Essas autoras definem "insight algébrico" como sendo a parte do sentido simbólico necessário para encontrar uma solução matemática para um problema formulado matematicamente e que, provavelmente, é afetada quando se faz Matemática utilizando tecnologia CAS. Ele inclui o que as autoras chamaram de a expectativa algébrica e a habilidade de coordenar representações. Para elas, enquanto muitas das habilidades técnicas e de manipulação algébrica são essenciais para a resolução de problemas "à mão" e não são necessárias quando se está trabalhando com CAS, o insight algébrico é essencial independentemente dos métodos ou recursos utilizados. Essa idéia é expressa no esquema
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a seguir, que foi traduzido e adaptado da versão original: dos métodos ou recursos
utilizados.
A expectativa algébrica envolve três elementos:
- o reconhecimento de convenções e propriedades básicas, por exemplo, das
diferenças entre a linguagem matemática escrita à mão e a sintaxe dos CAS; - a identificação de estruturas, por exemplo, que permitam fatorar as expressões
algébricas de diferentes modos;
- identificação de características-chave, por exemplo, de que a função quadrática tem um extremo, ou de que uma função cúbica pode ter até três raízes reais. Esses elementos permitem aos alunos controlar e monitorar os resultados apresentados pelo computador. Eles se manifestam, ou não, nas atividades de resolução de problemas com a utilização desse recurso sendo, de qualquer modo, essenciais a esse contexto.
O segundo aspecto do insight algébrico, é a habilidade de coordenar representações. Ela abrange:
- a coordenação de representações simbólicas e gráficas, por exemplo, de que o gráfico de uma função polinomial de grau quatro pode tocar o eixo x até quatro vezes;
- a coordenação de representações simbólicas e numéricas, como no caso da
função afim à qual se pode associar variações constantes nos valores de y decorrentes de variações constantes em x.
Pierce e Stacey (2002) concluem que tais compreensões sobre o insight algébrico podem levar a mudanças nas abordagens atuais de ensino. Os elementos que compõem sua estrutura podem ajudar a orientar o foco das atividades àqueles elementos que precisam ser enfatizados no ensino e na sua avaliação. O insight algébrico é, segundo
Mani p ula ç ão al g ébrica Problema matemático Solução matemática Insight algébrico Habilidade de Expectativa coordenar algébrica representações
Resolução sem CAS Resolução com CAS
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entendem as autoras, necessário para que os alunos tenham sucesso no trabalho com CAS para resolver problemas, para fazer e para aprender Matemática.
Mais especificamente, sobre a resolução de problemas e as várias representações, elas advogam que sua exploração a partir de várias perspectivas, aumenta a profundidade da compreensão de conceitos por parte dos alunos. Soma-se a isso o fato de que, na busca pela solução de um problema, a combinação de diversas abordagens possibilitada pelos CAS, exige muito menos esforço. Os estudantes devem ser encorajados a moverem-se entre as representações a fim de encontrar a informação procurada.
O computador amplia a gama de problemas que os estudantes podem resolver e não mais é preciso começar pelos mais simples em direção aos mais complexos. Vale lembrar aqui as concepções de Tall (1989), segundo as quais esse procedimento pode causar danos à aprendizagem no sentido de que conduz à formação de imagens conceituais restritas, ou limitadas, relativas aos conceitos matemáticos.
Embora, nas entrevistas realizadas por Pierce e Stacey (2001), os alunos tenham sugerido que é necessário compreender os conceitos matemáticos através de exemplos básicos feitos manualmente, as autoras destacam que, mesmo nesse caso, os CAS apresentam vantagem. Seus recursos encorajam os estudantes, ao compreenderem os princípios envolvidos nos exemplos simples, a aplicá-los em problemas que eles consideram mais difíceis, ou percebem como mais complicados.
Entendo que cabe ao professor a nem sempre fácil tarefa de escolher e/ou elaborar problemas que atendam ao que ele pretende que os alunos trabalhem em termos de conteúdos e conceitos matemáticos, e que aproveitem as possibilidades que as TI oferecem.
No tocante aos tipos de problemas que devem ser propostos aos alunos Borba e Penteado (2001) assinalam: "Traçar um gráfico de uma função como y = 2x pode ser um problema que engaje alguém em um coletivo onde não haja mídias informáticas, mas não o será onde houver um software que permite o traçado de gráficos" (p.47). Professores e educadores matemáticos devem estar atentos para a forma como o ensino de Matemática pode se constituir a partir das possibilidades que se apresentam nos ambientes em que se encontram presentes as TI.
