Barriereteori:

Nossa descri¸c˜ao da propaga¸c˜ao da radia¸c˜ao eletromagn´etica na mat´eria inicia-se pelas equa¸c˜oes de Maxwell
∇ ×
E = −∂
B ∂t , (3.10)
∇ ×
H = ∂
D ∂t . (3.11)

Se os campos possuem solu¸c˜oes tipo ondas planas, ent˜ao (3.10) e (3.11) assumem a forma

k ×
E = ω
B, (3.12)

k ×
H = −ω
D. (3.13)

B = µ0µ
H, (3.14)

D = ǫ0ǫ
E, (3.15)

onde µ0 ´e permeabilidade magn´etica e ǫ0 ´e a permissividade el´etrica no v´acuo. Em (3.14)

vamos considerar que µ = 1, j´a que o meio ´e n˜ao-magn´etico. Com o aux´ılio das equa¸c˜oes (3.14) e (3.15), podemos combinar (3.12) e (3.13) para obter uma equa¸c˜ao que envolve somente o campo el´etrico:

k ×(
k ×
E) 

+ ω

2

c2ǫ(
k, ω)
E = 0. (3.16)

onde c = (ǫ0µ0)−1/2 ´e a velocidade da luz no v´acuo.

Vamos assumir que o vetor de onda
k pertence ao plano xz. O ˆangulo entre o eixo ´optico (na dire¸c˜ao z) e o vetor onda ´e θ. Assumimos tamb´em que o campo el´etrico e o vetor deslocamento pertencem ao plano formado pelo eixo ´optico e o vetor de onda, como mostra a Fig. 3.1. Ent˜ao,

kx = k cos θ e kz = k sin θ. (3.17)

Se as componentes da Eq. (3.16) s˜ao escritas explicitamente para este caso, obt´em-se que  ω2 c2_k2ǫ(
k, ω) − cos 2_θ 

Ex+ sin θ cos θEz = 0, (3.18)

 ω2

c2_k2ǫ(
k, ω) − sin 2_θ



Ez + sin θ cos θEx= 0. (3.19)

´

Figura 3.1: O vetor de onda
k forma com o eixo ´optico ao longo da dire¸c˜ao z um ˆangulo θ, mostrando as componentes transversal e longitudinal do campo el´etrico em rela¸c˜ao a
k.

ao vetor
k). As dire¸c˜oes dessas duas componentes do campo s˜ao indicadas na Fig. 3.1. Assim

Ez = Ecos(θ) + E⊥sin(θ)

Ex = Esin(θ) − E⊥cos(θ) (3.20)

Ent˜ao, as equa¸c˜oes (3.18) e (3.19) podem ser escritas como

ω2_{ǫ(
k, ω)} c2_k2 sin θE−  ω2_{ǫ(
k, ω)} c2_k2 − 1  cos θE⊥= 0, (3.21) ω2_{ǫ(
k, ω)} c2_k2 cos θE+  ω2_{ǫ(
k, ω)} c2_k2 − 1  sin θE⊥= 0. (3.22)

A rela¸c˜ao de dispers˜ao do polariton de exciton para os modos de volume ´e obtida fazendo o determinante das Eqs. (3.21) e (3.22) igual a zero. O resultado ´e escrito da seguinte forma: ǫ(
k, ω)  k2− ǫ(
k, ω)ω 2 c2  = 0. (3.23)

As solu¸c˜oes da Eq. (3.23) fornecem dois modos normais: o modo longitudinal para ǫ(
k, ω) = 0 e E⊥ = 0, E = 0, (3.24)

e o modo transversal, dado por ǫ(
k, ω) = c

2_k2

ω2 e E⊥ = 0, E = 0. (3.25)

A partir das Eqs. (3.24) e (3.25), combinadas com as Eqs. (3.7) e (3.8), obtemos as curvas de dispers˜ao do modo transversal

Dk4− (Ω2+ Dǫ∞ω2/c2)k2+ (ω2/c2)(ǫ∞Ω2− S) = 0, (3.26)

dando origem a dois modos no espectro de freq¨uˆencia do polariton de exciton, que se propagam na mesma dire¸c˜ao do cristal e com a mesma polariza¸c˜ao para uma determinada freq¨uˆencia ω. A curva de dispers˜ao do modo longitudinal ´e dada por

Dk2 = Ω2− S/ǫ∞, (3.27)

onde Ω2 _{= ω}2_{− ω}2

0+ iωΓ.

