Como (h, x) = (x, h)−1 = (a, b, h)−1 ∈ γ
3(G) ⊆ (G′)p, temos (h, x) = xpt, para algum t
inteiro. Assim, (h, x) − 1 = (xpt− 1) = (xt− 1)p ∈ ∆(G′)p ⊆ ∆(G′)2. Analogamente, podem
ser provadas as outras congruências. Usaremos este fato nos seguintes resultados. Com ajuda dos conceitos vistos no Capítulo 1, provamos o seguinte resultado.
Lema 5.1.7. Sejam G um p-grupo finito, x = (a, b) ∈ G′ e v = (a−1)(b−1) ou v = (a−1)2.
Então, ν(x) = t ≥ 2 e ω(v(x − 1)k) = 2 + tk. Além disso, v(x − 1)k ∈ ∆(G)2+tk\ ∆(G)3+tk.
Demonstração. Como x ∈ G′ ∈ Γ
2(G) = D2(F G), pela definição de altura dada na página
14, temos ν(x) = t ≥ 2. Agora como v ∈ ∆(G)2 em qualquer caso, temos ω(v(x − 1)k) =
2 + ν(x)k = 2 + tk. Como a filtração determinada por {Dt(F G)} é a das potências do ideal
de aumento, temos v(x − 1)k ∈ ∆(G)2+tk \ ∆(G)3+tk, pois a soma de suas alturas é menor
do que 3 + tk.
5.2 Álgebras de grupo Lie nilpotentes
Note que a única orientação σ que pode ser definida sobre um grupo finito de ordem ímpar é a trivial.
No seguinte lema, como G é um p-grupo finito, a orientação definida sobre G é trivial; as- sim a prova dada em [5, Lema 2] continua válida. Por sua importância no principal resultado desta seção, escrevemos a sua prova aqui.
Lema 5.2.1. Seja G um p-grupo finito com subgrupo comutador cíclico, isto é, G′ é cíclico.
Então t((F G)+) ≥ |G′| + 1 e cl(U+(F G)) ≥ |G′|.
Demonstração. Sejam a e b em G tais que x = (a, b) e hxi = G′. Primeiro vamos provar que
para n ≥ 2, existem zn∈ γn((F G)+) e zn′ ∈ γn((U+(F G))) tais que
zn≡ zn′ − 1 ≡ αn(a − 1)2(x − 1)n−1 (mod In) se n é ímpar; αn(a − 1)(b − 1)(x − 1)n−1 (mod In) se n é par, (5.7) onde αn ∈ F \ {0}.
46 Índices de Lie Nilpotência Para n ≥ 1 seja un≡ (a − 1)(a−1− 1) se n é ímpar; (b − 1)(b−1− 1) se n é par.
Dado que a e b são p-elementos, ui é nilpotente e assim é fácil ver que 1 + ui é uma unidade
e ε((1 + ui)−1) = 1.
Pelas equações (5.2)
[u1, u2] = (a − 1)(b − 1)[a−1, b−1]+(a − 1)[a−1, b](b−1− 1)+
(b − 1)[a, b−1](a−1− 1) + [a, b](b−1− 1)(a−1− 1).
