Considera-se que uma s´erie estacion´aria fica completamente definida pelas suas fun- ¸
c˜oes m´edia, variˆancia e de autocorrela¸c˜ao. Fazendo uso desta caracter´ıstica, pretende-se, com a metodologia Box-Jenkins, identificar um modelo com base no comportamento da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao emp´ırica. Os processos ARMA s˜ao considerados como um grupo bastante diversificado e de grande fiabilidade na modela¸c˜ao de in´umeras s´eries temporais estacion´arias. Contudo, para a modela¸c˜ao de s´eries que apresentem oscila¸c˜oes bruscas ao longo do tempo, este tipo de processos ´e insuficiente. No entanto, os processos ARMA tˆem especial importˆancia na modela¸c˜ao de s´eries n˜ao estacion´arias, uma vez que estas s˜ao facilmente convertidas em estacion´arias atrav´es de transforma¸c˜oes adequadas.
Processo Autorregressivo (AR)
Os processos autorregressivos, que pertencem `a classe dos modelos mais utilizados no estudo de s´eries temporais estacion´arias, baseiam-se no pressuposto de que a observa¸c˜ao da vari´avel no instante t se relaciona, de forma linear, com as observa¸c˜oes nos instantes anteriores. Assim, o processo Yt diz-se um processo autorregressivo de ordem p, AR(p),
quando satisfaz a equa¸c˜ao
Yt= φ1Yt−1+ φ2Yt−2+ · · · + φt−pYt−p+ t, (5.1)
onde t ´e um ru´ıdo branco de m´edia nula, independente de Yt−k para todo o k ≥ 1. De
facto, Yt pode ser considerada como uma vari´avel dependente que ´e explicada atrav´es de
uma regress˜ao linear m´ultipla, em que as observa¸c˜oes em p instantes anteriores funcionam como covari´aveis e φi s˜ao os coeficientes de cada Yt−i.
Alternativamente, a representa¸c˜ao de um processo AR(p) pode ser feita atrav´es do operador atraso Bk, que se define como sendo BkY
t = Yt−k. Com efeito, a equa¸c˜ao 5.1
pode ser reescrita como
Φp(B)Yt= t, (5.2)
onde Φp(B) = 1 − φ1B − φ2B2 − · · · − φpBp ´e o polin´omio autorregressivo de ordem p.
Tendo em considera¸c˜ao as p ra´ızes (reais ou complexas), G−11 , G−12 , . . . , G−1p , da equa¸c˜ao ca- racter´ıstica Φp(B) = 0, torna-se poss´ıvel fatorizar o polin´omio autorregressivo do seguinte
Cap´ıtulo 5. M´etodos de Previs˜ao em S´eries Temporais modo Φp(B) = p Y i=1 (1 − GiB). (5.3)
Para que o processo seja estacion´ario ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente que as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica sejam todas de m´odulo maior do que a unidade, ou, de forma equivalente, que |Gi| < 1, para i = 1, 2, . . . , p. Qualquer processo autorregressivo que seja
estacion´ario ´e tamb´em invert´ıvel, o que, em termos pr´aticos, significa que a dependˆencia do passado se vai atenuando `a medida que o passado se torna mais remoto.
Portanto, se o processo Yt´e um processo AR(p), ent˜ao a sua fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao
parcial, φkk, ´e igual a zero para todo o k > p. Assim, a FACP de um processo AR(p)
apresenta, graficamente, uma queda brusca para zero a partir do lag p + 1, enquanto que a respetiva FAC tem um decaimento exponencial ou sinusoidal amortecido para zero.
Na Figura 5.1 encontra-se representado um processo autorregressivo de ordem 1, AR(1), e as respetivas FAC e FACP emp´ıricas.
Simulação de um processo autorregressivo de ordem 1, AR(1)
Tempo w 0 20 40 60 80 100 −4 −2 0 2 0 5 10 15 20 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag F A C 5 10 15 20 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Lag F A CP
Figura 5.1: Simula¸c˜ao de um processo autorregressivo e respetivas FAC e FACP emp´ıricas.
Processo de M´edias M´oveis (MA)
Diz-se que o processo Yt´e um processo de m´edias m´oveis de ordem q, MA(q), quando
assume a express˜ao
Modela¸c˜ao Estat´ıstica: um estudo na Gest˜ao Empresarial Local
ou
Yt= Θq(B)t, (5.5)
onde t ´e um ru´ıdo branco de m´edia nula e Θq(B) = 1 + θ1B + θ2B2 + · · · + θqBq ´e o
polin´omio de m´edias m´oveis de ordem q. Pretende-se, atrav´es destes processos, exprimir Yt em termos de um processo mais simples, como ´e o ru´ıdo branco. Assim, um processo
de m´edias m´oveis de ordem q define-se, em cada instante t, como a m´edia ponderada das q + 1 observa¸c˜oes de um processo de ru´ıdo branco. Desta forma, gra¸cas `a estacionarie- dade intr´ınseca ao ru´ıdo branco, os processos de m´edias m´oveis s˜ao sempre estacion´arios. Adicionalmente, um processo de m´edias m´oveis ´e invert´ıvel se puder ser escrito como um processo autorregressivo estacion´ario de ordem infinita. Para garantir a invertibilidade do processo, basta que, `a semelhan¸ca do que acontece no caso da estacionariedade de processos autorregressivos, as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica Θq(B) = 0 se encontrem
todas fora do c´ırculo unit´ario, isto ´e, sejam, em m´odulo, todas superiores a 1 (Metcalfe & Cowpertwait, 2009).
