A relação de Parseval é uma generalização do teorema da convolução complexa. A sua versão intervalar também sofrerá as mesmas restrições que a versão intervalar do teorema da convolução complexas.
Proposição 99 Sejam X1[n] e X2[n] duas sequências intervalares complexas. Uma versão
intervalar da relação de Parseval pode ser apresentada como
∞
∑
n=−∞ X1[n]X2∗[n] = 1 [2π j;2π j] I CX
1(v)X
∗ 2 1 v∗ v−1dv, (5.151)onde o contorno de integração tem que conter as regiões de convergência de
X
1(v) eX
2∗1 v∗ . Prova: Do teorema 25, tiramos ∞∑
n=−∞ X1[n]X2[n]z−n= 1 [2π j;2π j] I C1X
1 z vX
2(v)v−1dv, (5.152)que, pela comutatividade da multiplicação intervalar obtemos
∞
∑
n=−∞ X2[n]X1[n]z−n= 1 [2π j;2π j] I C1X
2 z vX
1(v)v−1dv, (5.153)5.9. CONCLUSÃO 141 que é equivalente a ∞
∑
n=−∞ X1[n]X2[n]z−n= 1 [2π j;2π j] I C1X
1(v)X
2 z v v−1dv. (5.154)Da proposição 5.108, que garante X∗[n] ←→Z
X
∗(z∗), e do foto do conjugado do pro-duto ser o produto dos conjugados concluímos
∞
∑
n=−∞ X1[n]X2∗[n]z−n= 1 [2π j; 2π j] I C1X
1(v)X
2∗ z∗ v∗ v−1dv. (5.155)Avaliando a expressão da equação 5.155 para z = 1 obtemos
∞
∑
n=−∞ X1[n]X2∗[n] = 1 [2π j; 2π j] I C1X
1(v)X
2∗ 1 v∗ v−1dv. (5.156)5.9 Conclusão
Entres as diferentes técnicas de manipulação de sinais, escolhemos a transformada-
Z
para fazer sua versão intervalar. Pois as transformadas são ferramentas importantes em processamento de sinais e a transformada de Fourier de uma certa maneira poder ser con- siderada um caso particular da transformada-Z
quando tomada no círculo unitário. Para a construção da transformada-Z
intervalar e suas propriedades além de fazermos uso de todo os construtos apresentados nos capítulos anteriores também se fez necessário outras contribuições como a circunferência intervalar, polinômios intervalares, polos e zeros in- tervalares. Uma das contribuições importantes deste capítulo fui o uso de uma métrica que preserva incertezas na construção da definição de módulo intervalar que preserva a inclusão monotônica. As regiões de convergências na sua versão intervalar ganharam duas outras possibilidades pelo fato de considerar o módulo intervalar. Renomeamos as regiões de convergências com os seguintes rótulos: região de convergência estrita-RCE para aquela região que independente da imprecisão do sistema o sistema sempre converge; Região de não-convergência estrita-RNCE rótulo da ragião onde sistema sempre diverge independente do grau de incerteza; região limite de convergência-RLC nome que recebeu a região de fronteira da região de convergência; região limite de não convergência-RLNC nome que designa a região de fronteira com a região de não-convergência e por fim a região de convergência condicional-RCC que representa a região de incertezas do sis- tema é uma transição entre convergência e não-convergência. Verificamos que em um sistema não intervalar não temos a figura da RCC e a RLC e RLNC são coincidentes. Com isso criamos uma nova maneira de analisar convergência de sistemas intervalares. Apresentamos as propriedades das novas regiões de convergências. Verificamos relações entre estabilidade, causalidade e regiões de convergências. Analisamos o caso da in- versa da transformada-Z
, usamos a integral de linha de Callejas-Bedregal e Bedregal [Callejas-Bedregal & Bedregal 2005] para a construção do método formal da inversa datransformada-
Z
. Apresentamos os métodos de investigação da inversa por inspeção, por expansão em frações parciais, expansão em séries de potências. Foi feita uma apresen- tação das propriedades da transformada-Z
tais como linearidade, sempre lembrando das limitações de sistemas intervalares não possuírem a distributividade da multiplicação em relação à adição. Abordamos o deslocamento no tempo, multiplicação por uma sequência exponencial, diferenciação, conjugação de uma sequência, simetria temporal. Abordamos convolução de sequências intervalares e transformada-Z
