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Geralmente, na linguagem coloquial, quando se emprega a conjunção gramatical ou, o fazemos no sentido excludente: “Hoje vai chover ou fazer sol? ”, Você é brasileiro ou estrangeiro?, etc. Portanto, na linguagem coloquial (cotidiana), o uso do conectivo ou possui o significado excludente, ou seja, não pode ocorrer as duas situações ao mesmo tempo. Fazendo um paralelo com a línguagem de conjuntos, observamos que este conectivo representa sempre a união de conjuntos disjuntos, ou seja, conjuntos com intersecções vazia.

Por outro lado, dados os conjuntos A e B temos sempre que AXB Ă AYB. Portanto, na linguagem matemática, o conectivo ou também inclui a situação em que a intersecção dos conjuntos é diferente de vázia, ou seja, a condição de acontecer as duas afirmações simultaneamente. Nesta linguagem, a união de conjuntos é representado pelo conectivo ou e a intersecção pelo conectivo e.

Assim, diferentemente da linguagem cotidiana, nunca usaríamos, na Matemática, uma frase contendo as conjunções e/ou simultaneamente. Matematicamente, quando usamos o ou, deve-se entender que também estamos considerando o possibilidade de ocorrer o e. É necessário que tais conceitos fiquem bem definidos.

Como no caso de conjuntos, quando trabalhamos com proposições matemáticas, po- demos construir, também, proposições a partir de sentenças dadas, utilizando certas pa- lavras, chamadas conectivos lógicos, ou simplesmente, conectivos. A lógica dispõe de cinco conectivos: “e”, “ou”, “não”, “se - então”, e “se, e somente se”. Apresentamos abaixo as cinco operações lógicas, com seus respectivos conectivos e símbolos:

Operacao Conectivo Simbolo

Conjunção e ^

Disjunção ou _

Negaçao não „

Condicional se - então Ñ

Bicondicional se, e somente se Ø

Uma proposição é composta quando apresenta algum desses conectivos, caso contrário, a proposição é simples. Vejamos a seguir alguns exemplos que mostram essa construção.

(b) Mário foi à praia ou ao mercado.

(c) Se a chuva cair, então o rio vai transbordar. (a) João é magro e José é alto.

)RQWH$XWRU

2.2 Lógica Matemática 23

A teoria apresentada até o momento são os passos iniciais para o estudo do chamado Cálculo Proposicional ou Cálculo Sentencial. Cálculo proposicional é a parte da Lógica que trata de sentenças compostas resultantes de operações lógicas (a açao de combinar proposições), e dos valores lógicos das sentenças.

Usualmente representaremos uma proposição simples pela letra maiuscula P ou Q. Dessa forma, utilizando as letras P e Q e os conectivos lógicos definidos anteriormente, poderemos representar simbólicamente qualquer proposição.

Exemplo 2.9. .

P: O Banco do Brasil é um banco múltiplo; Q: Hoje eu começo a estudar.

Desse modo, basta enunciar as proposições uma única vez e indicar a letra que a representa nos demais casos.

Se P e Q são proposições simples, a expressão P ^ Q é chamada conjunção de P e Q, e as proposições P e Q são chamadas fatores da expressão.

Se conhecermos o valor lógico dos fatores de uma conjunção, podemos dizer o valor lógico da conjunção. A expressão “João é magro e José é alto” só é verdadeira se as duas proposições forem verdadeiras. Assim, a conjunção será verdadeira unicamente no caso em que os dois fatores forem verdadeiros, se um dos fatores (ou ambos) for falso, a conjunção é falsa.

O valor lógico do resultado da operação de conjunção pode ser apresentado por meio da tabela abaixo (tabela-verdade), onde P e Q são proposições quaisquer.

P Q P ^ Q

V V V

V F F

F V F

F F F

Se as proposições P e Q fossem conjuntos, tais que: P “ tx|x é magro}

Q“ tx|x é alto}

Uma maneira interessante de tratarmos as proposições é olhá-las sob a ótica da teoria de conjuntos. Por exemplo, no caso da proposição João é magro e josé é alto, poderíamos pensar nos seguintes conjuntos: P “ tx ; x é magrou e Q “ tx ; x é altou.

Sob esse olhar a conjunção P ^ Q equivale a intersecção entre os conjuntos P e Q. Vejamos a representação no diagrama de Venn abaixo.

4XDGUR&RQMXQomR

2.2 Lógica Matemática 24

Se P e Q são proposições simples, a expressão P _ Q é chamada disjunção inclusiva de P e Q, e as proposições P e Q são chamadas parcelas da expressão.

Na expressão “Maria foi a praia ou ao mercado”, basta que Maria tenha ido, pelo menos, a um dos lugares, para que ela se torne verdadeira, ou seja, para que uma disjunção inclusiva seja verdadeira, basta que uma das parcelas (ou ambas) o seja; unicamente se ambas forem falsas, a disjunção também será.

Abaixo, a tabela-verdade que apresenta o resultado da operação de disjunção inclusiva, onde P e Q são proposições quaisquer.

