Ao contr´ario das discuss˜oes com o logicismo, que aparecem bem demarcadas e ocupam quase que a totalidade dos cap´ıtulos X e XI, as observa¸c˜oes acerca de temas intuicionistas se encontram esparsas em diversos cap´ıtulos das PhBm. Os nomes de Brouwer e Weyl s˜ao
∗PhBm, X−112a .
†Com o aux´ılio de notas tomadas em conversas com Wittgenstein.
mencionados trˆes vezes, ao passo que o termo “intuicionismo” s´o ocorre nos manuscritos, em duas ocasi˜oes. Antes de detalhar as observa¸c˜oes de Wittgenstein sobre estes autores, conv´em expor, em linhas gerais, as bases do programa intuicionista.
O intuicionismo funda a matem´atica na intui¸c˜ao temporal, i.e., na apreens˜ao imediata da sucess˜ao, no tempo, de vivˆencias distintas. A existˆencia de geometrias n˜ao euclidianas faz com que Brouwer reconsidere a tese de Kant segundo a qual a geometria se funda na intui¸c˜ao do espa¸co (euclidiano). Por outro lado, Brouwer adere `a tese kantiana de que a aritm´etica ´e fundada na intui¸c˜ao do tempo e, portanto, suas verdades s˜ao incapazes de demonstra¸c˜ao anal´ıtica. Por´em, ao contr´ario de Kant, Brouwer funda tamb´em a geometria nesta intui¸c˜ao a priori, j´a que “desde Descartes, n´os aprendemos a reduzir todas as geometrias `a aritm´etica por meio do c´alculo com coordenadas”∗.
Esta dimens˜ao intuitiva da matem´atica ´e, segundo Brouwer, a fonte do conhe- cimento matem´atico, conhecimento este que n˜ao ´e obtido pelo car´ater verdadeiro de uma proposi¸c˜ao, mas por uma constru¸c˜ao introspectiva que independe da existˆencia de uma formula¸c˜ao lingu´ıstica. Brouwer chega at´e mesmo a afirmar que ´e poss´ıvel conceber uma verdade matem´atica que n˜ao pode jamais ser fixada em um sistema de f´ormulas e alega que o sentimento de “verdade matem´atica” que acompanha a constru¸c˜ao mental ´e o ´unico crit´erio de “verdade” na matem´atica†. O crit´erio de “falsidade” na
matem´atica, por sua vez, n˜ao ´e a ausˆencia desta constru¸c˜ao, mas a prova da absurdidade da constru¸c˜ao correspondente‡.
Como observa Cassou-Nogu`es, a possibilidade de uma realiza¸c˜ao temporal n˜ao ´e apenas o fundamento das opera¸c˜oes matem´aticas, mas a origem dos limites que a matem´atica intuicionista imp˜oe para a no¸c˜ao de “prova”, limites que conduzem Brouwer a rejeitar parte da matem´atica cl´assica§. Aos olhos do intuicionista, o que ´e problem´atico em certos racioc´ınios da matem´atica cl´assica ´e o uso – em dom´ınios infinitos – das leis l´ogicas para derivar, de modo puramente mecˆanico, asser¸c˜oes lingu´ısticas a partir de outras asser¸c˜oes lingu´ısticas. Em dom´ınios finitos, i.e., em dom´ınios que envolvem o c´alculo da presen¸ca de certa propriedade (que ´e calcul´avel em um n´umero finito de passos) para uma lista finita de objetos matem´aticos, as leis l´ogicas s˜ao inofensivas,
∗L. E. J. Brouwer: L. E. J. Brouwer - Collected Works: 1. Philosophy and Foundations of
Mathematics, ed. por A. Heyting, vol. I, Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1975,
p. 128.
†Cf. ibid., p. 452. Por motivos bastante ´obvios, a concep¸c˜ao do papel da linguagem e dos signos
lingu´ısticos em Brouwer ´e diametralmente oposta `a de Wittgenstein. N˜ao iremos, todavia, insistir nesta divergˆencia entre ambos os autores. Gostar´ıamos apenas de lembrar que este pessimismo em
rela¸c˜ao `a linguagem era uma posi¸c˜ao bastante comum `a ´epoca, sobretudo na Viena fin-de-si`ecle.
‡Resta, por´em, a quest˜ao de saber no que consiste, para Brouwer, esta “absurdidade” ou “im-
possibilidade da constru¸c˜ao”. Para uma discuss˜ao breve desta dificuldade, Cf. Walter P. Van Stigt: Brouwer’s Intuitionist Programme, em: Paolo Mancosu (ed.): From Brouwer to Hilbert: The Debate
on the Foundations of Mathematics in the 1920’s, New York: Oxford University Press, 1998, pp. 1–22.