De (5.6) obtemos
[u1, u2]
≡ (a − 1)(b − 1)b−1a−1(x − 1) − (a − 1)ba−1(x − 1)(b−1− 1)−
(b − 1)b−1a(x − 1)(a−1− 1) + ba(x − 1)(b−1− 1)(a−1− 1) (mod F G∆(G′)2)
(5.8)
Da equação (5.5), resultam as congruências
a−1− 1 ≡ −(a − 1) (mod ∆(G)2) e b−1− 1 ≡ −(b − 1) (mod ∆(G)2)
Desta forma, os quatro termos na equação (5.8) são congruentes a (a − 1)(b − 1)(x − 1) módulo I2. Então [u1, u2] ≡ 4(a − 1)(b − 1)(x − 1) (mod I2). Além disso, (1 + u1, 1 + u2) = 1 + (1 + u1)−1(1 + u2)−1[u1, u2] = 1 + ((1 + u1)−1(1 + u2)−1− 1)[u1, u2] + [u1, u2] ≡ 1 + 4(a − 1)(b − 1)(x − 1) (mod I2),
5.2 - Álgebras de grupo Lie nilpotentes 47 pois ((1 + u1)−1(1 + u2)−1 − 1)[u1, u2] ∈ ∆(G)3∆(G′) ⊆ I2. Desta forma, tomando z2 =
[u1, u2], z2′ = (1 + u1, 1 + u2) e α2 = 4, provamos a afirmação (5.7), para n = 2. Assuma
a veracidade de (5.7), para algum i ≥ 2, isto é, existem w, w′ ∈ I
i e αi ∈ F \ {0} tais que
zi = αivi(x − 1)i−1+ w ∈ γi((F G)+) e 1 + zi + w′ ∈ γi(U+(F G)), onde vi = (a − 1)2 ou
vi = (a − 1)(b − 1) dependendo se i é ímpar ou par, respectivamente. Do Lema5.1.4, temos
[zi, ui+1] = [αivi(x − 1)i−1+ w, ui+1] = [αivi(x − 1)i−1, ui+1] + [w, ui+1]
= αivi[(x − 1)i−1, ui+1] + αi[vi, ui+1](x − 1)i−1+ [w, ui+1].
Como [(x − 1)i−1, u
i+1] ∈ [∆(G′)i−1, ∆(G)2] ⊆ ∆(G)∆(G′)i, temos
αivi[(x − 1)i−1, ui+1] ∈ ∆(G)3∆(G′)i ⊆ Ii+1.
Além disso, [w, ui+1] ∈ [Ii, ∆(G)2] e do Lema 5.1.4
[Ii, ∆(G)2] = [∆(G)3∆(G′)i−1+ F G∆(G′)i, ∆(G)2]
= [∆(G)3∆(G′)i−1, ∆(G)2] + [F G∆(G′)i, ∆(G)2] ⊆ ∆(G)3∆(G′)i+ F G∆(G′)i+1= Ii+1.
Em consequência,
[zi, ui+1] ≡ αi[vi, ui+1](x − 1)i (mod Ii+1).
Por meio da congruência (5.6) calculamos o colchete de Lie [vi, ui+1], dependendo da
paridade de i • i é par
[vi, ui+1] = [(a − 1)(b − 1), (a − 1)(a−1− 1)]
= (a − 1)2[b, a−1] + (a − 1)[b, a](a−1− 1) ≡ 2(a − 1)2(x − 1) (mod I2),
48 Índices de Lie Nilpotência
• i é ímpar,
[vi, ui+1] = [(a − 1)2, (b − 1)(b−1− 1)]
= (a − 1)(b − 1)[a, b−1] + (a − 1)[a, b](b−1− 1)+ (b − 1)[a, b−1](a − 1) + [a, b](b−1− 1)(a − 1)
≡ −4(a − 1)(b − 1)(x − 1) (mod I2).
Logo obtemos
[zi, ui+1] ≡ αi+1vi+1(x − 1)i (mod Ii+1),
onde αi+1= −4αi se i é ímpar ou αi+1= 2αi, se i é par. Além disso,
(1 + zi+ w′, 1 + ui+1)
= 1 + (1 + zi+ w′)−1(1 + ui+1)−1[zi+ w′, ui+1]
= 1 + ((1 + zi+ w′)−1(1 + ui+1)−1− 1)[zi+ w′, ui+1] + [zi, ui+1] + [w′, ui+1]
≡ 1 + αi+1vi+1(x − 1)i (mod Ii+1)
Logo, é suficiente tomar zi+1 = [zi, ui+1] e z′i+1 = (1 + zi + w′, 1 + ui+1). Em conclusão, a
afirmação (5.7) é verdadeira, para todo n ≥ 2.
Mostraremos que zmnão é zero, para m = |G′|. É suficiente mostrar que γ = vm(x−1)m−1
não pertence a Im. Como m = |G′| é uma potência de p, temos F G∆(G′)m = 0 e Im =
∆(G)3∆(G′)m−1. Pelo Lema 5.1.7, ω(γ) = 2 + t(m − 1), com ν(x) = t ≥ 2, o que significa
γ ∈ ∆(G)2+t(m−1)\ ∆(G)3+t(m−1). Como ∆(G)i tem uma F -base de elementos regulares de
peso maior ou igual a i, temos a inclusão ∆(G)3∆(G′)m−1 ⊆ ∆(G)3+t(m−1). Em conclusão,
γ não pertence a Im.