P Q P _ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Olhando a expressão "Maria foi a praia ou ao mercado" sob o olhar da teoria dos conjuntos obtemos:

P “ tx ; x foi a praiau e Q “ tx ; x foi ao mercadou.

Neste caso, a conjunção P _ Q corresponde a união dos conjuntos P e Q, cuja repre- sentação no diagrama de Venn é dado a seguir:

)LJXUD 'LDJUDPDFRQMXQomR

)RQWH$XWRU

4XDGUR'LVMXQomR

2.2 Lógica Matemática 25

Apesar de existir outro tipo de proposição composta muito parecida com a disjunção inclusiva que acabamos de ver, elas se diferenciam de forma muito sutíl. Analisaremos o exemplo abaixo para entendermos essa diferença.

"Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta." "OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta"

Observe que enquanto na primeira proposição vê-se facilmente que se a primeira afir- mação for verdadeira, isto é, te darei uma bola, isto não impedirá que a segunda afirmação, ou seja, te darei uma bicicleta, também seja verdadeira; na segunda proposição as pro- posições são mutuamente excludetes, ou seja, te darei uma bola implica que não te darei uma bicicleta e vice versa.

Em outras palavras, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente ex- cludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será neces- sariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas.

Esse tipo de proposição é conhecida como disjunção exclusiva e é indicada por P | Q. Neste texto, trataremos apenas da disjunção inclusiva, isto é, o termo “disjun- ção” se referirá à disjunção inclusiva; quando se tratar da disjunção exclusiva, isso será expressamente citado.

Se P é uma proposição, a expressão „ P é chamada negação de P .

Claramente, a negação inverte o valor lógico de uma proposição, ou seja, se a sentença “Maria foi ao cinema” é representada por P , então sua negação „ P representa “Maria não foi ao cinema”. A tabela-verdade da operação de negação é muito simples, e é apresentada abaixo, onde P é uma operação qualquer.

P „ P V F F V )LJXUD'LDJUDPDGLVMXQomR )RQWH$XWRU 4XDGUR1HJDomR )RQWH$XWRU

2.2 Lógica Matemática 26

Do ponto de vista da teoria dos conjuntos, olhando para proposição P na linguagem de conjuntos teríamos que a negação „ P corresponde ao complementar do conjunto P , ou seja, Pc

. Vejamos ilustração no diagrama de Venn a seguir.

Se P e Q são proposições, a relação entre P e Q ou a operação P Ñ Q é chamada de condicional. A proposição P é chamada antecedente, e a proposiçao Q consequente da condicional.

Observe que na operação condicional o antecedente é uma condição necessária para que ocorra o consequente. Vejamos um exemplo de uma sentença condicional: “Se amanhecer chovendo, então não irei a praia.”

Como podemos estabelecer o valor lógico de uma operação condicional, conhecidos os valores verdade do antecedente e do consequente?

Considere novamente a expressão citada. Suponha que ambas as coisas aconteçam, isto é, que amanheça chuvendo, e eu não tenha ido à praia; nesse caso, a condicional é verdadeira. Suponha, por outro lado, que amanheça chuvendo, mas eu tenha ido à praia; significa que eu menti, pois não cumpri o prometido, logo a condicional é falsa.

Analisemos, com muito cuidado, o caso em que não amanheça chovendo, mas eu tenha ido à praia; nesse caso, ninguém pode me acusar que menti ao assegurar que “Se amanhecer chovendo, então não irei à praia”, ou seja, a condicional é verdadeira. Da mesma maneira, caso não amanheça chuvendo e eu não tenha ido à praia, ninguém pode me acusar de mentiroso. A tabela-verdade que indica o resultado da operação de condicionamento é apresentada abaixo. P Q P Ñ Q V V V V F F F V V F F V )LJXUD'LDJUDPDQHJDomR )RQWH$XWRU 4XDGUR&RQGLFLRQDO )RQWH$XWRU

2.2 Lógica Matemática 27

Olhando para as proposições P e Q da sentença condicional na linguagem de conjuntos, a condicional P Ñ Q corresponde a inclusão do conjunto P no conjunto Q. Vejamos o diagrama de Venn a seguir.

Chamaremos de bicondicional, a relação ou operação entre P e Q representada por P Ø Q.

Na sentença “joão será aprovado se, e somente se, ele estudar”, o conectivo “se, e somente se” indica que se João estudar será aprovado, e que essa é a única possibilidade de João ser aprovado. Os dois acontecimentos serão ambos verdadeiros ou ambos falsos, não existindo possibilidade de uma terceira opção.

A seguir apresentamos a tabela-verdade da operação bicondicional definida anterior- mente. P Q P Ø Q V V V V F F F V F F F V

Olhando para as proposições P e Q como conjuntos, observamos que a proposição bicondicional “P se, e somente se, Q” equivale a igualdade de conjuntos. Veja esta representação no diagrama de Venn a seguir.

)LJXUD'LDJUDPDFRQGLFLRQDO

)RQWH$XWRU

4XDGUR%LFRQGLFLRQDO

2.2 Lógica Matemática 28

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