr´ario dos dados do TextUp, divergem sensivelmente da Gaussiana ajustada. As caudas, no caso geral, n˜ao apresentam um decaimento do tipo lei de potˆencia ou exponencial. Este resultado n˜ao ´e surpreendente uma vez que a dinˆamica na borda do Tokamak ´e turbulenta. Apresentamos no apˆendiceCuma discuss˜ao mais detalhada dos modelos de turbulˆencia que permitem descrever as FDPs observadas.
Figura 6.7: Fun¸c˜ao densidade de probabilidade das s´eries temporais da flutua¸c˜ao do potencial el´etrico: [A] Conjunto 1, no detalhe graficamos a cauda da distribui¸c˜ao onde nota-se que o regime de decaimento n˜ao ´e do tipo lei de potˆencia. [B] Conjunto 2. A curva tracejada ´e a Gaussiana ajustada para os pontos em torno do pico de cada um dos gr´aficos. A curva preta em [A] ´e o ajuste obtido pelo modelo log-normal no apˆendiceC.
O espectro de Fourier das s´eries temporais do potencial flutuante, assim como da corrente de ioniza¸c˜ao, obtidos para o TCABR, n˜ao diferem essencialmente do apresentado na figura 6.3 para o TextUp. De forma geral n˜ao notamos picos mas apenas um espectro largo com um decaimento para altas frequˆencias. A rela¸c˜ao de um espectro desse tipo com a DTR n˜ao ´e trivial e, como vimos no caso do TextUp, a compara¸c˜ao com as correla¸c˜oes presentes nas s´eries temporais parece mais adequada. Para tanto na figura 6.8 apresentamos a distribui¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao (Eq. (5.9)).
As DTR foram calculadas para diferentes intervalos de retorno sem uma altera¸c˜ao qualita- tiva importante a menos do que discutimos no final deste item. O intervalo escolhido deve-se essencialmente ao valor da medida µ(I) ideal para visualiza¸c˜ao. A limita¸c˜ao na resolu¸c˜ao dos pontos faz com que o valor de δ tenha que ser maior que sua precis˜ao e que, portanto, o intervalo
Figura 6.8: Fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao (Eq. (5.9)) para as s´eries temporais do potencial flutuante obtidas no TCABR.
de retorno se encontre em regi˜oes afastadas do pico da FDP.
A DTR do primeiro conjunto de dados indica a presen¸ca de dois regimes distintos. O pri- meiro, para tempos curtos, ´e muito mais lento que uma exponencial e parece se aproximar de uma distribui¸c˜ao do tipo lei de potˆencia. Para tempos longos a DTR se assemelha a uma expo- nencial. ´E interessante notar que o tempo entre estes regimes ´e pr´oximo ao valor do tempo que a auto-correla¸c˜ao aproxima-se de zero τ0 = 0, 03ms, conforme indicado na figura6.8. Podemos interpretar assim que, enquanto o sistema apresentava-se correlacionado a distribui¸c˜ao de tempo de retorno apresenta o primeiro regime de decaimento, enquanto que ap´os a perda da correla¸c˜ao a DTR torna-se exponencial.
No caso do segundo conjunto de dados a DTR (figura 6.10) apresenta um comportamento similar. Analisando a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao desta s´erie (figura6.8) notamos que, ao contr´ario da s´erie do potencial flutuante do primeiro conjunto que aproxima-se de zero e oscila muito pouco, existem grandes oscila¸c˜oes ap´os a distribui¸c˜ao j´a ter deca´ıdo a zero. Esta flutua¸c˜ao da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao parece ser um ind´ıcio da mem´oria de longo alcance. Desta forma, e levando em conta os pontos discutidos no item 5.3.1 e em [Bunde et al., 2003b], ter´ıamos uma exponencial esticada (Eq. (5.11)) como DTR. De fato, o formato da exponencial esticada se assemelha `a forma global das DTR aqui discutidas, ainda que nesta distribui¸c˜ao n˜ao estejam presentes regimes distintos. Variando a posi¸c˜ao e o tamanho do intervalo de retorno I foi poss´ıvel observar DTR como a da figura 6.11, onde uma interpreta¸c˜ao ´unica para toda a distribui¸c˜ao pode ser feita atrav´es de uma exponencial esticada (linha azul) com β = 0, 43 que se ajusta muito bem aos pontos (a menos de alguns poucos pontos iniciais). Ressaltamos, no entanto, que este coeficiente possui uma grande varia¸c˜ao quando variamos o intervalo de retorno sendo dif´ıcil sua aplica¸c˜ao como coeficiente β1 do decaimento da correla¸c˜ao. Na figura6.12analisamos um outro aspecto mencionado no item 5.3.1, isto ´e, a autocorrela¸c˜ao da sequˆencia de retornos. Ainda que este resultado n˜ao seja consequˆencia da DTR do tipo exponencial esticada (conforme discuss˜ao no item5.3.1) vemos, pela concentra¸c˜ao (clusteriza¸c˜ao) de TR longos e pela fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, que neste caso a s´erie de retornos parece apresentar correla¸c˜ao de longo alcance.
Figura 6.9: Distribui¸c˜ao de tempo de retorno para o potencial el´etrico flutuante do conjunto 1. [Xc = −0, 05, δ = 0, 015, hT i = 0, 0459ms]
Figura 6.10: Distribui¸c˜ao de tempo de retorno para o potencial el´etrico flutuante do conjunto 2. [Xc = 25, δ = 3, hT i = 0, 0535ms].
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E importante ressaltar que [Carrras et al., 1998] tamb´em analisaram s´eries do potencial flutuante e da densidade na borda plasma obtendo expoentes de Hurst H ≈ 0.7 que indicam a presen¸ca de auto-similaridade nas s´eries. Estes resultados sugerem a existˆencia de mem´oria de longo alcance, coerentemente com a nossa interpreta¸c˜ao.
Das discuss˜oes realizadas torna-se clara a necessidade de uma investiga¸c˜ao mais detalhada so- bre a correla¸c˜ao de longo alcance para as s´eries do potencial flutuante e da corrente de satura¸c˜ao
Figura 6.11: Distribui¸c˜ao de tempo de retorno para o potencial el´etrico flutuante do conjunto 2 [Xc = −10, δ = 2, hT i = 0, 0222ms]. A linha cont´ınua representa o ajuste de uma distribui¸c˜ao exponencial esti- cada (5.11) aos dados.
Figura 6.12: No topo a sequˆencia dos TR na ordem em que surgiram no c´alculo da figura 6.11. Abaixo a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao desta sequˆencia de retornos.
iˆonica do TCABR. Em [Bunde et al., 2003b,Kantelhardt et al., 2002,Arneodo et al., 1997] s˜ao apresentados ou utilizados m´etodos mais eficientes para o c´alculo de correla¸c˜oes de longo al- cance do que o simples c´alculo da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao. O c´alculo direto da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, no entanto, permite uma visualiza¸c˜ao da correla¸c˜ao em cada um dos tempos τ . Isto permite uma compara¸c˜ao imediata com a DTR uma vez que ´e natural pensarmos que se
uma s´erie est´a positivamente (negativamente) correlacionada em τ a probabilidade de retorno no tempo de retorno T = τ ser´a maior (menor).