Assim podemos estender o Teorema 1 em [5] ao caso quando F G tem uma involução clássica orientada.
Teorema 5.2.2. Seja F G uma álgebra de grupo Lie nilpotente de característica ímpar com uma involução clássica orientada, com orientação não trivial. Então t((F G)+) = |G′| + 1 se,
5.3 - Grupos que contêm uma cópia de Q8 49
e somente se, G′ é cíclico. Além disso, quando G é um grupo de torção, cl(U+(F G)) = |G′|
se, e somente se, G′ é cíclico.
Demonstração. Seja F G uma álgebra de grupo Lie nilpotente. Suponha primeiro t((F G)+) = |G′| + 1. Como G′ é um p-grupo finito, se G′ não é cíclico, de [6], temos
t((F G)+) ≤ tL(F G) < |G′| + 1, o que leva à desigualdade t((F G)+) < |G′| + 1. Claramente
obtemos uma contradição, portanto G′ deve ser cíclico.
Reciprocamente, suponha G′ cíclico. Como F G é Lie nilpotente, G é um grupo nilpotente
p-abeliano e por [3, Lema 1] existe um p-grupo finito P que é isomorfo a um subgrupo de um grupo fator de G e tal que P′ ≃ G′. Da prova de [3, Lema 1], temos P ≃ H/A, onde A
é um subgrupo central, maximal, livre de torção.
Assuma que existe g ∈ A tal que σ(g) = −1. Desta forma, como G = N ∪ gN, G′ = N′.
Usando em F P a involução clássica, os Lemas 5.2.1 e5.1.1 implicam
|G′| + 1 = |N′| + 1 = |P′| + 1 ≤ t((F P )+) ≤ t((F N)+) ≤ t((F G)+).
Por outro lado, se A ⊆ N, usando em F P ≃ F (H/A) a involução clássica orientada induzida como no Lema 5.1.1, novamente os lemas 5.2.1 e5.1.1, levam a
|G′| + 1 = |P′| + 1 ≤ t((F P )+) ≤ t((F G)+).
A prova da segunda parte é similar.
O Teorema anterior implica que se F G é Lie nilpotente, car(F ) > 2 e t(F G) = |G′| + 1,
então t((F G)+) = t(F G).
5.3 Grupos que contêm uma cópia de Q
8A partir daqui vamos supor Q8 = hx, y : x4 = 1, x2 = y2, xy = x−1i ⊆ G. Suponha agora
que (F G)+ é Lie nilpotente. Como G contém uma cópia de Q
8 e F Q8 não é Lie nilpotente,
pelo Teorema 2.1.2, a álgebra de grupo F G não pode ser Lie nilpotente. As álgebras de grupo deste tipo foram caracterizadas no Teorema4.1.6. Desta forma G ≃ hQ8, gi × E × P ,
50 Índices de Lie Nilpotência
onde E2 = 1, g ∈ G \ N é tal que (g, x) = (g, y) = 1 e g2 = x2 e P é um p-grupo
finito. A partir daqui, G ≃ hQ8, gi × E × P denota o grupo com as relações anteriores. Na
demonstração deste resultado foi provada a desigualdade t((F G)+) ≤ |P | + 1. Quando P é
trivial ou a característica de F é 0, G ≃ hQ8, gi × E, pelo Lema 4.1.4, (F G)+ é comutativo
e assim t((F G)+) = 2 = |P | + 1. No restante deste capítulo assumimos que P é não trivial
e car(F ) = p > 2.
Antes de dar o resultado principal desta seção necessitamos apresentar alguns lemas técnicos.
Lema 5.3.1. Considere a álgebra de grupo F G com uma involução clássica orientada. Então
((F G)+)(n)⊆ F G∆(P )n,
para todo n ≥ 2.
