Vamos estudar nessa se¸c˜ao o surgimento de fases geom´etricas n˜ao-relativ´ısticas quando houver interferˆencia entre as part´ıculas neutras. Os efeitos que surgiram no limite de baixas energias foram devido a configura¸c˜ao de dipolos na presen¸ca de um defeito topol´ogico e com a influˆencia de campos magn´eticos e el´etricos externos. A part´ıcula neutra que consideramos at´e ent˜ao possuem momentos de dipolo el´etrico e magn´etico permanentes. Vamos continuar trabalhando com a configura¸c˜ao dos campos el´etrico e magn´etico s˜ao dados por (3.3) e (3.6).
A express˜ao para a Hamiltoniana (3.40) tem sua forma similar `a Hamiltoniana de uma part´ıcula quˆantica com um acoplamento m´ınimo de um campo de gauge Ξµ. Podemos
escrever a equa¸c˜ao (3.40) na forma H =− 1
2m
~
∇ − i~Ξ2+ Ξ0, (3.42)
onde Ξi ´e dado em (3.41) e Ξ0 ´e dado por
Ξ0 =− µ2E2 2m − d2B2 2m + µ 2m∇ · ~~ E− d 2m∇ · ~~ B + d ˆβ ~Σ· ~E + µ ˆβ ~Σ· ~B. (3.43) Para estudarmos o surgimento de fases geom´etricas nesse sistema devemos analisar quais termos da Hamiltoniana (3.40) ou (3.42) que contribuem para o surgimento de fases na fun¸c˜ao de onda das part´ıculas. Dada a configura¸c˜ao de campos (3.3) e (3.6), podemos ver facilmente que os quatro ´ultimos termos da express˜ao (3.43) s˜ao nulos, n˜ao dando contribui¸c˜ao alguma para a fase. Observando os dois primeiros termos de (3.43), temos que esses termos proporcionais a E2 e B2 s˜ao locais (s˜ao proporcionais a ρ−2) e n˜ao
contriburem para a fase como mostrado em [26, 27, 79]. Vemos tamb´em que o terceiro e quarto termos de (3.43) s˜ao porporcionais a distribui¸c˜ao local de cargas ao longo do eixo de simetria da corda, ou seja, ~∇ · ~E = 2 (λe/ρ) δ(ρ) e ~∇ · ~B = 2 (λm/ρ) δ(ρ), o que n˜ao
influencia tamb´em na fase da part´ıcula que se move numa trajet´oria ρ 6= 0. Portanto, os termos que contribuem para a fase devem ser dados por (3.41). A fase geom´etrica quˆantica n˜ao-relativ´ıstica que a fun¸c˜ao de onde adquire nesse sistema pode ser obtida tamb´em atrav´es do fator de fase de Dirac [3, 4] como fizemos na express˜ao (3.14) para o caso relativ´ıstico, ou seja
onde ψ0 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao i∂ψ0 ∂t =− 1 2m∇ 2ψ 0− µ2E2 2m ψ0− d2B2 2m ψ0. (3.45)
Contudo, antes de analisarmos a fase geom´etrica quˆanitica devemos considerar que a distribui¸c˜ao de cargas est´a concentrada ao longo do eixo de simetria do defeito topol´ogico, o que deixa clara a configura¸c˜ao dos campos em (3.3) e (3.6). Portanto, a fase geom´etrica quˆantica adquirida pela fun¸c˜ao de onda em nosso sistema ser´a [75]
ΦNR = I Ξµdxµ = I Ξieiµdxµ= Z 2π 0 Ξieiϕ dϕ, (3.46)
onde consideramos apenas campos spinoriais de duas componentes. Podemos observar que a express˜ao para a fase (3.46) ´e gerada por trˆes contribui¸c˜oes independentes
ΦNR1 =
I 1
2(1− η) σ
3dϕ = (1− η) π σ3, (3.47)
onde a primeira contribui¸c˜ao de (3.47) ´e gerada pela topologia do defeito. A segunda contribui¸c˜ao ´e gerada pela intera¸c˜ao do momento de dipolo magn´etico da part´ıcula neutra com o campo el´etrico externo
ΦNR2 = µ
I
(~Σ× ~E)jejϕdϕ = 2π µ λeσ3, (3.48)
e por fim, a terceira contribui¸c˜ao ´e gerada pela intera¸c˜ao entre o momento de dipolo el´etrico da part´ıcula neutra com o campo magn´etico externo
ΦNR3 =−d
I
(~Σ× ~B)jejϕdϕ =−2π d λmσ3. (3.49)
Podemos observar tamb´em que cada contribui¸c˜ao para a fase geom´etrica n˜ao-relativ´ıstica ´e n˜ao-abeliana, onde o spin da part´ıcula neutra est´a alinhado com o eixo-z do espa¸co- tempo de forma idˆentica ao que obtivemos na dinˆamica quˆantica relativ´ıstica.
Ao combinarmos as trˆes contribui¸c˜oes independentes para a fase geom´etrica n˜ao- relativ´ıstica dadas em (3.47) obteremos uma generaliza¸c˜ao da fase quˆantica de Anandan n˜ao-relativ´ıstica (2.29) na presen¸ca de um defeito topol´ogico
ΦA= (1− η) π σ3+ (µ λe− d λm) 2π σ3. (3.50)
A contribui¸c˜ao do defeito topol´ogico para a fase generalizada de Anandan ´e vista clara- mente pelo primeiro termo de (3.48). Se tomarmos o limite η → 1, veremos que o resultado ´e o mesmo obtida em [28] na ausˆencia de defeitos.
