Oppsummering

O papel do contexto

Diversos autores (Behr et al., 1986; Cramer et al., 2009; Cruz & Spinillo, 2004; Galen et al., 2008; McIntosh et al., 1992; Monteiro & Pinto, 2005, 2007; Ponte & Qua- resma, 2012) defendem que a aprendizagem dos números racionais deve ser contextua- lizada para que os alunos desenvolvam estratégias informais com recurso a diversas representações, incluindo a pictórica, antes de desenvolverem estratégias formais e de manipularem simbolicamente os números.

Como foi indicado mais atrás, a aprendizagem dos números racionais é comple- xa e envolve a compreensão dos seus diferentes significados e relações, principalmente no caso das frações.Galen et al. (2008) denominam de rede de relações o conhecimento que os alunos desenvolvem acerca de diferentes tipos de frações e referem que esta rede de relações não se desenvolve apenas praticando. O conhecimento dos alunos acerca das frações vai sendo cada vez mais vasto e mais formal, mas este conhecimento não está associado especificamente a um contexto mas sim a uma dada fração. Um aluno que percebe que é menor que , não está necessariamente preparado para perceber que

é

menor que

. Para trabalhar de forma significativa com frações os alunos necessitam de

desenvolver o seu sentido de fração, onde o recurso a contextos assume um papel importante. Estes autores consideram que a ênfase na aprendizagem não deve estar ape- nas em situações puramente numéricas, sem qualquer contexto associado, para que os alunos não usem regras de cálculo que não entendem.

Os problemas são tarefas especialmente difíceis para os alunos abordarem ques- tões de ordenação e equivalência de frações (Behr et al., 1986). Este tipo de tarefa, como foi referido na seção sobre o sentido de número, implica por um lado, compreen- der a situação e retirar dela a informação necessária à sua resolução e, por vezes, isto torna-se um obstáculo para os alunos. Por outro lado, ordenar e comparar frações envol- ve compreender o conceito de grandeza de um número racional (Behr et al., 1986) o que nem sempre é fácil dada a complexidade das relações que envolvem estes números. Por exemplo, é importante observar que quando numa fração o numerador aumenta e o denominador diminui, a fração aumenta e que uma fração diminui o seu valor, quando o numerador diminui e o denominador aumenta.

Para Monteiro e Pinto (2007), é na diversidade de situações e na teia de relações que envolvem os números racionais que os alunos vão desenvolvendo o seu sentido de número racional. Estas autoras defendem a diversidade de contextos na aprendizagem dos números racionais:

O caminho entre a compreensão intuitiva, a capacidade de resolver situa- ções informalmente mobilizando conhecimentos, e as representações simbólicas é um percurso não linear e que implica a vivência de expe- riências variadas, de modo a permitir um conjunto complexo de relações entre diferentes aspetos dos números racionais. (Monteiro & Pinto, 2005, p. 96).

Monteiro e Pinto (2005) referem que é desejável que uma criança desenvolva um percurso entre as suas estratégias pessoais de resolução de problemas, o estabeleci- mento de relações e a formalização. Salientam ainda a importância dos processos informais usados pelos alunos para estabelecer pontes entre o informal e o formal. Segundo as autoras, este é um percurso fundamental para a produção do conhecimento matemático. Também Quaresma (2010) considera importante o contexto na aprendiza- gem dos números racionais. Na sua perspetiva, um conceito não se desenvolve isolada- mente mas sim nas relações com outros conceitos, através de diferentes tipos de pro- blemas que utilizam várias situações e simbolismos.

Aprendizagem das frações

Os diversos significados das frações tornam a sua aprendizagem particularmente complexa. Vários autores (e.g., Behr et al., 1983,1986; Galen et al., 2008; Lamon, 2006; McCloskey & Norton, 2009; Prediger, 2008) têm investigado a forma como os alunos trabalham com números racionais, principalmente na representação fracionária.

Nos primeiros anos do 1.º ciclo, a fração surge como uma nova representação de um número para os alunos, uma vez que a abordagem aos números se inicia com o estu- do dos naturais. Assim, o conhecimento que detêm sobre números naturais leva-os, mui- tas vezes, a trabalhar com números racionais como se fossem naturais (Lamon, 2006) não compreendendo que uma fração representa um número e não dois. Behr et al.

