Kapittel 6 Empirisk Analyse
6.2. Christiansen-utvalget
Este tipo de análise considera o material elástico, até que no ponto mais solicitado à flexão, o de momento máximo, se atinge o valor de plastificação MP, quando surge
então uma rótula plástica. A geometria será atualizada cada vez que é formada uma RP, sendo modelada como uma rótula de comprimento zero, inserida naquele local, quando na seção atua MP.
Numa formulação via MEF, o equilíbrio do sistema estrutural pode ser descrito pela expressão:
ΣKep ∆∆∆∆U = ∆∆∆∆F; (2.31)
U = U + ∆∆∆U e F = F + ∆∆ ∆∆F. ∆ (2.32a,b)
Isso significa dizer que a variação dos esforços ∆∆∆F, e dos deslocamentos ∆∆ ∆∆U, é ∆ função do estado elasto-plástico (MRG ΣKep) dos EFs (das barras) da estrutura. Como
esse estado varia a cada acréscimo de carga, à medida que se forma(m) a(s) RP(s), então o processo será incremental, mas resulta sempre na solução de um sistema de equações lineares.
Às vezes são necessários ajustes nos incrementos ao definir o menor valor que provoca o surgimento da nova RP, para atualizar a configuração corretamente.
A origem desse método está ligada também aos trabalhos de Neal (1977) e de Horne (1979). Desde que esse método é a base para os de segunda ordem que serão tratados a seguir, será refeita a solução da obtenção da carga de colapso da viga bi- engastada mostrada antes, utilizando esse método.
Acompanhando a Fig. 2.18a, supõe-se que atua a carga P1 irá formar a primeira
RP. Pelo diagrama de momentos elásticos da viga, na Fig. 2.18b, verifica-se que a primeira RP deverá ocorrer no apoio A, onde o momento é máximo.
Por meio de fórmulas indicadas no AISC (1978), obtêm-se os valores da primeira linha da Tab. 2.1. Deve ser observado que a relação entre os momentos é fixa, o que se fez foi arbitrar que o valor máximo seja MP.
Agora, acompanhando a Fig. 2.19a, a viga será considerada como tendo uma rótula em A, para um acréscimo de carga ∆P2, que provocará o surgimento da segunda
RP, na nova região mais solicitada da barra, que será o ponto B, como representado na Fig. 2.19b. P L L/3 VA VC A M MC B A C B P (a) (b) -1.0 ×M 0.667 -0.5 M(x) 1 B (c) (x) v
(a) Esquema estrutural (b) Diagrama de momentos (c) Diagrama de flechas
A (b) 0.333 C ×M B P -0.286 P2 B C A -0.786 -1.0 +1.0 (c) B (d) B (e) B L/3 L (a) VA VC MC M(x) v(x)
(a) Esquema estrutural (b) Diagrama de momentos (c) Diagrama de flechas
Figura 2.19 Análise ERP da viga bi-engastada - 2ª RP.
A relação entre acréscimos de momentos em B e C é a mesma de uma viga com rótula em A e engaste em C, inclusive reações e deslocamentos.
Para se obter o estado intermediário (com P2) da viga, após o incremento de carga,
somam-se os resultados do estado anterior (com P1) e o atual (com ∆P2). O diagrama
dos momentos que resulta desse passo, mostrado na Fig. 2.19c, é a soma dos diagramas da Fig. 2.18b e da Fig. 2.19b.
De igual forma, são computados os deslocamentos, sendo obtida a curva da Fig. 2.19e pela soma das curvas das Fig. 2.18c com Fig. 2.19d.
Os valores correspondentes são indicados na 2a e 3a linhas da Tab. 2.1, notando que não há acréscimo de MA embora haja acréscimo de VA, como esperado.
Tendo-se formado agora duas RPs na viga, para atingir o colapso basta que se forme mais uma. Com a introdução da nova RP no ponto B, a estrutura se comporta como uma viga engastada em C e livre em B, como indica a Fig. 2.20a. Ou seja, nenhum acréscimo de VA poderá ocorrer agora.
Tab. 2.1 Carga de colapso da viga bi-engastada usando EPR.
Carga λλP λλ VA VC MA MB MC Flecha em B P1 27/4 5 7/4 -1 +2/3 -1/2 14 ∆P2 27/14 1 13/14 0 +1/3 -2/7 10 P2 243/28 6 75/28 -1 +1 -11/14 24 ∆P3 9/28 0 9/28 0 0 -3/14 18 P3 9 6 3 -1 1 -1 42 Fator MP/L MP/L MP/L MP MP MP MPL2/(567EI)
-0.214 L (a) P L/3 B 3 v (d) (e) ×M (c) C M VC (b) -1.0 A B (x) A M B +1.0 P C C (x) B -1.0 B
(a) Esquema estrutural (b) Diagrama de momentos (c) Diagrama de flechas
Figura 2.20 Análise ERP de viga bi-engastada - 3ª RP.