Demonstração. Lembramos que os elementos simétricos são gerados como um F -módulo pelo conjunto S = {z + z−1 : z ∈ N } ∪ {z − z−1 : z ∈ G \ N }. Se z ∈ N , então z = ah com
a ∈ Q8× E e h ∈ P . Se a2h = 1, então h = 1 e a2 = 1. Assim, a ∈ ζ(Q8 × E). Assumamos
que a2h 6= 1 e consideremos os seguintes casos:
1. Se a2 = 1 e h 6= 1, então z + z−1 = ah + a−1h−1 = a(h + h−1).
2. Se a2 6= 1 e h = 1, então z + z−1 = ah + a−1h−1 = a + a−1.
3. Se a2 6= 1 e h 6= 1, então z + z−1 = ah + a−1h−1 = ah + a3h−1 = a(h + a2h−1).
Por outro lado, se z ∈ G\N, podemos escrever z = gah, com a ∈ Q8×E e h ∈ P . Se a2h = 1,
então a2 = h = 1. Novamente a ∈ ζ(Q
8 × E). Desta forma, z − z−1 = gah − g−1a−1h−1 =
ga − g−1a = ga(1 − g2). Assumamos que a2h 6= 1 e consideremos os seguintes casos: 1. Se a2 = 1 e h 6= 1, então z − z−1 = gah − g−1a−1h−1 = ag(h − g2h−1).
2. Se a2 6= 1 e h = 1, então z − z−1 = gah − g−1a−1h−1 = ga − g3a3 = ga − ga = 0.
3. Se a2 6= 1 e h 6= 1, então z − z−1 = gah − g−1a−1h−1 = agh − a3g3h−1 = ag(h − h−1),
5.3 - Grupos que contêm uma cópia de Q8 51 Das considerações anteriores, obtemos que:
S = A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ ζ(Q8 × E), onde A = {a(h + a2h−1) : a ∈ Q8× E, h ∈ P e (a2 6= 1 e h 6= 1)}, B = {a(h + h−1) : a ∈ Q8× E, h ∈ P e (a2 = 1 e h 6= 1)}, C = {a + a−1 : a ∈ Q8× E, h ∈ P e (a2 6= 1 e h = 1)}, D = {ag(h − g2h−1) : a ∈ Q8× E, h ∈ P e (a2 = 1 e h 6= 1)}, E = {ag(h − h−1) : a ∈ Q8× E, h ∈ P e (a2 6= 1 e h 6= 1)}.
Dado a ∈ Q8 × E e h ∈ P tais que a2 6= 1 e h 6= 1, temos 1 + a2 é simétrico, com
a2 ∈ ζ(Q
8× E). Desta forma,
a(h + a2h−1) + 1 + a2 = a(h − 1) + a3(h−1− 1) + 1 + a + a2+ a3,
onde 1 + a + a2 + a3 é um elemento central em F G e a(h − 1) + a3(h−1 − 1) ∈ F G∆(P ).
Claramente ag(h − h−1) ∈ F G∆(P ). Além disso, se a2 = 1 e h 6= 1, então ag(h − g2h−1) =
ag(h − 1) − ag3(h−1− 1) + a(g − g−1) ∈ F G∆(P ) + ζ(F G).
Assim o conjunto
e
S = A′∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ ζ(Q8× E),
também gera (F G)+ como um F -módulo, onde
A′ = {a(h + a2h−1) + 1 + a2 : a ∈ Q8× E, h ∈ P e (a2 6= 1 e h 6= 1)}
e B, C, D e E são como acima. Por conseguinte,
52 Índices de Lie Nilpotência
A prova segue por indução sobre n. Com efeito, se n = 2, temos
[(F G)+, (F G)+] ⊆ [F G∆(P ), F G∆(P )] ⊆ F G∆(P )2.
Suponha que o lema vale para algum n ≥ 2. Tome α ∈ ((F G)+)(n) e β ∈ (F G)+. Logo
[α, β] ∈ [F G∆(P )n, F G∆(P )] ⊆ F G∆(P )n+1.
e obtemos ((F G)+)(n+1)⊆ F G∆(P )n+1, como queríamos provar.