(1986) consideram que os conhecimentos sobre números naturais, por vezes, levam as crianças a focarem-se apenas no numerador ou no denominador e como resultado orde- nam ou estabelecem equivalências incorretamente. Segundo estes autores, para que uma criança compreenda esta representação como um número e não dois, é necessário per- ceber a relação entre o numerador e o denominador, e perceber que esta relação é fun- damental para determinar a grandeza deste número racional.

No momento da aprendizagem dos números racionais, os alunos tomam como base os seus conhecimentos sobre números naturais. Prediger (2008) considera que, apesar de existirem semelhanças entre estes dois conjuntos numéricos, a transição de um conjunto para o outro envolve mudanças concetuais que os alunos nem sempre compreendem. Segundo a autora, os modelos mentais construídos pelos alunos para aspetos relativos à cardinalidade, representação simbólica dos números, ordenação e operações com números naturais necessitam de uma reconceptualização quando trans- postos para o trabalho com frações. Por exemplo no que se refere à cardinalidade, se no conjunto dos números naturais perguntamos “Quantos?” a resposta corresponde neces- sariamente um número, enquanto no conjunto dos números racionais uma fração pode descrever uma relação ou representar qualquer um dos significados que abordei ante- riormente. Os números naturais têm uma representação simbólica direta com o número que representam, mas uma fração representa-se através de “dois números e uma linha” existindo várias frações que podem representar o mesmo número. A ordenação de número naturais é suportada pela sequência dos próprios números naturais existindo sempre um sucessor e onde entre dois números não existem outros, o que não acontece no caso das frações, dada a densidade do conjunto dos números racionais. A compreen- são de que entre duas frações existe um número infinito de números nem sempre é facilmente compreendido pelos alunos. Por fim, no caso das operações Prediger (2008) considera que enquanto a adição/subtração de números naturais é igualmente suportada pela sequência de números naturais isto não acontece com as frações. A ideia de que multiplicar produz grandezas maiores e dividir produz grandezas menores, quando ope- ramos com números naturais, é outro aspeto critico na transição de conhecimentos dos números naturais para os números racionais uma vez que a multiplicação de frações pode originar grandezas ainda maiores ou menores e a divisão grandezas ainda menores ou maiores. Tendo em conta os significados dos números racionais e a equivalência que podemos estabelecer entre as representações fracionária, decimal e percentagem, alguns

dos aspetos referidos por Prediger (2008) são também aplicáveis ao caso dos numerais decimais e percentagens como discutirei a seguir com base na perspetiva de outros auto- res.

Para Galen et al. (2008) as frações devem merecer especial atenção na educação básica, por duas razões. Uma é que o conhecimento sobre frações é um princípio para a compreensão dos numerais decimais e percentagens. As frações dão significado às per- centagens e numerais decimais e desempenham um papel importante no cálculo mental. Outra é que, muitas vezes pensamos usando frações, quando elas não estão implicita- mente envolvidas. Por exemplo, para estimar de , provavelmente associamos que está próximo de e assim consideramos metade de que é ou um quarto de que é e assim a estimativa estará próxima de .

Como referi anteriormente, Cruz e Spinillo (2004) consideram que os números de referência são importantes e que, por exemplo, o referencial de metade desempenha um papel importante na compreensão inicial dos alunos sobre os conceitos lógico- matemáticos complexos associados aos números racionais, sendo possível supor que este referencial seja uma âncora que possa facilitar a resolução de operações de adição de frações. Também em situações onde têm que efetuar estimativas, os alunos usam números de referência para os apoiar na sua resolução, principalmente quando aplicam a estratégia transitiva ou residual (Cramer, et al., 2009). McCloskey e Norton (2009) refe- rem ainda que os professores devem usar formas de operar dos alunos para que a partir delas, estes possam sentir a necessidade de desenvolver formas mais poderosas de traba- lhar com frações. Estes autores consideram diversas operações mentais como a compo- nente chave dos esquemas produzidos pelos alunos. Estas operações são ações mentais abstraídas da experiência que se tornaram disponíveis para uso em diversas situações e que ajudam os alunos a produzir conceitos sobre frações. Os esquemas que referem baseiam-se nos utilizados por Steffe e Olive (2010) nos seus trabalhos de investigação.

