Da demonstra¸c˜ao do Teorema 1 do artigo [3], Teorema2.1.1acima, ´e poss´ıvel extrair um resultado um pouco mais geral, no qual n˜ao se exige que o anel com divis˜ao D seja enumer´avel:
Teorema 2.2.1. Seja D um anel com divis˜ao com centro infinito e seja K um subcorpo de D o qual ´e seu pr´oprio bicentralizador e cujo centralizador K′ ´e tal que o K-espa¸co `a esquerda KcK′
´e de dimens˜ao infinita sobre K, para todo c ∈ D∗. Seja X um conjunto enumer´avel e seja Σ um
conjunto enumer´avel de matrizes plenas sobre DKhXi. Se existe uma valoriza¸c˜ao discreta ν em D e um elemento n˜ao-nulo t de K′ tal que ν(t) > 0, ent˜ao existe um homomorfismo Σ-inversor DKhXi −→ bD.
Em particular, se D for enumer´avel e Σ = Φ, o conjunto de todas as matrizes plenas sobre DKhXi, segue que bD cont´em o corpo livre DK<(X)>, e este ´e exatamente o Teorema 2.1.1.
O Teorema2.1.1 tem um corol´ario importante:
Corol´ario 2.2.2. Seja D um anel com divis˜ao enumer´avel com centro enumer´avel C, e seja K um subcorpo de D o qual ´e seu pr´oprio bicentralizador e cujo centralizador K′ ´e tal que o K- espa¸co
`
a esquerda KcK′ ´e de dimens˜ao infinita sobre K, para todo c ∈ D∗. Ent˜ao o corpo das s´eries de
Laurent D((z)) cont´em um corpo livre DK<(X)>, sobre um conjunto enumer´avel X.
Este corol´ario ´e provado diretamente em [3], sem fazer uso do Teorema 2.1.1. No entanto, ´e poss´ıvel obtˆe-lo como uma conseq¨uˆencia do Teorema 2.1.1 da seguinte maneira: primeiramente, mostramos que K(z) ´e igual ao seu bicentralizador e que o K(z)-espa¸co `a esquerda K(z)f K(z)′´e de dimens˜ao infinita sobre K(z) para todo f ∈ D(z)∗, onde K(z)′ = C
D(z)(K(z)) = CD(K)(z) = K′(z). Seja ω a valoriza¸c˜ao de D(z) que estende a valoriza¸c˜ao z-´adica de D[z]. Ent˜ao ω ´e uma valoriza¸c˜ao discreta, com ω(z) = 1 > 0 e, como dissemos no Exemplo 1.3.5, o completamento de D(z) com rela¸c˜ao `a topologia definida por ω ´e o corpo das s´eries de Laurent D((z)). Como D ´e enumer´avel ent˜ao D(z) ´e enumer´avel. O centro de D(z) ´e dado pela seguinte
Proposi¸c˜ao 2.2.3 ([8], Proposi¸c˜ao 2.1.5). Seja K um anel com divis˜ao com centro C. Ent˜ao o corpo das fun¸c˜oes racionais K(t) tem centro C(t).
2.2. AN ´EIS COM DIVIS ˜AO ARBITR ´ARIOS 35 Pela proposi¸c˜ao acima, o centro de D(z) ´e C(z), que tamb´em ´e enumer´avel. Logo, pelo Teorema
2.1.1, segue que D((z)) cont´em um corpo livre D(z)K(z)<(X)>, sobre um conjunto enumer´avel X. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.14, D((z)) ⊃ DK<(X)>.
O Teorema 2.2.1tem como conseq¨uˆencia o Corol´ario 2.1.2que pode ser generalizado para corpos arbitr´arios no seguinte sentido:
Teorema 2.2.4. Seja D um anel com divis˜ao com centro infinito C e tal que a dimens˜ao de D sobre
C seja infinita. Se existe uma valoriza¸c˜ao discreta ν em D ent˜ao o completamento bD de D com
rela¸c˜ao `a topologia definida por ν cont´em um corpo livre C<(X)>, sobre um conjunto enumer´avel X.
Para provar o teorema acima precisamos do seguinte lema:
Lema 2.2.5. Todo corpo comutativo infinito cont´em um subcorpo enumer´avel.
Demonstra¸c˜ao: Seja C um corpo comutativo infinito. Se car(C) = 0 ent˜ao C ⊃ Q, o corpo dos n´umeros racionais. Suponha que car(C) = p > 0. Neste caso, o corpo primo de C ´e Fp, o corpo finito com p elementos. Se C for uma extens˜ao alg´ebrica de Fp, como C ´e infinito, C ´e enumer´avel. Se existir x ∈ C transcendente sobre Fp ent˜ao o corpo das fun¸c˜oes racionais Fp(x) ´e um subcorpo enumer´avel de C.
