I detta arbete översätts concept till begrepp. Förståelsen av derivatan som matematiskt begrepp, är en växelverkan av begrepp relaterade till varandra. En generell beskrivelse av begrepp går, efter reflektioner, över i en mer specifik beskrivelse. En effekt av växelverkningen är att den kontextuella förståelsen av begreppen breddas. Begrepp är resultat av reflektioner, inte
tvärtom. ”Cognition does not start with concepts, but rather the other way around: concepts are the result of cognitive processes” (Freudenthal, 1991, s. 18). Det kan verka som att “[t]eaching
concepts is likely to create the illusion of adding more understanding to what is learned” (ibid., s.
18), vilket belyser viktigheten i begreppsanvändningen.
Många matematiklärare önskar, i inlärningssituationer, att bistå när en individ inte förstår ett specifikt matematisk begrepp i en specifik kontext. Detta specifika begrepp kan vara en del i en matematisk process på liknande sätt som Freudenthal (1978) beskriver begreppens delaktighet i en inlärningssituation. Han poängterar att i en inlärningssituation är fokus på att lära ut någonting som samtidigt ska läras in. Teorier som förklarar en inlärningssituation riskerar att fokusera bort det studerade objektets betydelse, i processen den ingår i, om man skiljer mellan form och
innehåll. Begrepp riskerar då att bli tomma former utan förståelsemässigt innehåll. Kanske man, i inlärningssituationer, inte bör separera det matematiska begreppet derivata som objekt från den matematiska processen derivation där begreppet ingår? Freudenthal skildrar vidare lärande som en individuell process, vilken möjligen kan observeras mellan hoppen i en diskontinuerlig inlärningsprocess:
Theories developed by general educationists are empty boxes. […] The production of empty boxes is the consequence of a philosophy that separates form from content. Many rituals in
‘education’ originated from a shallow behaviourism, from atomistic philosophies of knowledge, from interpreting knowledge as a disconnected set of concepts, from interpreting learning as the attainment of concepts. […] Teaching means teaching a specific subject, and any theory of teaching can only arise from a particular theory of teaching a particular subject. Moreover a theory of teaching should be the complement of a theory of learning. Learning is a process and should be observed and studied as a process. Observing a process is more than taking a few snapshots.
Learning is an individual process but statistics can at most provide average learning processes.
Learning is essentially a discontinuous process. If a learning process is to be observed, the moments that count are its discontinuities, the jumps in the learning process. (ibid., s. 77-78)
Att utföra en handling eller en procedur medför inte per automatik förståelse för begrepp som är resultat av processen. Som nämnt i 2.2 är det skillnad på att förstå och kunna matematik. Man behöver inte nödvändigtvis ha förståelse av derivatan som objekt, för att kunna derivera en funktion med derivatan som resultat. På liknande sätt som det är viktigt att kunna förutse och förstå konsekvenser av handlingar, är det viktigt att reflektera över varför man deriverar en funktion. Förståelsen till ett matematiskt begrepp kan öka om man ser till begreppens inbördes betydelse i processerna som de antingen ingår i eller är ett resultat av. Om derivatan till en funktion efterfrågas på en examen, är det möjligt att använda sig av en deriveringsmetod som leder till korrekt svar, utan att man har förstått vad derivatan egentligen är. När man så reflekterar över ett begrepp och dess användningsområde, kan samma begrepp både användas och förstås på flera olika sätt och nivåer. Före man kan lära sig att gå måste man lära sig att stå, så låt oss starta med beskrivelse av begrepp som kronologiskt, under inlärning, används tidigare än derivatan.
Årskurser, eller klasser, är en avgränsning inom skolvärlden för olika nivåer. Norska
4e-klasselever bör enligt läroplanen ha en viss förståelse för matematiska begrepp, som exempelvis bråk och division. Divisionsbegreppet omfattar mer än själva divisionsprocessen, på samma sätt som bråk är ett mångfacetterat uttryck. Dahl (2008) har en ingående, kort och tydlig presentation av rationella tal i form av bråkbegreppet och hur det används i matematikundervisning.
Freudenthal (1983) beskriver bråk bland annat som förhållande och proportionalitet mellan objekt, mängder eller storheter, där meter och sekunder är exempel på två storheter.
Ett matematiskt bråk kan exempelvis representeras med symbolerna ”―”, ”:” och ”/”. Dessa symboler kan ha olika betydelse beroende på vilken konstruktion bråket representerar: en del/hel, en kvot, en operator och ett förhållande för att nämna några. Man kan även läsa in
divisionsprocessen i symbolerna, samtidigt som man inte alltid bör det. Ett förhållande kan uttryckas med symbolen ”:”, vilket gör att en elev kan förväxla förhållande och kvot, eller en förhållandeoperator med en delningsprocess. En förhållandeoperator transformerar ett objekt, en mängd eller en storhet till ett annat objekt, mängd respektive storhet.
Förhållande, kan ses som en funktion som är avhängig av två data av ordnade par av tal eller storheter, medan proportionalitet är avhängigt av fyra (ibid.). x1: x2 = y1: y2 relaterar två interna förhållanden till varandra, medan x1: y1 = x2:y2 relaterar två externa förhållanden till varandra.
Om ett internt förhållande tolkas som dividend och divisor, så är kvoten, eller resultatet av divisionsprocessen ett nytt tal, alltså ett nytt objekt. Divisionen beskriver då förhållandet mellan täljaren och nämnaren. Processen att dividera, dvs. att utföra divisionen, relaterar matematiska begrepp operationellt och därigenom relationellt. Härigenom kan en kvot ses både som ett matematiskt objekt och som en beståndsdel i en matematisk process, vilket leder till ett möjligt problemområde om man inte klarar av att skilja mellan dem.
Externa förhållanden som tolkas som dividend och divisor, får en storhet som kvot. Storheten hastighet är en beskrivelse av rörelse och kan förklaras som ett externt förhållande mellan dividenden sträcka och divisorn tid. Om man likställer ett förhållande med en kvot, kan problem uppstå (ibid.). Hastigheten definierad som förändring av läge per tidsenhet, är inte samma sak som att dividera en sträcka med en tid, på samma sätt som en vektor inte är samma sak som en skalär.
Genom ”skolprocessen” att delta i undervisningen för varje successiv årskurs, bör eleven få möjlighet att utveckla begreppsförståelsen till att även gälla det matematiska begreppet förhållande, när eleverna har nått 8e-klassen. Trots att man kan anta att elever förstår de olika begreppen kvot och förhållande, så kan man inte anta att de kan skilja mellan dem.
Om en elev inte förstår och kan använda begrepp som bråk, division, förhållande och
proportionalitet enligt läroplanens bestämda mål för aktuell nivå för eleven, kan problem uppstå när eleven senare ska utveckla den matematiska begreppsförståelsen till derivatan och derivation.
Det kan vara problematiskt att avgöra exakt när en elev förväntas kunna och förstå matematiska läroplansmål, dels beroende på individuell utveckling och dels på oprecisa läroplansmål vilka nämns mer utförligt i avsnitt 2.4.1.