No que segue, denotamos com c = x2, o elemento central de Q
8× E, tal que (Q8× E)2 =
hci. Dado n ≥ 2, denotamos com Mn o F -subespaço de F G gerado pelo conjunto
{(h1− h−11 ) · · · (hn− hn−1)(1 − c)a : h1, . . . , hn∈ P, a ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8× E)}.
Para abreviar, escrevemos f1,...,n= (h1− h−11 ) · · · (hn− h−1n ).
Sejam Sn o grupo simétrico de grau n e F Sn sua álgebra de grupo sobre o corpo F .
Definimos uma ação de grupo de Sn sobre Mn como segue: para cada elemento σ ∈ Sn e
cada gerador f1,...,n(1 − c)a de Mn definimos
σ · f1,...,n(1 − c)a = fσ(1),...,σ(n)(1 − c)a.
É possível estender linearmente esta ação de grupo de Sn sobre o conjunto gerador a todo o
subespaço Mn. Do mesmo modo, estendemos esta ação de grupo a uma ação da álgebra de
grupo F Sn sobre Mn: para x =Pσ∈Snασσ ∈ F Sn e z ∈ Mn, definimos
x · z = X
σ∈Sn
ασ(σ · z).
Para n ≥ 2, definimos os elementos x2,n, x3,n, . . . , xn,n de F Sn em forma recursiva:
x2,n= 1 + (2, 1), (5.10)
5.3 - Grupos que contêm uma cópia de Q8 53 Lema 5.3.2. Para todo n ≥ 2, tem-se xn,nMn ∈ γn((F G)+)(1 − c).
Demonstração. Seja a ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8× E). Assim existem a1, a2 ∈ N tais que a = a1a2
e (a1, a2) 6= 1. Dados h1, h2 ∈ P , temos
[a1(h1+ a21h−11 ), a2(h2+ a22h−12 )](1 − c) = a1a2(h1+ a21h1−1)(h2+ a22h−12 )(1 − c)−
(h2+ a22h−12 )(h1+ a21h−11 )a2a1(1 − c).
(5.12) Agora, somando e subtraindo a1a2(h2 + a22 + h2−1)(h1 + a1h−11 )(1 − c), a igualdade (5.12)
transforma-se em [a1(h1+ a21h−11 ), a2(h2+ a22h−12 )](1 − c) = a1a2[h1 + a21h−11 , h2+ a22h−12 ](1 − c) + (h2+ a22h−12 )(h1+ a21h−11 )[a1, a2](1 − c). (5.13) Como a2 1 = a22 = c, segue a1a2[h1 + a12h−11 , h2+ a22h−12 ](1 − c) = a1a2[h1+ ch−11 , h2+ ch−12 ](1 − c) = a1a2 (h1h2 + ch1h2−1+ ch−11 h2+ h−11 h−12 )− (h2h1+ ch2h−11 + ch−12 h1+ h−12 h−11 ) (1 − c) = a1a2(h1− h−11 )(h2− h−12 )(1 − c) − (h2− h−12 )(h1 − h−11 )a1a2(1 − c) = (h1− h−11 )(h2− h−12 )(1 − c)a − (h2− h−12 )(h1− h−11 )(1 − c)a. (5.14)
Similarmente, como a2a1c = a1a2, temos a igualdade [a1, a2](1 − c) = 2a1a2(1 − c), donde
(h2 + a22h−12 )(h1+ a22h−11 )[a1, a2](1 − c) = (h2+ ch−12 )(h1+ ch−11 )[a1, a2](1 − c)
= (h2h1+ ch2h−11 + ch−12 h1+ h−12 h−11 )[a1, a2](1 − c)
= 2(h2− h−12 )(h1− h−11 )(1 − c)a.
(5.15)
Desta forma, substituindo as igualdades (5.14) e (5.15) na equação (5.13), obtemos
[a1(h1+ a21h−11 ), a2(h2+ a22h−12 )](1 − c)
= (h1− h−11 )(h2− h−12 )(1 − c)a + (h2− h−12 )(h1− h−11 )(1 − c)a.