As curvas de dispers˜ao do polariton de exciton s˜ao mostradas na Fig. 3.2 para uma regi˜ao de freq¨uˆencia pr´oxima da freq¨uˆencia de ressonˆancia ω0 do exciton desacoplado,

Figura 3.2: A curva de dispers˜ao do polariton de exciton para Γ = 0, mostrando os trˆes modos de volume do cristal. As linhas cheias s˜ao os dois ramos transversais e a linha tracejada o ramo longitudinal.

Figura 3.3: A curva dispers˜ao do polariton de fˆonon para Γ = 0, mostrando a “banda proibida” entre as freq¨uˆencias ω e ω .

A mudan¸ca qualitativa mais importante em rela¸c˜ao a curva de dispers˜ao dos polaritons de fˆonon ´e devido `a contribui¸c˜ao da energia cin´etica do exciton (
k2_{/2M ) no transporte}

de energia no cristal. A “banda proibida” entre as freq¨uˆencias ωT O e ωLO dos fˆonons n˜ao

existe no caso do exciton, no qual no m´ınimo um modo se propaga para toda freq¨uˆencia ω. Na Fig. 3.2, o ramo inferior se curva para cima para valores grandes de k e assume a forma assint´otica ω2 _{≈ ω}2

0 + Dk2, diferentemente do ramo correspondente na Fig. 3.3,

onde ω ≈ ωT O, um valor constante. O ramo longitudinal tamb´em possui uma dependˆencia

em k2 _{para vetores de onda grandes.}

Como podemos ver, abaixo da freq¨uˆencia de ressonˆancia (ω < ω0) existe um ´unico

modo do polariton de exciton, que ´e fundamentalmente tipo f´oton (o primeiro modo transversal). A medida que a freq¨uˆencia aumenta, o comportamento caracter´ıstico do polariton de exciton aparece em torno de ω0, dando origem a mais dois ramos: o segundo

modo transversal (o ramo superior), que rapidamente assume a caracter´ıstica de f´oton, e o modo longitudinal, que ´e fundamentalmente tipo exciton. A coexistˆencia de mais de um ramo para uma dada energia ´e uma conseq¨uˆencia imediata da dependˆencia da energia do exciton em rela¸c˜ao ao vetor de onda [E = E(k)].

No c´alculo dos modos de volume do polariton de exciton foi suposto que o cristal ´e isotr´opico e infinito, e portanto, nenhuma condi¸c˜ao de contorno foi necess´aria. Os resulta- dos obtidos foram unicamente devido `as equa¸c˜oes de Maxwell e as rela¸c˜oes constitutivas do meio. No entanto, quando o meio dispersivo ´e limitado, a dependˆencia da fun¸c˜ao diel´etrica com k leva a um problema maior relacionado com a totalidade das condi¸c˜oes de contorno que s˜ao necess´arias para descrever a teoria do polariton de exciton. Por exemplo, a coexistˆencia dos trˆes modos de volume para uma dada energia complica a solu¸c˜ao de uma “simples” experiˆencia de reflex˜ao, que consiste de uma onda plana que incide normal `a superf´ıcie de separa¸c˜ao entre o v´acuo e o meio dispersivo. A raz˜ao ´e que onda incidente, em geral, excita todos os trˆes modos de volume no cristal, com cer- tas amplitudes. As duas condi¸c˜oes de contorno de Maxwell para os campos magn´etico

s˜ao suficientes para determinar as raz˜oes entre as amplitudes das trˆes ondas no interior do cristal. Este problema est´a relacionado a uma “nova” ´area de estudo que investiga as condi¸c˜oes de contorno adicionais necess´arias para completar o conjunto de equa¸c˜oes e que ser´a abordado na pr´oxima se¸c˜ao.