Na Figura 5.2 encontra-se representado um processo de m´edias m´oveis de ordem 1, MA(1), e as respetivas FAC e FACP emp´ıricas.
Simulação de um proceso de médias móveis de ordem 1, MA(1)
Tempo w 0 20 40 60 80 100 −2 −1 0 1 2 3 0 5 10 15 20 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag F A C 5 10 15 20 −0.3 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Lag F A CP
Figura 5.2: Simula¸c˜ao de um processo de m´edias m´oveis e respetivas FAC e FACP emp´ıricas.
Se o processo Yt´e um processo MA(q), ent˜ao a sua fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, ρk, ´e igual
Cap´ıtulo 5. M´etodos de Previs˜ao em S´eries Temporais
uma queda brusca para zero a partir do lag q + 1. No que respeita `a FACP, esta exp˜oe um decaimento exponencial ou sinusoidal amortecido para zero tendo, portanto, a mesma estrutura que a FAC de um processo AR(q).
Processo Autorregressivo e de M´edias M´oveis (ARMA)
Os processos estacion´arios e invert´ıveis podem ser representados tanto na forma autor- regressiva quer na forma de m´edias m´oveis. No entanto, ´e poss´ıvel que qualquer um destes processos tenha uma representa¸c˜ao com um n´umero excessivo de parˆametros, o que pode conduzir a uma perda de eficiˆencia na sua estima¸c˜ao (Caiado, 2011).
Caso se afirme, pode construir-se um modelo mais parcimonioso que inclua tanto ter- mos autorregressivos como de m´edias m´oveis. Este modelo designa-se de processo misto autorregressivo e de m´edias m´oveis de ordens p e q e representa-se por ARMA(p, q). En- t˜ao o processo Yt diz-se um processo autorregressivo e de m´edias m´oveis de ordens p e q,
ARMA(p, q), se satisfaz a equa¸c˜ao
Yt= φ1Yt−1+ · · · + φpYt−p+ t+ θ1t−1+ · · · + θqt−q (5.6)
ou a equa¸c˜ao
Φp(B)Yt= Θq(B)t, (5.7)
onde t ´e um ru´ıdo branco de m´edia nula, independente de Yt−k para todo o k ≥ 1,
Φp(B) = 1 − φ1B − · · · − φpBp e Θq(B) = 1 + θ1B + · · · + θqBq s˜ao os polin´omios
autorregressivo e de m´edias m´oveis de ordens p e q, respetivamente. A FAC e a FACP de um processo ARMA(p, q) resultam da combina¸c˜ao das respetivas fun¸c˜oes dos processos AR(p) e MA(q).
Recorde-se que a FAC de um processo MA(q) ´e insignificante a partir do lag q + 1, o mesmo acontecendo para a FACP de um processo AR(p) depois do lag p. Dado que o processo ARMA(p, q) ´e uma combina¸c˜ao dos processos AR(p) e MA(q), a estacionariedade e a invertibilidade do processo ficam garantidas se as ra´ızes das equa¸c˜oes caracter´ısticas Φp(B) = 0 e Θq(B) = 0 s˜ao, em m´odulo, maiores do que a unidade. De facto, estes
processos generalizam os processos anteriormente mencionados e, por exemplo, um pro- cesso ARMA(p, 0) ´e equivalente a um processo AR(p), o mesmo acontecendo com um ARMA(0, q) relativamente a um MA(q).
Na Figura 5.3 encontra-se representado um processo autorregressivo e de m´edias m´oveis, ARMA(1, 2), e as respetivas FAC e FACP emp´ıricas. Este processo ´e estacion´ario e invert´ıvel.
Modela¸c˜ao Estat´ıstica: um estudo na Gest˜ao Empresarial Local
Simulação de um processo ARMA(2,1)
Tempo w 0 20 40 60 80 100 −4 −2 0 2 0 5 10 15 20 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag F A C 5 10 15 20 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Lag F A CP
Figura 5.3: Simula¸c˜ao de um processo autorregressivo e de m´edias m´oveis, ARMA(2, 2) e respetivas FAC e FACP emp´ıricas.