Para McCloskey e Norton (2009) os esquemas são constructos usados para modelar as estruturas cognitivas dos alunos. Estes esquemas ajudam a explicar e a pre- ver as ações dos alunos fornecendo informações importantes para o enino e a aprendi- zagem e, descrevem formas de operar que, por norma, o aluno realiza de forma incons- ciente e são ativados ao mesmo tempo e não de forma sequencial. Para os autores, é

comum interpretar os esquemas como sendo estratégias, pois permitem aos professores recolherem informações acerca da forma como os alunos resolvem problemas.

Na perspetiva dos autores, a forma como os alunos operam está relacionada com a forma como veem a Matemática e apresentam cinco ações mentais usadas pelos alu- nos no trabalho com frações, que os ajudam a produzir conhecimento sobre o conceito de fração: (i) parte-todo (unitizing); (ii) partilha equitativa (partitioning); (iii) fraciona- mento partitivo da unidade (disembedding); (iv) fracionamento iterativo (iterating); e (v) fracionamento reversível partitivo (splitting).

Parte-todo (unitizing) é uma ação que consiste em considerar um objeto ou cole- ção de objetos como uma unidade ou uma parte de um todo (e.g., considerar dois hexá- gonos como um todo); partilha equitativa (partitioning) é separar a unidade/todo em partes iguais (e.g., quando se partilha equitativamente uma piza por quatro pessoas); fracionamento partitivo da unidade (disembedding) é imaginar que retira uma fração do todo mantendo o todo intacto e inalterado (e.g., ao partilhar equitativamente uma piza por quatro pessoas, supor como seria a imagem de três quartos dessa mesma piza ou então usar várias vezes um quinto para identificar três quintos); fracionamento iterativo (iterating) é repetir uma parte para produzir novas partes idênticas; e fracionamento reversível partitivo (splitting) é a conjugação da partilha equitativa (partitioning) com o fracionamento iterativo (iterating) em que uma ação implica a outra como uma relação inversa. Segundo os autores, os alunos podem explorar a natureza da relação inversa entre estas duas operações na resolução de problemas e recriar a unidade a partir de uma das suas partes, por exemplo na situação “se uma tira representar cinco vezes o tamanho de uma outra tira desenha a outra tira”, os alunos que conseguem resolver problemas usando o fracionamento reversível partitivo, possuem uma importante compreensão das frações.

Usando as cinco ações mentais anteriores, McCloskey e Norton (2009) descre- vem sete esquemas que podem ser usados para caracterizar o pensamento dos alunos (Quadro 1). Para os autores, cada esquema pode ser visto como uma reorganização do esquema anterior.

Quadro 1. Esquemas e operações mentais associadas no trabalho com frações e exem- plos de tarefas onde podem ser usados (McCloskey & Norton, 2009)

Esquemas Operações mentais Exemplos de tarefas

Partição simultânea

Considera o objeto como uma unidade (uniti- zing); parte a unidade continua em partes iguais e usa a composição da unidade como modelo (partitioning).

Partilha uma barra de chocola- te igualmente por ti e mais dois amigos.

Parte-todo

Considera o objeto como uma unidade (uniti- zing); parte a unidade continua em partes iguais (partitioning); retira uma parte do todo (disembedding).

Mostra dois terços de uma barra de chocolate.

Partilha equitativa

Considera o objeto como uma unidade (uniti- zing); parte a unidade continua em partes iguais (partitioning); retira uma parte para determinar a sua identidade com as outras partes (iterating).

Se partilhares uma barra de chocolate igualmente por ti e dois amigos, mostra como ficará a parte que irás receber. Fracionamento

partitivo da unidade

Usa a fração unitária e repete-a para construir o todo (iterating).

Se te der estes pedaços de cho- colate (mostra 1/3 de uma barra e uma barra inteira) que parte da barra seria esta (1/3)?

