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A álgebra provavelmente teve origem na Babilônia, por volta do ano de 2000 a. C. Era retórica, ou seja, escrita totalmente em palavras, não eram usadas abreviações nem símbolos. O sistema de numeração dos babilônios era de base sessenta e utilizavam apenas dois símbolos na escrita dos números, um para a unidade e outro para dez unidades. Segundo Eves (2004), os babilônios resolviam algumas equações quadráticas, pelo método da substituição numa fórmula geral, como também pelo método de completar quadrados; discutiam ainda algumas equações cúbicas e algumas biquadradas.

A álgebra também surgiu no Egito por volta do ano de 1850 a.C., que é a data aproximada do papiro Moscou. Muitos dos problemas do papiro Rhind (datado por volta de 1650 a.C.) e do Moscou apresentam problemas práticos, como questões sobre pães e cervejas, balanceamento de rações para gado e aves, e ainda armazenamento de grãos. Para solução dessas equações, exigia-se apenas uma equação linear simples; para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final, chamado também de “método da falsa posição” ou regra do falso. A álgebra egípcia assim como a Babilônica era retórica.

Carvalho (2004), em seu artigo sobre a história das equações do 2º grau, afirma que os Egípcios tratavam também com equações simples do 2º grau, como um exemplo encontrado no papiro Moscou, de um problema em que é pedido para calcular a base de um retângulo cuja altura l é igual a de sua base e cuja área é igual a 12. Com a nossa notação moderna, poderíamos escrever:

Ssegundo Boyer (1996) os egípcios tiveram dificuldades para solucionar equações quadráticas, pesquisas arqueológicas e históricas mostram que a matemática dos babiblônios era muito mais desenvolvida que a dos egípcios. Neugebauer, em 1930, revelou que tais equações tinham sido tratadas eficientemente pelos babilônios. Por exemplo, um problema pede o lado de um quadrado se a área menos o lado dá 14,30 em base sexagesimal, o que

equivale a resolver a equação em nossa notação decimal, pois 14,30 significa no nosso sistema de numeração 14 grupos de 60 e trinta unidades, ou Boyer (1996, p. 22) apresenta a seguinte solução: “Tome a metade de 1, que é ½, e multiplique por ½, o que dá ¼; some isto a 870, que dá 3841/4. Isto é o quadrado de 59/2. Agora some ½ a 59/2 e o resultado dá 30 que é o lado do quadrado”. 2

O procedimento equivale à formula: , para a equação na forma . Como não se conheciam na época raízes negativas, as equações quadráticas na Idade média foram classificadas em três tipos, onde p e q são positivos:

Nos textos babilônios, a maioria dos problemas relativos a equações do 2º grau são dados nas formas que seriam escritas atualmente como

ou

ou que podem ser assim transformadas.

A álgebra grega era geométrica, foi formulada pelos pitagóricos (540 a. C.) e por Euclides (300 a. C.). Os problemas babilônios em que eram dadas a soma e o produto de dois lados de um retângulo e se pediam as dimensões, eram tratados pelos gregos diferentemente da “álgebra aritmética” dos babilônios. Surgia a “álgebra geométrica”, onde não se podiam somar segmentos com áreas ou áreas com volumes (BOYER, 1996). As equações deveriam agora ser interpretadas geometricamente, sendo uma grande contribuição dos gregos as interpretações geométricas para o quadrado da soma de dois números

, e a diferença de dois quadrados

Podemos também citar Diofante que, séculos mais tarde, deu novo impulso à álgebra, introduzindo o estilo sincopado de escrever equações. Em seu livro Arithmetica, deu ênfase à solução de equações determinadas e indeterminadas. Como afirma Boyer (1996), em certo sentido sua obra é uma aplicação da álgebra não um texto de álgebra.

Na álgebra hindu podemos citar Brahmagupta (c. 628) e Bhaskara (c.1150), os hindus resolviam equações quadráticas completando quadrado; aceitavam números negativos e irracionais; e tinham conhecimento de que uma equação quadrática (com raízes reais) tem duas raízes. (BAUMGART, 1992).

2 _{Esta solução é apresentada por Boyer (1996, p. 22), em notação sexagesimal, transcrevemos para o sistema}

Segundo Boyer (1996), as contribuições de Brahmagupta à álgebra são de muita importância, pois ele apresentou soluções gerais de equações quadráticas, inclusive duas raízes quando uma delas é negativa. Bhaskara, no entanto, continuou alguns estudos a partir da obra de Brahmagupta, chegando a fechar algumas lacunas, dando, por exemplo, uma solução geral da equação de Pell ( onde a é um quadrado perfeito) e considerando o problema da divisão por zero. Escreveu dois livros o Lilavati e o Vija-Ganita, que contém problemas sobre equações lineares e quadráticas.

Mas é na Arábia que a álgebra teve um de seus pontos mais importantes, com o matemático e astrônomo Mohammed ibu-Musa al – Khowarizmi. Ele escreveu obras de astronomia e dois livros de aritmética e álgebra, porém foi do seu livro mais importante, Al jabr wa’l muqabalah, que veio o termo álgebra, pelo fato de a Europa ter aprendido este ramo da matemática através de seu livro (BOYER, 1996).