§Cf. Pierre Cassou-Nogu`es: Le temps, l’espace et la d´emonstration. De Kant `a Gentzen, en
pois nestes casos toda prova (toda constru¸c˜ao) das premissas do racioc´ınio l´ogico pode ser transformada em uma prova (em uma constru¸c˜ao) da conclus˜ao do racioc´ınio. A investiga¸c˜ao de dom´ınios (potencialmente) infinitos, por´em, leva Brouwer ao resultado de que uma lei l´ogica, em particular, n˜ao ´e um instrumento confi´avel de deriva¸c˜oes de constru¸c˜oes matem´aticas. Esta lei ´e o Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo.
Em diversos escritos, Brouwer procura convencer o leitor de que este princ´ıpio deve ser recusado, pois, em geral, “nenhuma realidade matem´atica corresponde `a afirma¸c˜ao deste princ´ıpio e a conclus˜oes derivadas por seu interm´edio”∗. Para este
fim, Brouwer faz uso de contraexemplos† que dependem essencialmente de problemas
matem´aticos n˜ao resolvidos (e.g., a conjectura de Goldbach). Um destes contraexemplos ´e o “n´umero pendular”, uma regra convergente para a constru¸c˜ao de n´umeros racionais, do qual n˜ao se pode asserir nem que ele ´e igual a 0 (pois isso remontaria a provar o problema matem´atico n˜ao resolvido) nem que ele ´e diferente de 0 (pois isso remontaria a provar a falsidade do problema em quest˜ao). Este n´umero, conclui Brouwer, “n˜ao ´e nem igual a 0 nem diferente de 0, o que contradiz o Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo”‡.
Assim como o “atual rei da Fran¸ca” n˜ao ´e nem calvo nem cabeludo, o “n´umero pendular” de Brouwer n˜ao ´e nem igual a 0 nem distinto de 0: tertium datur.
Por essa raz˜ao, Brouwer identifica o Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo com o princ´ıpio da resolubilidade de todo problema matem´atico§. Sendo incerto se quest˜oes
como “H´a um d´ıgito que ocorre mais frequentemente que os outros na expans˜ao decimal de π?” ou “H´a na expans˜ao decimal de π a ocorrˆencia de infinitos pares consecutivos de d´ıgitos idˆenticos?”¶ podem ser resolvidas, tamb´em ´e incerto se o uso do Princ´ıpio do
Terceiro Exclu´ıdo leva a resultados corretos quando aplicado e, ainda que as quest˜oes acima sejam porventura resolvidas, ´e sempre poss´ıvel formular outra quest˜ao da qual a resolubilidade ´e pass´ıvel de d´uvida.
Mas como ´e que a atividade matem´atica, cujo fundamento ´e a intui¸c˜ao temporal
∗L. E. J. Brouwer: Mathematik, Wissenschaft und Sprache, em: A. Heyting (ed.): L. E.
J. Brouwer - Collected Works: 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, vol. I, Amsterdam:
North-Holland Publishing Company, 1975, p. 425.
†Hoje chamados de contraexemplos fracos (weak counterexamples), em oposi¸c˜ao a contraexemplos
fortes (strong counterexamples). Os contraexemplos que nos interessam s˜ao os primeiros, pois s˜ao
eles que ser˜ao mencionados por Wittgenstein nas discuss˜oes com Brouwer. Al´em disso, o primeiro
contraexemplo forte ´e apresentado por Brouwer apenas em 1949, j´a longe do auge das discuss˜oes sobre os fundamentos da matem´atica. Cf. Dirk van Dalen: Intuitionistic Logic, em: Dov M. Gabbay/F.
Guenthner (eds.): Handbook of Philosophical Logic, 2a ed., vol. 5, Dordrecht: Kluwer-Academic
Publishers, 2002, p. 99.
‡Brouwer: Mathematik, Wissenschaft und Sprache, p. 425.
§Idem: Intuitionistische Betrachtungen ¨uber den Formalismus, em: A. Heyting (ed.): L. E.
J. Brouwer - Collected Works: 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, vol. I, Amsterdam:
North-Holland Publishing Company, 1975, p. 410.
¶Os exemplos s˜ao de Brouwer. Cf. idem: The Unreliability of the Logical Principles, em: A.