Fracionamento partitivo

Considera o objeto como uma unidade (uniti- zing); retira uma fração própria do todo (disembedding); hipoteticamente fraciona a fração própria para produzir uma fração unitá- ria (partitioning); repete a fração unitária para voltar a construir a fração própria e o todo (iterating), coordena frações unitárias dentro de frações compostas.

Se eu te der estes pedaços de chocolate (mostra um pedaço que corresponde a 2/3, mas que não está dividida e uma barra inteira) que parte da bar- ra seria esta (2/3)?

Fracionamento reversível

partitivo

Divide, em partes iguais, uma peça não fracio- nada maior que a unidade para recriar o todo (splitting).

Se esta barra corresponder a 4/5 de uma barra de chocolate (mostra uma barra não fracio- nada), desenha essa barra de chocolate.

Fracionamento iterativo

Divide, em partes iguais, uma peça não fracio- nada menor que a unidade para recriar o todo (splitting).

Se esta barra corresponder a 5/4 de uma barra de chocolate (mostra uma barra não fracio- nada), desenha essa barra de chocolate.

Por exemplo, quando os alunos desenvolvem uma operação de fracionamento reversível partitivo (splitting), conseguem reverter as operações de um sistema de fra- cionamento partitivo para produzir um sistema de fracionamento reversível partitivo. Ou seja, para dividirem uma unidade/todo em partes iguais e voltar a reconstrui-la, pre- cisam de identificar a unidade/todo, fracioná-la em frações próprias e/ou unitárias e com estas reconstroem o todo. Da mesma forma, quando os alunos desenvolvem um esque- ma de fracionamento reversível partitivo, eles podem estar prontos para estender frações impróprias, promovendo o desenvolvimento de um esquema de fracionamento iterativo. Na sua perspetiva, um trabalho excessivo à volta da prática dos algoritmos para as qua-

tro operações com frações condiciona o desenvolvimento da compreensão das frações, pelo que deve haver um trabalho prévio que leve os alunos a interiorizar este conceito.

Ordenação de frações

No âmbito do RNP, Cramer et al. (2009), através de experiências de ensino e recorrendo a material manipulável, tentam compreender como pensam os alunos quando trabalham com números racionais e como os podem ajudar a desenvolver um conheci- mento profundo acerca das operações com frações e numerais decimais. No estudo que desenvolveram, os alunos, em vez de memorizarem uma regra indicada pelo professor, desenvolveram estratégias informais que lhes permitiram comparar frações. Foram iden- tificadas quatro estratégias de ordenação de frações: (i) mesmos denominadores; (ii) mesmos numeradores; (iii) transitiva e (iv) residual:

Mesmos denominadores. Para comparar com , os alunos sabem que o número de partes em que o todo está dividido tem o mesmo tamanho, logo, três dessas partes iguais vão ser mais do que duas partes. E assim consideram que é a fração maior.

Mesmos numeradores. Para comparar com , sabem que quartos são superiores aos oitavos como tal representa a fração maior. Esta estratégia envolve a compreensão de que existe uma relação entre o número de partes em que cada unidade está dividida e também reflete a importância do papel do numerador. Comparar frações usando apenas os denominadores funciona apenas quando os numeradores são iguais.

Transitiva. Para ordenar e , os alunos, por vezes, têm a tendência de usar a estratégias de comparação de denominadores. Isto demonstra que os alunos não cons- truíram o seu significado de numerador e que aplicam uma regra previamente ensinada. Neste estudo, Cramer et al. (2009) referem que, na comparação de frações com numera- dores e denominadores diferentes os alunos usaram números de referência. Por exem- plo, para comparar com os alunos concluíram que é a fração maior, uma vez que é superior a e usam a metade como um número de referência.

Residual. Esta estratégia implica o uso de aproximações à unidade. Para compa-

rar com verificam quanto falta em cada fração para terem a unidade completa e comparam-nas. Assim, a falta para ter a unidade completa e a falta , usam a estra- tégia de comparação de frações com numeradores iguais e concluem que é maior pois

é menor que e assim a quantidade que falta para atingir a unidade é menor. Cramer et al. (2009) salientam ainda que alunos que construam este tipo de estratégias estão a adquirir sentido de número e que ter sentido de número para frações é ser capaz de jul- gar o tamanho relativo de uma fração.