O matemático grego Diofante é comumente “chamado o pai da álgebra, porém esse título pertence mais a al- Khowarizmi” (BOYER, 1996), mesmo a obra de Al - Khowarizmi apresentando alguns retrocessos com relação à obra de Diofante que utilizava o estilo sincopado de escrever equações, utilizando alguns símbolos e abreviações enquanto o estilo de Al-Khowarizmi é ainda retórico, mesmo assim, o ol-jabr está mais próximo da álgebra elementar de hoje do que as obras de Diofante e de Brahmagupta. O seu livro não trata de problemas difíceis de análise indeterminada, mas apresenta uma explanação simples e direta para solução de equações, principalmente as de segundo grau.

Até hoje, não se sabe bem o significado de al-jabr e muqabalah, mas o que se presume é que al-jabr significa algo como “restauração” ou “completação”, e se refere à transposição de elementos para o outro lado da equação, e o termo muqabalah, refere-se à “redução” ou “equilíbrio”, ao cancelamento de termos iguais em lados opostos da equação.

A tradução latina da álgebra de Al-Khowarizmi resume em seis capítulos, os seis tipos de equações formadas com as três espécies de quantidades: raízes, quadrados e números ( , e números). Tem-se, então, a seguinte divisão, acrescida da linguagem simbólica utilizada nos dias de hoje. No capítulo I, ele abrange o caso de quadrados iguais a raízes, ; no Capítulo II, o caso dos quadrados iguais a números ; no Capítulo III, resolve o caso de raízes iguais a números .

Nos capítulos IV, V e VI, são resolvidos os casos clássicos de equações quadráticas com três termos que possuem pelo menos uma raiz positiva: (1) quadrados e raízes iguais a números , (2) quadrados e números iguais a raízes , e (3) raízes e

números iguais a quadrados . Essas equações são resolvidas pelo completamento de quadrados.

Além de utilizar as regras e a forma estritamente numérica que lembram a matemática da Babilônia antiga e da Índia medieval, a álgebra de Al-Khowarizmi revela diversos elementos gregos, como podemos perceber na resolução da equação

(BOYER, 1996). Os termos e são interpretados geometricamente como sendo um quadrado de lado e quatro retângulos de lados e , respectivamente, como podemos ver na figura 1.

Para completar o quadrado, devemos somar 4 vezes , que dá exatamente 25. Somando 36 com 25 obtemos, 64, que tem como raiz 8. Então, para o lado desse quadrado ser 8, x deve ser igual a 3.

A álgebra de Al-Khowarizmi é, em geral, considerada como a primeira obra sobre o assunto. O seu texto foi para a álgebra tão importante como Os Elementos de Euclides foi para a geometria. Porém, sua obra tinha uma grande deficiência, precisava de uma notação simbólica, passo que nunca deram, somente na substituição de palavras-número por sinais- número.

Dentre os matemáticos posteriores a Al-Khowarizmi que contribuíram com o conhecimento acerca das equações do segundo grau, podemos citar Fibonacci que, embora não tenha feito grandes descobertas acerca deste assunto, fez contribuições importantes à Matemática e difundido a Matemática árabe no ocidente. Em seu livro Liber Abacci, apresenta as seis equações de Al-Khowarizmi e resolve uma delas, justificando geometricamente de forma semelhante à utilizada por Al-Khowarizmi. Podemos citar também

François Viète (1540-1603), que tratou das equações do 2º grau aceitando os números negativos como quantidades que devem ser subtraídas. Ele foi o primeiro matemático a usar letras para representar incógnitas e constantes e representava as incógnitas por vogais e as constantes por consoantes. As equações , ,

foram tratadas por Viéte, tendo sido encontradas suas soluções geométricas.

Para o presente trabalho, iremos resgatar da História da Matemática algumas contribuições do processo utilizado por Al-Khowarizmi, para encontrar as soluções positivas de equações do 2º grau. Entendemos que este pode ser aplicado juntamente com os alunos de forma a alcançar uma aprendizagem por parte deles. Acreditando que o trabalho com este tipo de equações, aliado com o significado geométrico advindo da História da Matemática, pode, conforme colocado por Mendes (2001), viabilizar uma situação na qual os estudantes poderão construir seu conhecimento a partir do raciocínio próprio e dos conhecimentos históricos e, ainda, transpor este conhecimento para a situação cotidiana atual, resultando de suas próprias experiências.

Trabalharemos com o método do completamento de quadrados para resolver o caso “quadrados e raízes iguais a números” , e ainda “raízes e números iguais a quadrados”, (com a, b e c positivos). Com relação a este último caso, trabalharemos como sugerido em Rodrigues Neto (1998), que da área podemos subtrair a área , obtendo como área restante e, em seguida, iniciar o completamento de quadrados.

3 INTERVENÇÃO METODOLÓGICA

Neste capítulo, descreveremos a intervenção metodológica e os elementos que fazem parte dela: a escola onde realizamos a pesquisa, os sujeitos investigados, os instrumentos utilizados durante a intervenção, tais como a avaliação diagnóstica, atividades do módulo de ensino. Apresentaremos a avaliação diagnóstica, assim como seus resultados, as atividades de ensino e a dinâmica desenvolvida durante o trabalho com elas.