54 Índices de Lie Nilpotência
Em consequência,
x2,2f1,2(1 − c)a = (h1− h−11 )(h2− h−12 )(1 − c)a + (h2− h−12 )(h1− h−11 )(1 − c)a
= [a1(h1+ a21h−11 ), a2(h2+ a22h−12 )](1 − c) ∈ γ2((F G)+)(1 − c),
o que prova o lema para n = 2.
Assuma xn−1,n−1Mn−1 ⊆ γn−1((F G)+)(1 − c). Sejam h1, . . . , hn ∈ P , a ∈ (Q8 × E) \
ζ(Q8× E). Escolha elementos a1, a2 ∈ Q8× E tais que a1a2 = a e (a1, a2) 6= 1. Então
xn,nf1,...,n(1 − c)a = xn−1,nf1,...,n(1 − c)a + xn−1,n(n, n − 1, . . . , 1)f1,...,n(1 − c)a
= xn−1,n−1(f1,...,n−1(1 − c)a)(hn− h−1n ) + (hn− h−1n )xn−1,n−1f1,...,n−1(1 − c)a
= xn−1,n−1(f1,...,n−1(1 − c)a)(hn− h−1n ) − (hn+ ch−1n )xn−1,n−1(f1,...,n−1(1 − c)a2a1)
= [xn−1,n−1f1,...,n−1(1 − c)a1, (hn+ a22h−1n )a2].
A última igualdade implica
xn,nMn ⊆ [xn−1,n−1Mn−1, (F G)+] ⊆ [γn−1((F G)+)(1 − c), (F G)+] = γn((F G)+)(1 − c).
Antes de enunciar o próximo lema, lembramos o seguinte fato.
Proposição 5.3.3. Sejam P um p-grupo finito, H um subgrupo normal maximal de P , de índice p, e s ∈ P \ H. Então (s − 1)p−1H = bb P .
Demonstração. Como P é a união disjunta das classe laterais H, sH, . . . , sp−1H, segue que
(s − 1)p−1H = (1 + s + · · · + sb p−1) bH
= bH + s bH + · · · + sp−1H = bb P .
Lema 5.3.4. Se |P | = pk, então bP (1 − c)a ∈ γk(p−1)((F G)+), para algum a ∈ Q 8× E
5.3 - Grupos que contêm uma cópia de Q8 55
Demonstração. Primeiro provamos que são satisfeitas duas igualdades. Sejam a, b ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8× E) e h1, h2 ∈ P tais que (a, b) 6= 1 e (h1, h2) = 1. Então
[a(h1 + a2h−11 ), b(h2+ b2h−12 )] = (h2+ b2h−12 )(h1 + a2h−11 )[a, b]
= (h2− h−12 )(h1− h−11 )(1 − c)ab.
(5.17)
Além disso, se α ∈ F P , h ∈ P e a, b ∈ (Q8 × E) \ ζ(Q8 × E) são tais que [α, h] = 0 e
(a, b) 6= 1, então
[α(1 − c)a, b(h + b2h−1)] = α(1 − c)(h + b2h−1)[a, b]
= α(h − h−1)(1 − c)2ab = 2α(h − h−1)(1 − c)ab.
(5.18)
Assuma P = hhi, onde h é de ordem p e sejam a1, a2, . . . , ap−1 ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8× E)
tais que (a1a2· · · ai−1, ai) 6= 1, para todo 1 < i < p. Usando (5.17) e (5.18) podemos calcular
o colchete de Lie [a1(h + a21h−1), a2(h + a22h−1), . . . , ap−1(h + a2p−1h−1)] = [(h − h−1)2(1 − c)a1a2, a3(h + a32h−1), . . . , ap−1(h + a2p−1h−1)] (por (5.17)) = [2(h − h−1)3(1 − c)a1a2a3, . . . , ap−1(h + a2p−1h−1)] (por (5.18)) ... = 2p−3(h − h−1)p−1(1 − c)a1· · · ap−1. (5.19)
Como (h − h−1)p−1 = (h2 − 1)p−1h−(p−1) = hhic = P e 2b p−3 6= 0, temos
b
P (1 − c)a1· · · ap−1∈ γp−1((F G)+).