Heyting (ed.): L. E. J. Brouwer - Collected Works: 1. Philosophy and Foundations of Mathematics,
finita, pode lidar com dom´ınios infinitos na matem´atica? Para o intuicionista do primeiro ato, ´e o racioc´ınio por indu¸c˜ao completa que nos permite alcan¸car o infinito com considera¸c˜oes finitas:
A ferramenta que nos auxilia a lidar com sistemas infinitos em um processo finito ´e a indu¸c˜ao completa; ela nos permite controlar a sequˆencia infinita dos n´umeros naturais por meio da observa¸c˜ao de propriedades, i.e., ajustes (imbeddings) que valem para qualquer n´umero natural, em particular tamb´em contradi¸c˜oes, i.e., ajustes imposs´ıveis que valem para qualquer n´umero natural.∗
Em uma nota de rodap´e associada a este excerto, Brouwer atribui a Poincar´e o m´erito de ter reconhecido a indu¸c˜ao completa como o “racioc´ınio matem´atico par excel- lence”. Poincar´e entendia o racioc´ınio por indu¸c˜ao completa como uma “condensa¸c˜ao”, em uma ´unica f´ormula, de uma sequˆencia infinita de silogismos. Esta sequˆencia que nunca encontraria um fim ´e reduzida, diz Poincar´e, “a uma frase de algumas linhas”†.
Por´em, mesmo com este mecanismo miraculoso que nos permite percorrer uma mara- tona infinita com poucos passos, ainda assim este processo regrado de apresenta¸c˜ao do infinito ´e, para Brouwer, limitado quando a tarefa consiste na elabora¸c˜ao de uma teoria do continuum. O racioc´ınio de Brouwer ´e o seguinte: na concep¸c˜ao intensional, o infinito ´e apenas ating´ıvel por uma regra (a regra indutiva); como os n´umeros reais tˆem, em cada sistema, uma expans˜ao infinita, este infinito poderia apenas ser dado por meio de uma regra de constru¸c˜ao das aproxima¸c˜oes racionais que convergem para o n´umero real em quest˜ao; ora, a totalidade destas regras ´e denumer´avel, e mesmo que possamos – pelo racioc´ınio de Cantor – construir uma regra que n˜ao esteja na totalidade inicial, a adi¸c˜ao desta regra ao conjunto n˜ao faz com que este conjunto deixe de ser denumer´avel. O segundo ato do intuicionismo – cujo objetivo ´e fundamentar uma teoria intuicionista do continuum – introduz, ent˜ao, outra forma para lidar de modo intensional com o infinito al´em de regras de produ¸c˜ao de um pr´oximo termo: as sequˆencias de escolha. Uma sequˆencia de escolha ´e uma entidade matem´atica que n˜ao ´e pr´e-determinada por uma regra, mas por uma sucess˜ao de escolhas livres, podendo, neste estado de desenvolvimento livre, adquirir propriedades que ela n˜ao possuia antes destes atos de escolha‡. Com esta ferramenta, Brouwer procura mostrar, ent˜ao, que a
introdu¸c˜ao des elementos “inacabados” (unfertige) ´e necess´aria e suficiente para dar conta da multiplicidade do continuum pleno, n˜ao denumer´avel§.
∗ibid., pp. 109-10 .
†Henri Poincar´e: La Science et l’Hypoth`ese, Paris: Flamarion, 1917, p. 20.
‡Cf. L. E. J. Brouwer: The Effect of Intuitionism on Classical Algebra of Logic, em: A. Heyting
(ed.): L. E. J. Brouwer - Collected Works: 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, vol. I, Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1975, p. 552.
§Cf. idem: Die Struktur des Kontinuums, em: A. Heyting (ed.): L. E. J. Brouwer - Collected
Works: 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, vol. I, Amsterdam: North-Holland Publishing
Uma vez expostas, em tra¸cos largos, mas suficientemente abrangentes, as bases do programa intuicionista, ´e poss´ıvel passar para as observa¸c˜oes de Wittgenstein que procuram dialogar com estes autores. Veremos que as divergˆencias de Wittgenstein com os intuicionistas residem em temas que circundam a no¸c˜ao de “infinito” e seu papel na matem´atica. Na Se¸c˜ao seguinte, mostraremos os motivos de Wittgenstein para recusar uma “matem´atica do infinito”, para recusar que a indu¸c˜ao completa seja uma ferramenta para lidar, de modo finito, com sistemas infinitos. Procuraremos mostrar, ent˜ao, como Wittgenstein procura tratar as “proposi¸c˜oes gerais” na matem´atica levando at´e as ´ultimas consequˆencias a separa¸c˜ao entre os sistemas alg´ebrico e aritm´etico. Na Se¸c˜ao subsequente, exporemos as reservas feitas por Wittgenstein `a no¸c˜ao de sequˆencias de escolha, reservas que est˜ao diretamente relacionadas a sua pr´opria teoria dos n´umeros reais.