Da mesma forma que no passo anterior, o novo acréscimo de carga ∆P3 provocará
o surgimento da última RP na nova região mais solicitada à flexão da barra, que será agora o ponto C.
Também os diagramas finais da Fig.s 2.20c e 2.20e (para P3) se originam da soma
dos diagramas das Fig.s 2.20b e 2.20d (para ∆P3) com os correspondentes ao estado
intermediário: Fig. 2.19c e Fig. 2.19e (para P2).
Observando a Tab. 2.1, nas 4a e 5a linhas, podem ser verificados os passos e grandezas envolvidas, com o detalhe que o fator de colapso é o mesmo já encontrado antes na Eq. 2.30.
Sohal e Chen (1995) mostram uma estimativa mais real do deslocamento, utilizando o princípio do trabalho virtual ou do método da curvatura, o valor encontrado é vB = MPL2/(12EI), 12.5% maior que o indicado na Tab. 2.1. Na última linha indicam-
se os fatores multiplicadores usados em cada coluna da tabela.
Pelo exemplo, podem-se verificar facilmente as vantagens deste tipo de análise. Em primeiro lugar, determina a ordem em que são formadas as RPs, o que significa diagnosticar os pontos mais fracos da estrutura (globalmente), quanto à resistência; em segundo lugar, encontra a carga de colapso e apresenta uma estimativa dos deslocamentos que serão atingidos nessa condição.
Tin-Loi e Vimonsatit (1993) e Davies (2002) usaram do ERP com algumas melhorias para o estudo da acomodação e o efeito de cargas cíclicas.
2.6.3 Considerações Finais
Os dois métodos apresentados procuram estabelecer um limite de resistência baseado só na flexão. Dessa forma, para o dimensionamento do sistema estrutural é necessário ainda o uso das equações de interação e do coeficiente de flambagem k visto que na determinação do colapso, desconsiderou-se a presença dos esforços normais nas barras e os seus efeitos, tanto na estabilidade quanto na resistência.
Na Europa, o uso do cálculo plástico é bastante difundido, o que não acontece nos EUA. No Brasil, além de se seguir os passos dos americanos, o emprego de perfis soldados (cujas tensões residuais são reconhecidamente maiores que a dos laminados), gerou uma dificuldade adicional para a aplicação dessa análise, por não se dispor de dados ou ensaios comparativos que habilitassem o seu uso.
Porém, nos EUA ainda houve uma preocupação no desenvolvimento da técnica,
podendo-se citar as colaborações de Higgins et al. (1971) bem como Chen e White (1993), já que o uso da plasticidade de primeira ordem é liberado para estruturas onde os efeitos de segunda ordem sejam desprezáveis.
Para construções de até 2 pavimentos, com cargas verticais pequenas, o ECCS (1984) libera o uso desse método, mas impõe uma série de verificações adicionais nas equações de interação, controle de flambagem local, avaliação da ductilidade e travamentos nos pontos das RPs.
Nos EUA, o dimensionamento plástico está enquadrado nas restrições do AISC LRFD (1993), sendo liberado para: vigas contínuas em pavimentos, galpões e pequenos prédios de andares múltiplos; em geral construções de menor porte.
Do ponto de vista prático, a aplicação desse método no Brasil pode ser considerada mais uma ferramenta na avaliação de capacidade, do que um recurso para dimensionamento.
Como indicado na Fig. 2.21a, na superfície de dimensionamento correspondente a esse método, pode-se tomar uma reta paralela ao eixo M/MP, visto que se ignora a
presença do esforço normal, que corresponderia ao valor limite de N/ Ny = 0.5. Como se
reproduz na Fig. 2.21b, a trajetória de equilíbrio só pode ser definida pelo ERP e será tangente a semi-reta paralela ao eixo ∆, com o valor da carga de colapso λP, que é a
p Fa to r de c ar ga e Deslocamento Superfície de início do escoamento 1,0 1,0 M/Mp Z Z
real perfil I flexão z-z Superfície de plastificação y M /M 0,5 y P crítico colapso Análise inelástica de 1 ordema N /N
(a) Gráfico do dimensionamento (b) gráfico do comportamento
Figura 2.21 Resultado da análise inelástica de 1a ordem.
Este tipo de análise também não consegue fornecer dados para o problema da estabilidade. Isso só vai ser possível, a partir do equilíbrio da estrutura na posição deformada, logo, adotando-se uma teoria de segunda ordem.
2.7 ANÁLISE INELÁSTICA DE SEGUNDA ORDEM
De maneira geral, esta análise considera o comportamento do material da mesma forma que na análise de primeira ordem: elástico-perfeitamente plástico.