Veja que, seguindo [77], a fase n˜ao-relativ´ıstica (3.46) (que coincide com a fase de Anandan (3.48)) ´e geom´etrica porque depende da intera¸c˜ao local dos campos el´etrico e magn´etico. Observemos tamb´em que essa fase n˜ao-relativ´ıstica ´e n˜ao-dispersiva porque cada contribui¸c˜ao independente (3.47), (3.48) e (3.49) n˜ao depende da velocidade da part´ıcula neutra. Observemos tamb´em que cada contribui¸c˜ao independente (3.47), (3.48) e (3.49) tem o mesmo valor (em m´odulo) obtido em (3.16), (3.17) e (3.18) e, conse- quentemente, as fases de Anandan (3.22) e (3.50) tem mesmo valor em m´odulo, quando consideremos spinores de duas componentes.
Se considerarmos o caso em que a part´ıcula neutra n˜ao possui momento de dipolo el´etrico, ou seja, se tomarmos d = 0 em (3.46), obteremos o efeito an´alogo ao efeito Aharonov-Casher na presen¸ca de um defeito topol´ogico. A fase geom´etrica adquirida pela fun¸c˜ao de onda torna-se [75]
ΦAC = i I ejϕξjdϕ + µ ˆβ I ~ Σ× ~E ϕ dϕ = (1− η) π σ3 + 2π µ λ eσ3. (3.51)
Observe que h´a uma contribui¸c˜ao topol´ogica para o efeito Aharonov-Casher devido a presen¸ca do defeito dada pelo primeiro termo da fase ΦAC e que se tormarmos o limite
η → 1 teremos exatamente a fase geom´etrica de Aharonov-Casher [16].
Nosso pr´oximo passo ´e considerar que a part´ıcula neutra n˜ao possui momento de dipolo magn´etico, ou seja, tomamos µ = 0 em (3.46). Neste caso obteremos um efeito an´alogo ao efeito He-McKellar-Wilkens na presen¸ca de um defeito topol´ogico. A fase geom´etrica adquirida pela fun¸c˜ao de onda ser´a [75]
ΦHMW = i I ejϕξjdϕ− d ˆβ I ~ Σ× ~B ϕ dϕ = (1− η) π σ3− 2π d λ mσ3, (3.52)
onde novamente vemos a influˆencia do defeito atrav´es do primeiro termo de ΦHM W. Por-
tanto, h´a tamb´em uma contribui¸c˜ao topol´ogica na fase quˆantica (3.52). No limite η → 1 recuperamos a fase geom´etrica de He-McKellar-Wilkens [20, 21]. Ambos os resultados dados nas express˜oes (3.51) e (3.52) demonstram a influˆencia da topologia do defeito na dinˆamica quˆantica de part´ıculas neutras na presen¸ca de campos externos.
Por fim, se considerarmos a ausˆencia de campos externos em nossa configura¸c˜ao, ainda obtemos uma mudan¸ca de fase na fun¸c˜ao de onda devido a presen¸ca do defeito (3.1). A fase adquirida ´e ent˜ao
Φ = (1− η) π σ3 = 1
2(8πG) ν σ
3. (3.53)
Vemos na primeira igualdade de (3.53) que essa fase ´e topol´ogica e ´e a mesma obtida em [80] quando ´e encontrada a matrix de holonomia para um spinor no modelo cont´ınuo para uma camada de grafeno com um defeito topol´ogico. Na segunda igualdade de (3.53), substitu´ımos o valor do parˆamitro η novamemente e obtivemos o mesmo valor para a fase do efeito gravitacional an´alogo efeito AC dado em [66], s´o que agora com a dinˆamica n˜ao-relativ´ıstica de uma part´ıcula neutra.
Portanto, obtivemos nesta se¸c˜ao que a fun¸c˜ao de onda de uma part´ıcula neutra adquiriu trˆes contriubi¸c˜oes independenes para a fase geom´etrica durante a dinˆamica quˆantica n˜ao-relativ´ıstica geradas pela topologia do defeito e pela intera¸c˜ao entre o mo- mentos de dipolo el´etrico e magn´etico com os campos magn´etico e el´etrico externos, re- spectivamente [75]. Duas caracter´ısticas devem ser enfatizadas: cada contribui¸c˜ao in- dependente da fase ´e n˜ao-dispersiva tendo os valores para cada contribui¸c˜ao para a fase n˜ao-relativ´ıstica s˜ao o mesmos que obtivemos no caso relativ´ıstico e que cada contribui¸c˜ao independente para a fase ´e n˜ao-abeliana, onde o spin da part´ıcula neutra est´a sempre al- inhado com o eixo-3 dos referenciais locais dos observadores e, consequentemente, com o eixo-z do defeito topol´ogico [75].
Vimos que, no caso n˜ao-relativ´ıstico, a contribui¸c˜ao para a fase dada pela topologia do defeito tamb´em tem o mesmo valor da fase do efeito gravitacional an´alogo ao efeito Aharnov-Casher e com a combina¸c˜ao das trˆes contribui¸c˜oes independentes obtivemos uma generaliza¸c˜ao para a fase geom´etrica de Anandan n˜ao-relativ´ıstica. Por fim, estudamos dois casos especiais: O efeito AC e o efeito HMW na presen¸ca de um defeito topol´ogico. Vimos que a topologia do defeito fornece uma nova contribui¸c˜ao para os efeitos AC e HMW, mantendo a caracter´ıstica da n˜ao-dispersividade da fase e o alinhamento do spin da part´ıcula neutra com o eixo-z do defeito [75].