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4.2 Beskrivelse og vurdering av enkeltområder
2.8
Sobre a Planaridade de Γ(R)
Apresentaremos neste cap´ıtulo um estudo acerca da planaridade de Γ(R) realizado por S. Akbari, H.R. Maiamani e S. Yassemi em [1]. O objetivo aqui ´e determinar quando que o grafo divisor de zero de um anel finito ´e planar.
Dado R um anel finito, sabemos que R ´e Artiniano e que, desse modo, podemos escrever R = R1 × . . . × Rn, com Ri um anel local finito, para todo i ∈ {1, . . . , n}. Pelo Teorema
1.14, o n´umero fatores de uma decomposi¸c˜ao Artiniana de R n˜ao depende da decomposi¸c˜ao escolhida. A planaridade de Γ(R) ´e analisada aqui a partir do n´umero de fatores de uma decomposi¸c˜ao Artiniana de R. Vejamos os seguintes casos:
CASO 1: n≥ 4.
Neste caso, Γ(R) n˜ao ´e planar. De fato, temos que os v´ertices do conjunto (R1 × R2 ×
{0} . . . × {0})∗ s˜ao adjacentes aos v´ertices do conjunto ({0} × {0} × R
3× . . . × Rn)∗. Como
|(R1 × R2 × {0} . . . × {0})∗| ≥ 3 e |({0} × {0} × R3 × . . . × Rn)∗| ≥ 3, temos que K3,3 ´e
isomorfo a um subgrafo de Γ(R). Pelo Teorema 1.52, Γ(R) n˜ao ´e planar.
CASO 2: n = 3
Suponhamos inicialmente que |Ri| ≥ 4, para algum i = 1, 2, 3. Digamos que |R1| ≥ 4.
Ent˜ao, |R1 × {0} × {0}| ≥ 4. Como |{0} × R2 × R3| ≥ 4, obtemos que K3,3 ´e isomorfo
a um subgrafo de Γ(R), pois os v´ertices de R∗
1 × {0} × {0} s˜ao adjacentes aos v´ertices de
({0} × R∗
2 × R3)∪ ({0} × R2× R∗3). Segue do Teorema 1.52 que Γ(R) n˜ao ´e planar.
Vamos supor agora que |Ri| ≤ 3, para todo i = 1, 2, 3. Ent˜ao, R ≈ Z2 ou R ≈ Z3.
Temos, assim, a menos de isomorfismo, quatro poss´ıveis grafos. Dentre estes, Z2× Z2 × Z2
eZ2× Z2× Z3 s˜ao planares, conforme podemos observar nas Figuras 2.21 e 2.24.
Nas Figuras 2.25 e 2.26, exibimos, respectivamente, um subgrafo de Γ(Z2 × Z3 × Z3) e
um subgrafo de Γ(Z3 × Z3 × Z3). Notemos que ambos os subgrafos s˜ao isomorfos ao grafo
2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 70
Figura 2.24: Γ(Z2× Z2× Z3)
por terem como subgrafo um grafo n˜ao planar, temos que Γ(Z2× Z3× Z3) e Γ(Z3× Z3× Z3)
n˜ao s˜ao planares.
Figura 2.25: Subgrafo de Γ(Z2 × Z3 × Z3) Figura 2.26: Subgrafo de Γ(Z3× Z3× Z3)
CASO 3: n = 2
Se |R1|, |R2| ≥ 4, escolhemos elementos dois a dois distintos a, b, c ∈ R∗1 e elementos
tamb´em dois a dois distintos x, y, z ∈ R∗
2. Neste caso, o subgrafo H de Γ(R) induzido pelos
v´ertices (0, a), (0, b), (0, c), (x, 0), (y, 0) e (z, 0) possui subgrafo isomorfo a K3,3, donde segue
que Γ(R) n˜ao ´e planar.
Suponhamos ent˜ao que|R1| ≤ 3 ou |R2| ≤ 3. Sem perda de generalidade, podemos supor
que|R1| ≤ 3. Vamos analisar algumas possibilidades.
2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 71
Temos que se D|(R2)| ≥ 5, ent˜ao Γ(R) n˜ao ´e planar. De fato, como R2 ´e local, pelo
Corol´ario 2.28, Γ(R2) possui um v´ertice x adjacente aos demais v´ertices de Γ(R2). Escolhendo
a, b, c∈ D(R2)\ {0, x} dois a dois distintos, teremos que o subgrafo de Γ(R) induzido pelos
v´ertices (0, a), (0, b), (0, c), (0, x), (1, 0) e (1, x) possui K3,3 como subgrafo. Assim, Γ(R) n˜ao
´e planar.
