Os modelos de solução fechada são exactos, rápidos e fáceis de operacionalizar com o auxílio de um simples computador pessoal, mas difíceis de explicar porque utilizam matemática avançada inerente ao cálculo estocástico (Mun, 2002). Além de que, são muito específicos em natureza e gozam de flexibilidade limitada na extensão a outros casos de investimentos em activos reais.
Nesta secção apresentar-se-á um breve enquadramento dos modelos de Black e Scholes (1973), McDonald e Siegel (1986) e Salahaldin e Granger (2005). Esta selecção resulta da intenção de apresentar modelos de referência e de interesse específico no âmbito do trabalho que se pretende desenvolver. O primeiro modelo constitui um trabalho de referência sobre o qual a investigação inicial sobre AOR foi desenvolvida.
Os restantes merecem-nos especial atenção dado o relevo que tencionamos dar no presente trabalho à determinação do momento óptimo de investimento e valorização da opção de diferimento. Ao passo que McDonald e Siegel (1986) constitui um trabalho de referência em AOR, o trabalho de Salahaldin e Granger (2005) apresenta significativas potencialidades de desenvolvimento e aplicação futura.
O modelo de Black e Scholes (1973) assenta numa fórmula fechada desenvolvida para a avaliação de opções financeiras, resolvida a partir de um conjunto de valores de parâmetros de entrada. Apenas o valor do activo subjacente é considerado estocástico.
De acordo com Trigeorgis (1996), quando estudamos um investimento utilizando a AOR e analisamos uma simples opção de compra, similarmente ao que acontece na análise tradicional de projectos de investimento, consideramos fluxos de caixa líquidos, embora de forma ligeiramente modificada. A diferença assenta na consideração de probabilidades de ocorrência associadas a cash inflows e cash outflows.
Considerando as similaridades entre opções financeiras e opções reais, Luehrman (1998a) apresentou de uma forma simples e intuitiva esta associação através da aplicação do modelo de Black e Scholes (1973) à avaliação de opções reais. Tal como já exposto neste trabalho, a inexistência de mercados completos para a maioria dos activos reais, constitui um factor restritivo à sua aplicação. O modelo apresenta, contudo, outras restrições relacionadas com a possibilidade de exercício da opção apenas na maturidade, que limitam a sua aplicação à AOR.
Apesar de ser utilizado por alguns investigadores, entre os quais Trigeorgis (1996), como benchmark relativamente a outros modelos, os resultados do modelo de Black e Scholes (1973), aplicado a investimentos reais, deverão ser sempre analisados com muitas reservas para cada situação. Por exemplo, Mun (2003) detecta que o modelo
falha como benchmark em certos tipos de opções reais como as de expansão. A principal razão está na fraca flexibilidade do modelo em se adaptar a cada caso concreto e no facto de apenas considerar um factor de incerteza.
A utilização do modelo de Black e Scholes (1973) e Merton (1973) no âmbito da avaliação de investimentos reais pode ser encontrada em Titman (1985), que procede à respectiva adaptação com vista a determinar os valores de lotes de terreno urbano desocupados. Angelis (2000) constitui outro exemplo de aplicação do modelo de Black e Scholes (1973) a um projecto de I&D, com a particularidade de ter determinado a volatilidade a partir das distribuições subjacentes ao custos e proveitos, em vez do tradicional fluxo de caixa líquido.
Em 1986, McDonald e Siegel desenvolveram um modelo, de solução fechada, para calcular o valor de uma oportunidade de investimento com opção de diferimento. Os seus desenvolvimentos também possibilitam o cálculo do momento óptimo para investir, assim como o valor sacrificado quando uma empresa implementa o investimento antes do momento óptimo. Neste trabalho os autores assumem que os investidores são avessos ao risco e por conseguinte possuem carteiras de investimentos bem diversificadas.
Os desenvolvimentos de McDonald e Siegel (1986) assumem que a despesa de investimento e o valor dos fluxos de caixa gerados seguem um processo geométrico browniano. A solução fechada pressupõe que a oportunidade de investimento é perpétua. Na falta deste pressuposto, o modelo apenas poderia ser resolvido numericamente, por uma aproximação em tempo discreto ao problema em tempo contínuo, com aplicação de técnicas de programação dinâmica.
de McDonald e Siegel (1986) permite calcular o valor aproximado da oportunidade de investimento. Esta possibilidade advém do facto dos autores terem incorporado uma distribuição de Poisson no processo estocástico que define o valor do projecto. O desconhecimento do momento no qual o valor do projecto se torna nulo é a única desvantagem, pelo que o valor estimado pelo modelo deverá ser visto com reservas perante investimentos cuja vida útil finita seja conhecida.
Recentemente, Salahaldin e Granger (2005) apresentaram um modelo teórico, de solução fechada, utilizando uma metodologia de AOR, para calcular o valor crítico da população de uma cidade, acima do qual se torna óptimo investir num novo sistema de transportes. Na sua essência, trata-se de um modelo de mudança única, do estado inactivo (esperar – zona de continuação) para o estado activo (investir – zona de paragem), em condições de incerteza. A decisão de mudança entre estados é determinada pela evolução de uma variável estocástica, que segue um processo geométrico browniano. A opção de diferir é ilimitada e uma vez implementado o investimento, este gera benefícios indefinidamente no tempo.
O objectivo dos autores é analisar a mudança de sistema de transporte, numa cidade em crescimento, de forma a manter a sustentabilidade do crescimento populacional e económico.
Neste sentido, a redução da poluição do ar, através das emissões de carbono, fumos tóxicos, poluição sonora, ocupação de espaços verdes, tráfego e acidentes, constitui o único benefício do investimento. O custo resultante da poluição do ar compreende os resultantes da degradação das condições económicas e de bem-estar das populações, causadas pelo sistema de transporte.
investir deriva da maximização de um problema de bem-estar6 económico. O custo da poluição é tratado como um custo social, assumido implicitamente por cada habitante e, por isso, com influência nas respectivas funções de utilidade7 e rendimento disponível. Os autores assumem que a implementação do investimento é instantânea, no momento em que a população crítica é atingida.
Note-se que o modelo de Salahaldin e Granger (2005) é mais parcimonioso comparativamente ao modelo de McDonald e Siegel (1986), dado que depende de apenas seis parâmetros enquanto que este último necessita de dez parâmetros.