Aprendizagem dos numerais decimais

Relativamente à aprendizagem dos numerais decimais muitas das dificuldades reveladas pelos alunos, podem estar associadas à falta de compreensão do sistema de numeração (Galen et al., 2008; Monteiro & Pinto, 2005, 2007) ou mesmo à densidade do conjunto dos números racionais como considerado também por Prediger (2008) no caso das frações. Por exemplo, Monteiro e Pinto (2007) referem que para alguns alunos entre e não existem outros números racionais uma vez que pensam ainda em termos de números naturais, caso em que existe uma sequência discreta dos números.

Cramer et al. (2009) apresentam algumas ideias para uma abordagem aos nume- rais decimais. Assim, consideram que a construção do conceito de décima e centésima deve iniciar-se com a representação (modelo) da grelha de , embora seja acon- selhável representar numerais decimais usando outras representações como é o caso da reta numérica e que estabeleçam correspondência entre as representações decimal e fra- cionária. Para estes autores a utilização de cor facilita a construção da imagem mental e do significado de décimas e centésimas por parte dos alunos que no futuro mais facil- mente se lembrarão não só da cor, mas do espaço ocupado numa grelha de Outro aspeto que realçam é a linguagem utilizada na leitura dos numerais decimais uma vez que esta é uma parte importante na compreensão desta representação do número racional. Na leitura de, por exemplo, 0,34 deve ler-se 34 décimas, ou seja, ler os nume- rais decimais como sendo décimas, centésimas ou milésimas e não como sendo “zero vírgula trinta e quatro” como acontece numa grande parte das salas de aula. Este tipo de

leitura é usada muitas vezes para facilitar a comunicação mas torna-se um obstáculo à compreensão dos numerais decimais. Os alunos devem ser encorajados a ler os nume- rais decimais corretamente, para que percebam a grandeza do número com que estão a trabalhar.

Tal como acontece com as frações, a ideia de ordem é importante para com- preender a dimensão relativa dos numerais decimais. Alunos sem imagens mentais de numerais decimais irão ordená-los como se fossem números naturais. Ao comparar com podem dizer que é maior pois (Cramer et al., 2009; Monteiro & Pinto, 2005). Cramer et al. (2009) relembram que usando as imagens mentais da grelha de os alunos podem comparar os números verificando mentalmente que corresponde a duas colunas da grelha mais cinco centésimas e que corresponde a seis colunas, logo é maior que . Galen et al. (2008) acrescentam que trabalhar com os alunos a relação entre frações e numerais decimais é fundamental e contribui para a compreensão da estrutura dos decimais.

Situações de medida ou dinheiro são usualmente considerados contextos indica- dos para trabalhar com a representação decimal. Contudo Galen et al. (2008) referem que, apesar do dinheiro ser um bom contexto para trabalhar com esta representação numérica, é limitado, pois não se usam números superiores às centésimas e porque ao escrevermos uma quantia em dinheiro, por exemplo, dois euros e quarenta cêntimos, muitas vezes escrevemos 2,4€ e não 2,40€ eliminando o zero à direita. Para os autores esta pode ser uma das razões porque o trabalho com numerais decimais se revela difícil para as crianças, pois até as calculadoras arredondam valores e um resultado que deveria ser 4,39 aparece como 4,4 e quando se fazem medições de alta precisão é importante a utilização de valores exatos.

Compreender e estar atento aos erros dos alunos é uma forma de poder ajudá-los a ultrapassar as suas dificuldades. Galen et al., (2008), Lamon (2006) e Monteiro e Pin- to (2005, 2007) enumeram um conjunto de erros que os alunos cometem no trabalho com números na representação decimal. Assim, é vulgar encontrar alunos que referem que 1,345 é maior que 1,7 dando como justificação o facto do primeiro ter “mais núme- ros” que o segundo, ou então porque 345 é maior que 7. Ao confundirem 1,6 com 1,06 confundem décimas com centésimas, podendo a leitura incorreta do número estar na origem deste erro, uma vez que não evidencia a sua grandeza. A importância de uma