Suponhamos que |D(R2)| = 4, digamos D(R2) = {0, a, b, c}. Neste caso, podemos ter
Γ(R2) ≃ K3 ou Γ(R2) ≃ K1,2. Se Γ(R2) ≃ K3, ent˜ao Cen(Γ(R2)) = {a, b, c}, donde ab =
ac = bc = 0. Como R2 ´e Artiniano local, pelo Lema 2.60, temos a2 = b2 = c2 = 0. Podemos
ver ent˜ao que os v´ertices do conjunto {(0, a), (0, b), (0, c)} s˜ao adjacentes aos v´ertices do conjunto {(1, a), (1, b), (1, c)}. Logo, Γ(R) possui um subgrafo isomorfo a K3,3, donde vem
que Γ(R) n˜ao ´e planar.
Suponhamos Γ(R2) ≃ K1,2. Neste caso, Γ(R) ´e planar. Com efeito, pelo Exemplo 2.4
e pela Observa¸c˜ao 2.8, temos que R2 ´e isomorfo a um dos seguintes an´eis: Z6, Z(x2[x]3
), Z8, Z4[x]
(x2−2,2x). Pelas Figuras 2.27, 2.28, 2.29 e 2.30, temos que Γ(Z2× R2) ´e planar.
Figura 2.27: Γ(Z2 × Z6) Figura 2.28: Γ(Z2× Z2[x]
(x3
))
Se|D(R2)| = 3, ent˜ao, pelo Exemplo 2.3 e pela Observa¸c˜ao 2.8, R2 ´e isomorfo a um dos
seguintes an´eis: Z2× Z2,Z9 ou Z
3[x]
(x2). Destes, apenasZ2× Z2 n˜ao ´e local. Exibimos os grafos
planares Γ(Z2× Z9) e Γ(Z2× Z
3[x]
(x2
)) nas Figuras 2.31 e 2.32, respectivamente.
Se |D(R2)| = 2, ent˜ao R2 ∼= Z4 ou R2 ∼= Z(x2[x]2
) (pela Observa¸c˜ao 2.8) e, neste caso, Γ(R)
2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 72 Figura 2.29: Γ(Z2 × Z8) Figura 2.30: Γ Z2× (x2Z4[x] −2,2x) Figura 2.31: Γ(Z2 × Z9) Figura 2.32: Γ Z2× Z 3[x] (x2)
R2 ´e dom´ınio e da´ı Γ(R) ´e um grafo estrela (pelo Lema 2.26), que claramente ´e planar.
Figura 2.33: ΓZ2× Z
2[x]
(x2)
(2) R1 ∼=Z3.
Suponhamos que D|(R2)| ≥ 4. Como R2 ´e local finito, pelo Corol´ario 2.28 e pelo Lema
2.60, existe x ∈ D(R2)∗ adjacente aos demais v´ertices e tal que x2 = 0. Escolhendo a, b ∈
D(R2)\{0, x} distintos, temos que os v´ertices do conjunto {(1, x), (2, x), (1, 0)} s˜ao adjacentes
2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 73
K3,3. Pelo Teorema 1.52, Γ(R) n˜ao ´e planar.
Se |D(R2)| = 3, sabemos que R2 ∼= Z9 ou R2 ∼= Z
3[x]
(x2). As Figuras 2.34 e 2.35 mostram
que, neste caso, Γ(R) ´e planar.
Figura 2.34: Γ(Z3 × Z9) Figura 2.35: Γ Z3× Z 3[x] (x2) Se|D(R2| = 2, ent˜ao R2 ≈ Z4 ou R2 ≈ Z(x2[x]2
). Considerando as Figuras 2.36 e 2.37, vemos
que Γ(R) ´e planar.
Figura 2.36: Γ(Z3 × Z4) Figura 2.37: Γ Z3× Z 2[x] (x2)
Se |D(R2)| = {0}, ent˜ao R2 ´e um dom´ınio de integridade finito e, portanto, um corpo
2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 74
que Γ(R) ´e um grafo bipartido completo com parti¸c˜ao V (Γ(R)) = P ∪ Q e Γ(R) ≃ K2,n−1,
com n =|R|. Logo, Γ(R) ´e planar.
CASO 4: n=1
Neste caso, R ´e um anel local. Estudaremos agora esse caso. Para demonstrarmos os resultados que enunciaremos a seguir, faremos uso de alguns fatos expostos na Proposi¸c˜ao 1.37. Destacamos tais fatos na pr´oxima observa¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 2.64. Se (R, M ) ´e um anel local finito, ent˜ao existe um n´umero primo p e inteiros n˜ao negativos t, l, k tais que char(R) = pt, |M| = pl, |R| = pk e char(R
M) = p.