Elas favorecem a exploração de problemas abertos e, ademais, em virtude da imprevisibilidade presente nas atividades realizadas com o computador, novos e inesperados problemas, na maior parte das vezes, propostos pelos próprios alunos, podem surgir. A citação a seguir refere-se ao problema de analisar o que ocorre com o gráfico de uma função quadrática quando variamos o coeficiente 'b' de sua equação:
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É interessante notar que, nessa ocasião, na qual temos um problema aberto ligado ao trinômio y = ax2 + bx + c, chegamos a um problema mais específico, que é o de encontrar um gráfico que descreve o movimento do vértice. Esse último problema mobilizou boa parte da turma e, então, surge um terceiro problema, ligado à justificativa da solução encontrada para o anterior, que é provocado por um questionamento feito pelo professor. Para este terceiro problema, aparece uma solução que mostra a relação da álgebra com o gráfico. (BORBA; PENTEADO, 2001, p.38)
Foram também realizados outros estudos em que o computador se mostrou um poderoso instrumento ao ser aliado a atividades de resolução de problemas que visam à descoberta, ou redescoberta de novos conceitos matemáticos e, porque não dizer, à construção de novos conhecimentos. Segundo Borrões (1998), o computador "é o instrumento mais poderoso de que actualmente dispõem os educadores matemáticos para proporcionar esse tipo de experiências aos seus alunos" (p.1). Guardadas as devidas proporções, parece inegável que se deva aliar as vantagens decorrentes de suas potencialidades para criar novas alternativas na busca de uma aprendizagem mais efetiva e significativa da Matemática.
O trabalho de Borrões (1998) apresenta propostas de atividades em Álgebra e Geometria, privilegiando os três tipos que, na opinião do autor, mais favorecem a aprendizagem significativa da Matemática: a aprendizagem por descoberta, a resolução de
problemas e a modelação37. O autor considera que, na resolução de problemas, é
fundamental que o aluno tenha um espírito aberto, no sentido de adotar uma atitude de curiosidade e exploração; a disposição de experimentar, de construir hipóteses e de demonstrar. Essas atitudes, desejáveis nos alunos, estão em forte sintonia com as potencialidades do computador que permitem explorar conceitos ou situações, descobrir relações ou semelhanças, modelar fenômenos, testar conjecturas, inventar e reinventar a Matemática.
As atividades propostas por ele envolvem a utilização de planilha de cálculo, o Excel, para a exploração do conceito de proporcionalidade direta, através de atividades de descoberta envolvendo a relação entre peso e volume de barras de ferro e entre área e perímetro de retângulos, e problemas e atividades de modelação com função quadrática, relacionados a transporte de passageiros.
As planilhas de cálculo também foram objetos de exame nas investigações realizadas por Hershkowits e Kieran (2001). Suas análises destacam as planilhas de cálculo (Excel) como uma alternativa eficiente para a resolução de problemas que visam estimular
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Preferi, neste caso, manter o termo modelação, utilizado pelo autor, embora se deva destacar que o termo refere-se ao que costumamos, no Brasil, chamar de modelagem.
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procedimentos recursivos, entretanto, segundo suas compreensões, seu uso implica na necessidade de dedicar mais tempo à aprendizagem da Álgebra, uma vez que as representações algébricas parecem ter sua importância minimizada pelos alunos, quando utilizam esse recurso. Ademais, o uso de tais planilhas tem sido associado ao aspecto de "minimizar o esforço" do aluno nas atividades; tal argumento não deve ser utilizado para justificar seu uso no ensino de Matemática.
Waitts e Demana (2000), relacionando "velhos" (lápis e papel) e "novos" recursos (calculadora), entendem que há três possibilidades de enfoque para a resolução de problemas:
1. Resolver problemas usando lápis e papel e então conferir os resultados usando tecnologia.
2. Resolver problemas usando tecnologia e então confirmar os resultados usando lápis e papel.
3. Resolver problemas em que os alunos possam escolher se é mais apropriado usar lápis e papel, calculadora, ou uma combinação de ambos.
Considero oportuno acrescentar a estas 3 possibilidades apresentadas que há problemas matemáticos que só podem ser, ou poderiam ter sido, resolvidos com o computador. E em termos de ensino, algumas atividades de resolução de problemas só se tornaram possíveis graças à presença do computador na sala de aula.
Finalmente, o trabalho de Allevato e Onuchic (2003) discute as justificativas e desenvolve reflexões sobre as implicações da utilização da resolução de problemas como uma metodologia de ensino de Matemática, bem como sobre a associação do computador ao processo de construção do conhecimento e de formalização de conteúdos matemáticos. É apresentado o caso de uma aula cujo objetivo era levar os alunos, através de um problema, à construção/compreensão do conceito de Taxa Média de Variação (TMV); e para cuja resolução pôde ser utilizada a planilha eletrônica Excel. A diversidade de meios escolhidos pelos alunos para a resolução (algebricamente, pela tabela ou pelo gráfico) levou as autoras a ponderar sobre a possibilidade de permitir que o aluno escolha a forma de solução que lhe pareça mais natural ou mais simples. Acrescente-se a este, o fato de algumas duplas terem coordenado mais de um desses meios (representações múltiplas), o que permitiu uma compreensão mais ampla do conteúdo em questão. No tocante à forma e intensidade de utilização do computador para a resolução do problema, evidenciou-se a facilidade e rapidez com que os alunos implementaram múltiplas representações, bem como testaram conjeturas (como ocorreu quando a classe indicou uma segunda forma de calcular a TMV). Como vimos nos estudos já analisados, estes aspectos têm sido destacados como potencialmente favoráveis ao ensino pois desobrigam os alunos de tarefas essencialmente
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mecânicas ou operacionais, proporcionando mais tempo a reflexões de natureza interpretativa e conceitual.