Diferentes métodos computacionais existem para modelar numericamente o comportamento de aberturas subterrâneas realizadas nos maciços rochosos. Citam-se entre os mais divulgados: o método de diferenças finitas (Finite Difference Method, FDM); o método de elementos de contorno (Boundary Element Method, BEM); o método de elementos distintos (Discrete Element Method, DEM) e o método de elementos finitos (Finite Element Method, FEM). Fundamentalmente, as técnicas de simulação numérica mencionadas podem ser divididas em dois grupos metodológicos, conforme se vê a seguir.
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um todo, é subdividido (discretizado) em elementos numéricos simples, sendo que cada um dos elementos pode assumir propriedades mecânicas distintas. Os elementos numéricos simples interagem entre si e o comportamento do conjunto desses elementos permite analisar o comportamento global do modelo. Neste grupo enquadram-se os métodos FEM, DEM e FDM. Nos métodos diferenciais, o procedimento para uma solução envolve aproximações numéricas das equações governantes, as equações diferenciais de equilíbrio, relações de deformação-deslocamento e das soluções do método clássico de elementos finitos.
Métodos integrais de contorno, em que apenas as regiões de interesse das
escavações são subdivididas em elementos numéricos simples e a região do interior do maciço rochoso é representado matematicamente por um meio contínuo, homogêneo e infinito. O método de contorno é representado pelo BEM.
As diferenças na formulação entre métodos diferenciais e integrais de análise implicam em várias vantagens e desvantagens. Pode ocorrer que os métodos de domínio e de contorno sejam combinados na forma de métodos híbridos, a fim de utilizar as vantagens de cada um deles para a solução de problemas complexos, como, por exemplo, em situações em que ocorram comportamentos não-lineares próximos do contorno de uma escavação rodeada por domínios distantes com comportamento elástico.
Abaixo, apresentam-se as principais particularidades dos métodos numéricos, frequentemente usados na solução de problemas geotécnicos e de mecânica de rochas em mineração.
2.2.1 Método de elementos finitos (FEM)
O método de elementos finitos é adequado para problemas de materiais heterogêneos e com propriedades não-lineares. Nele, os pontos nodais do maciço rochoso são correlacionados com o estado de uma região finita, fechada, formada por estes mesmos pontos, que passam a ser tratados como elementos. De modo que a situação a ser
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considerada na modelagem numérica ocorre com a divisão do problema em diversos elementos. Visto que este método não é adequado para modelar contornos infinitos, é necessário discretizar uma área maior que aquela de interesse e aplicar as condições de contorno apropriadas às laterais mais externas dos elementos ou, ainda, criar elementos com laterais que se estendem até o infinito. A malha de elementos finitos pode ser melhorada com o uso de programas de pré-processamento, enquanto que as descontinuidades requerem a aplicação de relações constitutivas explícitas.
No FEM, as propriedades são atribuídas a cada um dos elementos, as condições de contorno são definidas, as cargas determinadas e uma técnica implícita de construção de sistemas de equações lineares é resolvida por dedução matricial para caracterizar a distribuição de cargas de equilíbrio. Os materiais de comportamento não-linear são considerados como um coeficiente de modificação da rigidez e/ou pelo ajuste de variáveis de tensão e deformação inicial, realizadas de forma interativa para satisfazer o estado de carregamento adotado.
Com efeito, a resposta de um sistema não-linear geralmente depende da sequência de carregamento modelado que deve representar as respostas obtidas em campo. Por isso, o carregamento total é aplicado na forma de incrementos de carga, sendo que cada incremento deve ser pequeno o suficiente para garantir que a convergência da solução seja atingida em poucas interações. Em sistemas lineares e ligeiramente não-lineares, o uso da técnica implícita pode ser aplicado com sucesso, mas quando a não-linearidade do sistema cresce, faz-se necessário aplicar acréscimos de carregamento menores. Esses carregamentos menores implicam em maior tempo de computação, devido ao maior número de formulações e cálculo matricial.