Teorema 2.65. Seja (R, M ) um anel local finito, com M 6= {0} e |R
M| ≥ 4. Se |M| ≥ 7 ou
|R| ≥ 26, ent˜ao Γ(R) n˜ao ´e planar.
Demonstra¸c˜ao: Pela Proposi¸c˜ao 1.36, temos que M = D(R). Do fato de R ser Artiniano e da Observa¸c˜ao 1.33 segue que M ∈ Ass(R). Ent˜ao, M = Ann(x), para algum x ∈ R∗.
Como |R
M| ≥ 4, existem distintos u1, u2, u3 ∈ U(R) tais que u1x, u2x e u3x s˜ao distintos e
Ann(u1x) = Ann(u2x) = Ann(u3x) = M . De fato, tomemos u1, u2, u3 ∈ U(MR) dois a dois
distintos. Sejam u1, u2 e u3 representantes de u1 ,u2, u3, respetivamente. Claramente vemos
que u1 6= u2, u1 6= u3 e u2 6= u3 (pois as suas classes s˜ao duas a duas distintas). Tamb´em,
u1x 6= u2x, pois se tiv´essemos u1x = u2x, ter´ıamos (u1 − u2)x = 0, ou seja, u1 − u2 ∈
Ann(x) = M , o que implicaria em u1 = u2. Analogamente, mostramos que u1x 6= u3x e
u2x 6= u3x. Ainda, dado a ∈ M, temos que ax = 0. Da´ı, axu1 = axu2 = axu3 = 0, donde
obtemos que Ann(u1x) = Ann(u2x) = Ann(u3x) = M .
Se|M| ≥ 7, ent˜ao existem elementos distintos y1, y2, y3 ∈ M \ {u1x, u2x, u3x, 0} cada um
deles adjacente aos elementos u1x, u2x e u3x. Da´ı K3,3´e um subgrafo de Γ(R) e, assim, Γ(R)
n˜ao ´e planar.
Suponhamos agora |M| ≤ 6 e |R| ≥ 26. Pela Observa¸c˜ao 2.64, devemos ter |M| ≤ 5. Da´ı |R
M| ≥ 6. Assim, existem elementos invert´ıveis u1, . . . , u5 ∈ R tais que u1x, . . . , u5x
s˜ao distintos e Ann(u1x) = . . . = Ann(u5x) = M . Ent˜ao, u1x, . . . , u5x s˜ao adjacentes em
2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 75
O pr´oximo lema apresenta algumas caracter´ısticas de um anel local finito que tem como grafo divisor de zero um grafo planar.
Lema 2.66. Seja (R, M ) um anel local finito tal que Γ(R) ´e planar. Temos que
(i) Se |R M| = 2, ent˜ao M 4 ={0} (ii) Se |R M| = 3, ent˜ao M 3 ={0}
Demonstra¸c˜ao: (i) Se M ={0}, o resultado ´e imediato. Suponhamos ent˜ao que M 6= {0}. Pela Observa¸c˜ao 2.64, existe r ∈ Z∗
+ tal que |M| = 2r. Como R ´e Artiniano, podemos
considerar k o menor inteiro positivo tal que Mk = {0}. Notemos que, para todo t ∈
{0, . . . , k−1}, Mk−t ( Mk−t−1, pois se ocorresse Mk−s= Mk−s−1, para algum s∈ {0, . . . , k−
1}, n˜ao seria poss´ıvel obtermos que Mk ={0}
Afirmamos agora que, para todo t ∈ {0, . . . , k − 1}, |Mk−t| ≥ 2t. Mostraremos tal
afirma¸c˜ao por indu¸c˜ao sobre t. Para t = 0, temos que|mk| = |{0}| = 1 = 20. Suponhamos
que, para algum t∈ {0, . . . , k − 1}, tenhamos |Mk−t| ≥ 2t. Pela observa¸c˜ao feita no final do
par´agrafo anterior, sabemos que|Mk−t−1| ≥ |Mk−t| ≥ 2t. Como Mk−t−1 ´e um subgrupo de
M , temos que|Mk−t−1| = 2l, para algum inteiro l≥ 0. Assim, |Mk−t−1| ≥ 2t+1 e a afirma¸c˜ao
est´a provada.
Agora, sabemos que M2Mk−2 ⊆ Mk = {0}. Se k ≥ 5, ent˜ao |M2| ≥ 8 e |Mk−2| ≥ 4.
Assim, K3,3seria um subgrafo de Γ(R), contradizendo o fato de Γ(R) ser planar. Logo, k≤ 4,
donde M4 ={0}.