Precisamos tamb´em do seguinte resultado.
Lema 2.2.6 ([3], Lema 9). Seja D um anel com divis˜ao com subcorpo primo Π. Seja k um subcorpo central qualquer de D e seja X um subconjunto de D. Ent˜ao X gera livremente um subcorpo livre
Π<(X)> de D sobre Π se e somente se ele gera um subcorpo livre k<(X)> de D sobre k.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.4: Seja F ⊂ C um subcorpo enumer´avel, que existe pelo Lema2.2.5, e seja F hXi −→ DChXi a inclus˜ao natural. Essa inclus˜ao ´e honesta, pelo Teorema 1.1.16, uma vez que F e C s˜ao obviamente linearmente disjuntos em D sobre F . Seja Σ o conjunto de todas as matrizes plenas sobre F hXi. Pelo que acabamos de mostrar, Σ est´a contido em Φ, o conjunto de todas as matrizes plenas sobre DChXi. Como F e X s˜ao enumer´aveis ent˜ao Σ ´e enumer´avel. Pelo Teorema 2.2.1, existe um homomorfismo Σ-inversor DChXi −→ bD e, portanto, a composta
´e um homomorfismo Σ-inversor de F -an´eis. Como Σ ´e o conjunto de todas as matrizes plenas sobre F hXi ent˜ao esse homomorfismo se estende a um homomorfismo de F -an´eis F <(X)>−→ bD. Logo X gera livremente um subcorpo livre F<(X)> de bD sobre F . Como F ⊂ C = Z(D) ⊂ Z( bD), segue pelo Lema 2.2.6que X gera livremente um subcorpo livre Π<(X)> de bD sobre Π, o subcorpo primo de D. Logo X gera livremente um subcorpo livre C<(X)> de bD sobre C, novamente pelo Lema 2.2.6. Corol´ario 2.2.7. Seja D um anel com divis˜ao com centro C e tal que a dimens˜ao de D sobre C seja infinita. Ent˜ao o corpo das s´eries de Laurent D((z)) cont´em um corpo livre C <(X)> sobre um conjunto enumer´avel X.
Demonstra¸c˜ao: J´a sabemos que o corpo das fun¸c˜oes racionais D(z) tem uma valoriza¸c˜ao discreta e que seu completamento com rela¸c˜ao `a topologia definida por essa valoriza¸c˜ao ´e D((z)). Al´em disso, pela Proposi¸c˜ao2.2.3, o centro de D(z) ´e C(z), que ´e um corpo infinito. Mostremos que D(z) tem dimens˜ao finita sobre C(z). Suponhamos que [D(z) : C(z)] = n < ∞ e sejam d1, . . . , dn+1 ∈ D ⊂ D(z). Ent˜ao existem f1g1−1, . . . , fn+1g−1n+1 ∈ C(z) n˜ao todos nulos tais que f1g1−1d1+ · · · + fn+1g−1n+1dn+1 = 0, onde fi, gi ∈ C[z], gi 6= 0, i = 1, . . . , n + 1. Sejam f′
i, g ∈ C[z], g 6= 0, tais que fig−1i = f ′ ig−1, i = 1, . . . , n + 1. Como os fig−1i n˜ao s˜ao todos nulos ent˜ao os f′
i n˜ao s˜ao todos nulos. Como g ´e central em D(z) segue que
0 = f1′g−1d1+ · · · + fn+1′ g−1dn+1= (f1′d1+ · · · + fn+1′ dn+1)g−1 = 0 e portanto f′
1d1+ · · · + fn+1′ dn+1= 0. Escreva fi′ = P
jaijzj, aij ∈ C. Ent˜ao
0 = X j a1jzj d1+ · · · + X j an+1,jzj dn+1=X j n+1 X i=1 aijdi ! zj.
Logo Pn+1i=1 aijdi = 0, para todo j. Seja l ∈ {1, . . . , n + 1} tal que f′ l =
P
jaljzj 6= 0. Ent˜ao existe j0 ≥ 0 tal que alj0 6= 0. Portanto temos
Pn+1
i=1 aij0di = 0 com alj0 6= 0, onde aij0 ∈ C e di ∈ D, i = 1, . . . , n + 1. Logo qualquer conjunto com n + 1 elementos de D ´e linearmente dependente sobre C, contradizendo a hip´otese que D tem dimens˜ao infinita sobre C. Portanto [D(z) : C(z)] = ∞. Pelo Teorema 2.2.4, D((z)) cont´em um corpo livre C(z)<(X)>, sobre um conjunto enumer´avel X. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.14, D((z)) ⊃ C<(X)>.
2.3. CORPOS LIVRES E ESPECIALIZAC¸ ˜OES 37