Segundo Davies (2002), sua origem acontece por volta de 1960, com modestas análises procurando estudar a acomodação e o efeito de cargas cíclicas, já se identificando os falsos mecanismos.
Com o desenvolvimento de estudos e pesquisas em relação à plasticidade, chegou- se a conclusão, que em grande parte das estruturas, o fator de carga é limitado a um valor bem inferior ao da carga de flambagem elástica (λe) ou a carga de colapso plástico
(λp).
Essa carga limite, conforme Galambos et al. (1998) “resulta do efeito combinado de deslocamentos e deformações associados à redução de rigidez devido à plasticidade ao longo das barras e à distribuição dessa plasticidade ao longo dos diversos EFs da estrutura, de tal forma que provoca a flambagem inelástica do conjunto, antes mesmo
do colapso por mecanismo ou da flambagem elástica”.
Estima-se, com bons resultados, usando a fórmula de Merchant-Rankine (Horne, 1979), que o valor desse fator de carga limite λlim, será aproximado pela expressão:
(
p e)
plim =λ 1+λ λ
λ . (2.33)
No caso do ECCS (1984), exige-se que λe ≥ 10 λp para que λlim ≅ 0.91 λp e se
possa usar o ERP de primeira ordem, caso contrário obriga-se avaliar os efeitos de segunda ordem.
Todavia, o cálculo λlim dessa forma exige a determinação da carga crítica λe, o que
significa uma análise elástica de segunda ordem, e obter o fator de colapso λp por uma
análise inelástica de primeira ordem. A questão que imediatamente surge é: por que não determinar essa carga limite diretamente, através de uma análise inelástica de segunda ordem?
Assim, esta análise aparece com o objetivo de se determinar esse fator de carga limite com precisão.
Enquanto Vogel (1985) e Ziemian (1992) obtiveram bons resultados através da análise ERP de segunda ordem em estruturas de prédios razoavelmente regulares, King et al. (1992) e Liew et al. (1993) demonstraram que os fatores de carga limite eram superestimados nos casos em que a instabilidade da estrutura é determinada por algumas barras (e não por todo o conjunto, com várias RPs).
Ao não considerar a modificação do comportamento dos EFs (barras) a partir do início do escoamento (com a redução gradativa da rigidez e da área remanescente elástica), os valores de carga limite obtidos em certos casos são perigosamente superiores aos reproduzidos pelo método da zona plástica (ZP), relatado por McGuire (1991), White (1993) e Liew et al. (1994).
As exceções eram barras com esforços de compressão menores (N ≤ 0.5 Ny), e
tendo menor difusão da plasticidade ao longo do EF (barra), conforme Ziemian (1992). Assim, para colunas trabalhando à flexo-compressão na condição de:
a. simples curvatura com N/Ny < 0.2 e A/rz < 20;
b. dupla curvatura com N/Ny < 0.3 e A/rz < 40; e
(sendo a altura da coluna A, o raio de giro no eixo z da seção rz, a esbeltez λc calculada
pela Eq. 6.3, e as demais grandezas já foram antes descritas), os resultados são aceitáveis (com erro máximo inferior a 5 % não conservador); para os demais casos podem ocorrer erros de até 18 % (Chen et al., 1996).
Esta análise surge então como uma extensão do ERP, na qual se adota agora uma superfície de plastificação, que identificará quando numa dada da seção se formará a RP, a partir do esforço normal N e momento fletor M que nela atuam. Portanto, conforme Galambos et al. (1998) “é baseada num critério de plastificação que avalia as tensões normais longitudinais atuantes devido à combinação de esforço axial com momento fletor, e freqüentemente, desprezando cisalhamento e torção.”
Essas superfícies de plastificação (já mostradas nos gráficos N/Ny × M/MP, como
o da Fig. 2.21a), definirão a formação e o comportamento da RP. Acompanhando a Fig. 2.22, supondo que o ponto P represente o estado de uma seção hipotética plastificada, a definição de estado RP significa que se houver acréscimo da carga axial N, haveria a passagem para um ponto qualquer Q fora da superfície. Porém, como o momento plástico absorvido deverá reduzir, se aplica um vetor de correção com cargas fictícias de forma a devolver a RP à superfície, no ponto de retorno R.
Por outro lado, se houver decréscimo no axial N, o valor de Mp para atingir o
estado de RP cresce, salvo descarregamento elástico.
