Computatational framework

Devido a existˆencia de ´orbitas com o mesmo n´umero de rota¸c˜ao, h´a a possibilidade de que estas colidam e se aniquilem dependendo dos parˆametros. A colis˜ao de ´orbitas peri´odicas representa um fenˆomeno puramente n˜ao-twist [WAFM05]. A dinˆamica do

3.2. Fenˆomenos n˜ao-twist 29 processo ´e a seguinte: uma certa ´orbita no espa¸co de fases possui n´umero de rota¸c˜ao racional ωq/p. Devido ao perfil n˜ao monotˆonico do sistema, ou seja, a presen¸ca de um

m´aximo ou um m´ınimo no perfil de rota¸c˜ao, deve existir outra ´orbita com o mesmo valor racional de rota¸c˜ao. Se o perfil do n´umero de rota¸c˜ao decresce, ent˜ao, essas ´orbitas peri´odicas se aproximam at´e o ponto em que colidem (figura3.2). Na verdade, o processo inverso tamb´em pode acontecer dependendo da varia¸c˜ao dos parˆametros e sob este ponto de vista, ter´ıamos o nascimento de cadeias gˆemeas de per´ıodo p a partir do momento em que o ponto de m´aximo/m´ınimo do n´umero de rota¸c˜ao passasse pelo n´umero racional q/p.

Figura 3.2: Esquema do nascimento ou aniquila¸c˜ao de duas cadeias de ´orbitas peri´odica q/p para um perfil n˜ao monotˆonico ω.

No limite quando as cadeias gˆemeas de per´ıodo p se aproximam, h´a uma mudan¸ca na topologia das variedades dos pontos hiperb´olicos. Nesse instante as variedades das cadeias unem-se sem mudar as estabilidades dos pontos fixos de per´ıodo p. A esse pro- cesso chamamos reconex˜ao. Como as disposi¸c˜oes topol´ogicas das cadeias de ilhas est˜ao relacionadas com o per´ıodo p das mesmas, os processos de reconex˜ao s˜ao distintos para ´orbitas pares e ´ımpares. Nesta parte, trazemos uma breve discuss˜ao dos cen´arios e dos perfis do n´umero de rota¸c˜ao para ambos os casos encontrados para o MPNT.

Cen´ario de per´ıodo par

Para cadeias de ilhas formadas por ´orbitas peri´odicas de per´ıodo par, caracterizamos o cen´ario de bifurca¸c˜oes, mostrando na figura 3.3 os espa¸cos de fases com os respectivos perfis do n´umero de rota¸c˜ao sobre a linha de simetria s1. Para tanto, n´os fixamos b = 0.29

e variamos a em: (a) a = 0.530, (b) a = 0.5107354, (c) a = 0.503, (d) a = 0.500 e, finalmente, (e) a = 0.495. O cen´ario de (a) para (e) marca a aniquila¸c˜ao das ´orbitas peri´odicas e no sentido contr´ario, de (e) para (a), o nascimento de ´orbitas peri´odicas de mesmo n´umero de rota¸c˜ao.

Para ´orbitas com per´ıodo par, ou seja, quando o tipo de estabilidade das cadeias gˆemeas s˜ao as mesmas sob as linhas de simetria (ver figura3.3(a)), o perfil do n´umero de rota¸c˜ao mostra dois patamares em ω = 0.5 associados `as cadeias de ilhas ressonantes de per´ıodo 2 do tipo Poincar´e-Birkhoff. Entre as cadeias de ilhas temos a presen¸ca de toros invariantes e uma curva sem shear central marcada em vermelho.

O processo de reconex˜ao se inicia no limite em que as duas separatrizes se unem formando uma ´unica estrutura, figura 3.3 (b), nesse momento o perfil de rota¸c˜ao sob a linha de simetria s1 forma um patamar ´unico em ω = 0.5.

Na figura 3.3 (c) as ´orbitas hiperb´olicas movem-se para fora das simetrias formando um dipolo topol´ogico e seu respectivo perfil parece com o anterior, no entanto, com o patamar um pouco menor.

A colis˜ao das duas ´orbitas el´ıpticas, bem como as duas ´orbitas hiperb´olicas ´e mostrada na figura 3.3 (d). Como a linha de simetria s1 passa sob os pontos el´ıpticos, eles s˜ao

verificados como pontos de m´aximo no perfil de rota¸c˜ao. Na figura 3.3 (e) as ´orbitas peri´odicas foram aniquiladas.

Salientamos que processos semelhantes s˜ao verificados ao tomarmos o perfil sob a perspectiva das outras simetrias s2,s3 e s4 [WAFM05].

3.2. Fenˆomenos n˜ao-twist 31

Figura 3.3: Sequˆencia de reconex˜ao do cen´ario de per´ıodo par. Os espa¸cos de fases e seus respectivos perfis do n´umero de rota¸c˜ao, sob a curva de simetria s1, est˜ao mostrados acima. Os

parˆametros das figuras s˜ao: b = 0.29 com (a) a = 0.530; (b) a = 0.5107354; (c) a = 0.503; (d) a = 0.500; (e) a = 0.495.

Cen´ario de per´ıodo ´ımpar

Para ´orbitas peri´odicas ´ımpares h´a uma diferen¸ca de estabilidade sob qualquer linha de simetria s. O cen´ario que caracteriza o processo de reconex˜ao neste caso est´a descrito a seguir e visualizado pela figura 3.4, onde fixamos o valor b = 0.32 e variamos a onde: (a) a = 0.345; (b) a = 0.341806; (c) a = 0.340; (d) a = 0.3382 e (e) a = 0.3375.

A figura 3.4 (a) mostra duas cadeias similares de per´ıodo 3 separadas no espa¸co de fases. O correspondente perfil de rota¸c˜ao satura em ω = 1/3, devido `a presen¸ca da ilha ressonante e tamb´em apresenta um ponto de m´aximo ocasionado pela presen¸ca de um toro sem shear.

Na sequˆencia, figura3.4(b), temos de fato uma reconex˜ao, onde as separatrizes unem- se em uma grande corrente de ´orbitas peri´odicas de um ´unico valor de rota¸c˜ao.

Com a diminui¸c˜ao do parˆametro a, temos uma separa¸c˜ao em duas cadeias de ilhas for- mada por separatrizes homocl´ınicas separadas por toros invariantes meandros, figura 3.4

(c). O perfil de rota¸c˜ao, novamente, apresenta uma satura¸c˜ao em ω = 1/3, no entanto, diferente do perfil apresentado na figura 3.4 (a) para as cadeias de Poincar´e-Birkhoff, percebe-se a forma¸c˜ao de um ponto de m´ınimo onde se localiza um toro sem shear acom- panhado dos toros meandros.

A figura 3.4 (d) indica a ocorrˆencia de uma colis˜ao entre o ponto el´ıptico e o ponto hiperb´olico conhecida como bifurca¸c˜ao centro-sela. Nessa figura dois pontos de m´aximo s˜ao observados e, portanto, duas curvas sem shear existem no espa¸co de fases ( na figura 3.4 (d) mostramos apenas a curva sem shear externa). Finalmente, na figura 3.4

3.2. Fenˆomenos n˜ao-twist 33

Figura 3.4: Sequˆencia de reconex˜ao do cen´ario de per´ıodo ´ımpar. Os espa¸cos de fases e seus respectivos perfis do n´umero de rota¸c˜ao, sob a curva de simetria s1, est˜ao mostrados acima. Os

parˆametros das figuras s˜ao: b = 0.32 com (a) a = 0.345; (b) a = 0.341806; (c) a = 0.340; (d) a = 0.3382; (e) a = 0.3375.