2.2.2 Método de diferenças finitas (FDM)
O método de diferenças finitas apresenta-se similar ao método de elementos finitos, FEM, no que se refere à discretização e à aplicação das condições de contorno, diferenciando-se quanto ao processamento do cálculo. Aqui, aplica-se uma técnica explícita (solução por interação) para obtenção da distribuição das forças de desequilíbrio. Nesta técnica, incrementos de carga total são aplicados aos elementos,
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que transmitem um resíduo de carga aos elementos vizinhos, que equilibram seu estado e redistribuem a carga. O processo de distribuição de forças estende-se por toda a malha discretizada, ocorrendo um número de interações suficientes, até que a carga de desequilíbrio seja desprezível.
No caso da análise de comportamento não-linear, têm-se cargas menores aplicadas e, à medida que a não-linearidade cresce, ocorre o decréscimo dos incrementos de carga para melhor representar o comportamento do maciço. O incremento de cargas pode ser solucionado de maneira similar aos modelos de comportamento quase-dinâmico, apropriado para o caso de solução explícita (relaxação dinâmica).
A solução explícita consiste no equilíbrio de forças atuantes no ponto de interação do material, que resulta numa aceleração da massa associada ao ponto. A lei de movimento de Newton é aplicada, a equação diferencial produz incrementos de deslocamentos e as relações constitutivas aplicadas resultam em novas forças para cada ponto de integração do modelo. A principal vantagem desta técnica é permitir o ajuste da geometria, bem como da não-linearidade, com relativa facilidade. Caracteriza-se como desvantagem a possibilidade de não ser atingida a convergência numérica em decorrência do mau condicionamento do modelo; a falha, entretanto, pode ser identificada.
2.2.3 Método de elementos distintos (DEM)
O método de elementos distintos trata o maciço rochoso como descontínuo, em que a superposição de blocos quase-rígidos interage através de juntas deformáveis que apresentam rigidez definida. Baseia-se ele na relação força-deslocamento que determina a interação entre as unidades quase-rígidas e a lei de movimento, que determina deslocamentos induzidos nos blocos em virtude da força de equilíbrio. O movimento dos blocos é calculado por uma série de incrementos de deslocamento, controlados por inúmeras interações dos intervalos de tempo até que o equilíbrio seja atingido no modelo. A solução explícita aplicada ao método permite que equações diferenciais sejam geradas a cada etapa do cálculo.
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A principal vantagem deste método é possibilitar a representação de grandes deslocamentos nos contatos representados pela superposição de blocos adjacentes. Sua desvantagem decorre de sua complexidade, que exige maior habilidade e experiência na modelagem, bem como na obtenção dos parâmetros das descontinuidades e do maciço rochoso.
2.2.4 Método de elementos de contorno (BEM)
O método de elementos de contorno, um método integral, considera a divisão de elementos apenas para a superfície de interesse da escavação e a superfície de descontinuidades.
Nos métodos integrais para análise de tensões, o problema é especificado e resolvido em relação aos valores de superfície das variáveis espaciais de tensão e deslocamento. Por exigir apenas definição e discretização do domínio de fronteira, o método de elementos de contorno permite, efetivamente, reduzir a ordem dimensional do problema numérico. A implicação é uma vantagem em eficiência computacional, quando se compara com os métodos diferenciais. Logo, em muitos casos, os métodos de elementos de contorno podem atacar problemas de geometrias complexas com relativa facilidade.
Os métodos de elemento de contorno modelam corretamente as condições de contorno em campos distantes, restringindo erros de discretização do problema, e garantem variação contínua das tensões e deslocamentos no meio. É um método desenvolvido para meios infinitos, sendo a representação de descontinuidades possível com relativo esforço computacional.
Com efeito, meios com descontinuidades significativas não podem ser caracterizados por este método. Entretanto, ao se tratar de geometrias complexas, tridimensionais, em meios homogêneos e elásticos, as análises numéricas realizadas com métodos de elementos de contorno são bem sucedidas.
A relativa simplicidade e flexibilidade computacional dos métodos BEM permitem condições preferenciais de uso quando há necessidade de avaliação de múltiplos cenários operacionais, considerando-se modelos com grande variabilidade geométrica, a
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partir dos quais se pretende obter uma ordem de grandeza dos parâmetros impactantes, bem como identificar fatores de risco de instabilidade em função da variação das tensões. Foram estas as razões pelas quais se optou pelo uso dos métodos de elementos de contorno (BEM) nas análises desta dissertação. A ferramenta BEM usada foi o MAP3D.