M/MP 1,0 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,8 0,6 0,4 0,2 P N 8 M N 9 M + = 1 N M + = 1 z y P 2N My P Superfície de plastificação Interação do LRFD ~ z Interação do LRFD Q R Vetor correção real perfil I flexão z-z
y
N
/N
Dessa forma, se estabelece um padrão limite de comportamento da seção na plasticidade, impedindo que possam surgir esforços plásticos absurdos, já que a trajetória do ponto P não pode ultrapassar essa superfície, pois o material é elástico- perfeitamente plástico, (não é considerado o encruamento).
Essa superfície é normalmente estabelecida a partir das curvas de interação, como mostrado na Fig. 2.22, em que se usou a do AISC LRFD (1993) para o eixo de maior inércia (z-z) de vigas I ou H.
Outras curvas de interação foram aplicadas em outros modelos (com flexão no eixo de menor inércia de perfis I ou H), como Duan e Chen (1989), e também em alguns trabalhos (com análises em 3D, onde as superfícies de interação são mais complexas), iniciados por Orbison et al. em 1982. (Attalla et al., 1994; Ziemian e McGuire, 2001).
O equilíbrio do sistema estrutural é então estabelecido considerando a geometria atualizada em cada etapa do processo de carregamento, ou seja, a geometria deformada participa em cada etapa da atualização da rigidez.
Reportando ao mostrado na análise elástica de segunda ordem, existem abordagens associadas à matriz de rigidez geométrica Kg bem como com as funções de
estabilidade ou suas formas equivalentes (White, 1993).
O processo desta análise é incremental nas cargas e ou deslocamentos, e iterativo ao avaliar a rigidez estrutural em cada passo, assim como ao resolver o sistema de equações não-lineares, aqui são necessários: tanto uma estratégia de solução, como um critério de convergência.
Numa formulação via MEF, o equilíbrio pode ser descrito pela expressão:
Σ(Kep + Kg) ∆∆∆∆U = ∆∆∆∆F; ou, ΣKepg ∆∆∆U = ∆∆ ∆∆F∆ ; (2.34a,b)
U = U + ∆∆∆∆U e F = F + ∆∆∆F. ∆ (2.34c,d)
No primeiro caso (2.34a), a matriz de rigidez geométrica Kg é somada à elasto-
plástica Kep; no segundo caso (2.37b), a matriz de rigidez Kepg possui a parte elasto-
plástica corrigida diretamente pelos efeitos das funções de estabilidade, já apresentadas. A variação dos esforços ∆∆∆F e dos deslocamentos ∆∆ ∆∆∆U é acumulada em etapas incrementais. E como o sistema é altamente não-linear, se aplicam procedimentos iterativos que avaliam forças residuais a serem novamente equilibradas por meio de novas soluções do sistema, com as grandezas envolvidas atualizadas.
Ao se fazer a análise de segunda ordem, os efeitos da deformação da estrutura associados tanto a curvatura inicial (Pδ) como a fora de prumo (P∆), ambos vistos na Fig. 2.7, serão considerados na análise.
De maneira geral, entretanto, a análise elástica com RP de segunda ordem não produz resultados adequados, por isso surgem procedimentos corretivos que permitem a obtenção de bons resultados. Entre esses procedimentos destacam-se os métodos:
a. elástico com rótula plástica e cargas nocionais: ERP-CN, (Liew et al., 1993); b. elástico com rótula plástica refinado: ERP-R, (Liew et al., 1994); e
c. elástico com rótula plástica de seção montada: ERP-M, (Chan e Chui, 1997 e 2000).
Em geral, esses métodos apresentam os deslocamentos muito próximos na maioria das análises estruturais, sendo representado na Fig. 2.23 o comportamento aproximado do ERP-R. Nessa figura admite-se que foram utilizados mais EFs por barra (o que não é usual), de forma a se conhecer os deslocamentos em pontos que não são RPs.
Em contraposição aos processos que utilizam a plasticidade aproximada por RPs, denominados de plasticidade concentrada (onde o comportamento é avaliado apenas nos pontos nodais), surge um outro método, em que é considerada a difusão da plasticidade ao longo dos EFs (barras), chamado de zona plástica (ZP). Essa aproximação é a que consegue reproduzir com mais fidelidade os resultados de laboratório, por isso é considerada a “exata” entre os métodos inelásticos de segunda ordem.
Rótula Plástica Refinada Y
X Figura 2.23 Deslocamentos no modelo ERP segunda ordem.
Entretanto, como a zona plástica exige muitos recursos computacionais, outros processos alternativos têm surgido, procurando por um lado produzir tão bons resultados quanto a ZP, e por outro reduzir o tempo e necessidades do processo eletrônico. Assim aparece o quase RP, entre outras aproximações (Attalla et al., 1994).
Todos esses métodos pretendem definir com precisão a carga limite e dessa forma nasce o conceito da análise avançada. A seguir serão apresentados alguns detalhes dos quatro métodos principais de análise inelástica de segunda ordem, já mencionados antes.