(ii) Apresentaremos aqui apenas os passos da demonstra¸c˜ao, pois os detalhes s˜ao an´alogos aos da demonstra¸c˜ao do item (i). Supondo M 6= {0}, sejam s ∈ Z∗
+ tal que |M| = 3s e k
o menor inteiro positivo tal que Mk = {0}. Ent˜ao, para todo t ∈ {0, . . . , k − 1}, teremos
|Mk−t| ≥ 3t. Se k ≥ 4, ent˜ao, k − 2 ≥ 2 e da´ı |Mk−2| ≥ 32 = 9. Sendo Mk−2 ⊆ M2, temos
que |M2| ≥ 9. Como Mk−2M2 ⊆ Mk ={0} segue que K
3,3 ´e isomorfo a algum subgrafo de
Γ(R), o que contradiz o fato de Γ(R) ser planar. Logo, M3 ={0}. ⊓⊔
2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 76
(i) Se |R
M| = 2, ent˜ao |R| ≤ 32;
(ii) Se |R
M| = 3, ent˜ao |R| ≤ 27.
Demonstra¸c˜ao: Se M ={0}, o resultado ´e imediato. Suponhamos ent˜ao que M 6= {0} (i) Sendo |R
M| = 2, do Lema 2.66 vem que M
2M2 = {0}. Como Γ(R) n˜ao possui um
subgrafo isomorfo a K5 (caso contr´ario, n˜ao seria planar), temos que |M2| ≤ 4. Assim,
para todo x ∈ M, |xM| ≤ 4. Fixado x ∈ M, consideremos o homomorfismo sobrejetor de R-m´odulos fx : M −→ xM dado por fx(a) = xa. Como ker(f ) = Ann(x)∩ M, temos
que Ann(x)∩MM ≈ xM. Da´ı, |Ann(x)∩M ||M | = |xM| ≤ 4, donde |M |
4 ≤ |Ann(x) ∩ M| ≤ |Ann(x)|,
pois Ann(x)∩ M ⊆ Ann(x). Como Γ(R) ´e planar, existe x ∈ D(R)∗ tal que deg(x) ≤ 5
(Proposi¸c˜ao 1.54). Para tal x, teremos |Ann(x)| ≤ 7 (pois 0 ∈ Ann(x) e talvez x2 = 0).
Logo, |M| ≤ 28. Como |R
M| = 2, da Observa¸c˜ao 2.64 temos que |M| ≤ 16, donde |R| ≤ 32.
(ii) Pelo Lema 2.66, temos M2M ={0}. Se tiv´essemos |M2| ≥ 4, ter´ıamos |M| ≥ 9, pela
Observa¸c˜ao 2.64. Mas, como M2M ={0}, ter´ıamos K
3,3 como subgrafo de Γ(R) e Γ(R) n˜ao
seria planar. Logo, devemos ter |M2| ≤ 3.
Analogamente ao racioc´ınio feito na demonstra¸c˜ao do item (i), para cada x∈ M, pode- mos considerar o homomorfismo sobrejetor fx : M −→ xM dado por fx(a) = xa. Obtemos
|M |
|Ann(x)∩M | =|xM| ≤ 3, donde |M |
3 ≤ |Ann(x)|. Considerando x ∈ D(R)∗ tal que deg(x)≥ 5,
teremos |Ann(x)| ≤ 7, donde |M| ≤ 21. Pela Observa¸c˜ao 2.64 temos que |M| ≤ 9 e da´ı
|R| ≤ 27. ⊓⊔
Corol´ario 2.68. Se (R, M ) ´e um anel local finito com M 6= {0} e |R| > 32, ent˜ao Γ(R) n˜ao
´e planar.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos por absurdo que exista um anel local finito (R, M ) com |R| > 32, M 6= {0} e Γ(R) planar. Pelo Teorema 2.67, ter´ıamos |R
M| ≥ 4. Mas, como
|R| > 32 ≥ 26, do Teorema 2.65, obter´ıamos que Γ(R) n˜ao ´e planar, uma contradi¸c˜ao. ⊓⊔
Exemplo 2.69. O grafo Γ(Z27) ´e planar (Figura 2.38). J´a Γ(Z28) n˜ao ´e planar, pois o
2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 77
a K3,3, conforme vemos na Figura 2.39
Figura 2.38: Γ(Z27) Figura 2.39: Subgrafo de Γ(Z28)
Segundo J. Coykendall [14], R. Belshoff e J. Chapman provaram em [12] que an´eis locais que n˜ao s˜ao corpos e que possuem mais do que vinte e sete v´ertices n˜ao s˜ao planares. No entanto, n˜ao apresentaremos este estudo aqui.
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