intervalar. e por fim uma versão intervalar da relação de Parserval.Neste capítulo foi apresentada um versão da transformada-
Z
intervalar com coefi- cientes intervalares, para modelar sinais intervalares. As vantagens desta abordagem são o módulo intervalar que preserva a incerteza, o poder da aritmética intervalar em lidar com erros e a análise de convergência intervalar, que esse modelo proporciona. Este modelo pode ser usado para representar sistemas, nos quais as incertezas estão na quantização em sistemas com representação finitas. 6. Assim, acreditamos que este capítulo contribui para melhorar as manipulações com sinais com incertezas nas aplicações de processamento de sinais.Capítulo 6
Filtros intervalares
Neste trabalho é proposto o uso de matemática intervalar no processamento de sinais intervalares digitais, representados por sistemas lineares. Por isso, neste capítulo, nas seções 6.2.1 e 6.2.2, mostraremos exemplos corriqueiros, onde sistemas inerentemente intervalares são representados pela aritmética real. Na seção 6.2.3 apresentaremos um exemplo de uma técnica de projeto de filtro digital através do modelo analógico, onde fica clara a limitação do modelo matemático escolhido na representação do sistema. Na seção 6.2.4 trabalharemos com os conceitos de [Oppenheim & Schafer 1989] sobre efeitos de quantização, modelando o problema em sistemas IIR. Usaremos manipulação simbólica para justificar uma representação intervalar para sistemas IIR com problemas de quanti- zação.
Ainda como contribuição deste capítulo, apresentaremos o uso da aritmética intervalar na construção de filtros. Isso será apresentado na seção 6.3
Neste capítulo nos restringiremos ao uso da aritmética na análise de projetos de filtros. A teoria clássica de implementação pode ser encontrada nos textos de [Oppenheim & Schafer 1989] e [Smith 1999].
6.1 Filtros
Filtros são estruturas usadas para manipular sinais. Os filtros seletivos em frequências podem ser classificados como passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa. Quanto à resposta ao impulso os filtros são classificados como: resposta finita ao impulso-FIR (finite impulse response) e resposta infinita ao impulso-IIR (infinite impulse response). Além dessa divisão, os filtros ainda podem ser classificados em analógicos e digitais. Os primeiros estão matematicamente associados a sistemas contínuos e o segundo grupo a sistemas discretos. Embora usaremos um exemplo de filtros analógico para mostrar a natureza intervalar dos sinais, neste trabalho daremos maior destaque aos filtros digitais, no qual usaremos a fundamentação matemática desenvolvida com a transformada-
Z
in- tervalar do capítulo 5. Filtros digitais são frequentemente usados para simular(emular) os filtros analógicos clássicos tais como Butterworth, Chebyshev e elípticos.Os filtros adaptativos são essenciais em muitas aplicações de processamento de sinais, tais como equalização de canais, cancelamento de eco, controle de ruído ativo e pro- cessamento de voz[Ocloo & Edmonson 2008]. Filtros adaptativos são temas de grande
parte das pesquisas em processamento de sinais, comunicação e controle [Edmonson et al. 1998], embora não tratados neste trabalho, mas a fundamentação matemática ap- resentada pode ser usada na construção deste filtros.
Nesta seção faremos uma apresentação geral sobre filtros seletivos em frequência, deixando uma investigação mais aprofundada por conta dos textos [Oppenheim & Schafer 1989], [Smith 1999]. Não discutiremos aqui transformada de Laplace, apenas faremos uso de sua notação no intuito de esclarecer a natureza intervalar dos métodos de projetos e im- plementação de filtros. Usaremos para esse fim um exemplo apresentado em [Oppenheim & Schafer 1989, pg 404].