Suponha que P é de ordem pk, com k > 1, e que o lema é verdadeiro para grupos de
ordem pk−1. Então P tem um subgrupo normal maximal H de índice p. Por indução, existe
b0 ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8× E) tal que
b
H(1 − c)bo∈ γ(k−1)(p−1)((F (Q8× E × H))+) ⊆ γ(k−1)(p−1)((F G)+).
Como H é um subgrupo normal de P , do Lema 3.4.3 em [30], sabemos que bH é central em F G.
56 Índices de Lie Nilpotência
Podemos escolher b1, b2, . . . , bp−1 ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8 × E) tais que (b0b1· · · bi−1, bi) 6= 1
para todo 1 < i < p. Para s ∈ P \ H e bi(s + b2is−1) ∈ S, usando a equação (5.18) e a
Proposição 5.3.3 podemos calcular o colchete de Lie
[ bH(1 − c)bo, b1(s + b21s−1), . . . , bp−1(s+b2p−1s−1)]
= 2p−1H(s − sb −1)p−1(1 − c)bob1· · · bp−1
= 2p−1H(sb 2− 1)p−1s−(p−1)(1 − c)bob1· · · bp−1
= 2p−1P sb −(p−1)(1 − c)bob1· · · bp−1
= 2p−1P (1 − c)bb ob1· · · bp−1.
Assim bP (1 − c)bob1· · · bp−1 ∈ γk(p−1)((F G)+), como queríamos mostrar.
Necessitaremos as seguintes observações no próximo teorema. Definição 5.3.5. Dizemos que um p-grupo finito P é poderoso1
se P′ ⊆ Pp.
Seja P um grupo poderoso. Denotamos o i-ésimo subgrupo dimensional por Di =
Di(F P ). Pelo [20, Teorema 5.5], temos D1 = P e para n > 1,
Dn =
D
(Dn−1, P ), (D⌈n p⌉)
pE.
Pode-se mostrar facilmente que (Ppi )pj
= Ppi+j
e (Ppi
, P ) ⊆ Ppi+1
, para todo par i, j. Logo, se pi−1 < n ≤ pi, então D
n = Pp
i .
Lema 5.3.6. Sejam P um p-grupo finito poderoso, hi− 1 ∈ ∆(P )ki e hj− 1 ∈ ∆(P )kj, onde
ki e kj são inteiros positivos. Então
(hi− 1)(hj − 1) ≡ (hj − 1)(hi − 1) (mod ∆(P )ki+kj+1). (5.20)
Demonstração. Mostramos primeiro que (Di, Dj) ⊆ Di+j+1, para todo par i, j. Sejam hi ∈
Di e hj ∈ Dj. Temos a seguinte equação
(hi, hj) − 1 = h−1i h−1j ((hi− 1)(hj − 1) − (hj − 1)(hi− 1)). (5.21)
5.3 - Grupos que contêm uma cópia de Q8 57 Se i não é uma potência de p, então hi ∈ Di = Di+1, logo de (5.21), temos (hi, hj) − 1 ∈
∆(P )i+j+1, assim (h
i, hj) ∈ Di+j+1. Se tanto i quanto j são potências de p, então i + j não
pode ser uma potência de p e assim Di+j = Di+j+1. De (5.21), segue (hi, hj) ∈ Di+j+1,
portanto, nossa afirmação está provada. Se j não é potência de p, o mesmo resultado segue de forma análoga.
Sejam hi− 1 ∈ ∆(P )ki e hj − 1 ∈ ∆(P )kj, para alguns ki, kj. Então
(hi − 1)(hj − 1) = (hj− 1)(hi− 1) + hjhi((hi, hj) − 1),
e, como (hi, hj) ∈ Dki+kj+1, segue o resultado.
Apresentamos o principal resultado desta seção, o qual estende o Teorema 2 de [5]. É bem sabido que o ideal de aumento de um p-grupo finito P é nilpotente, ver [30, Teorema 6.3.1]. Denotamos com tnil(P ), denominado índice de nilpotência, o menor inteiro positivo k tal
que ∆(P )k= 0. Pelo Corolário 4.1.9, U+(F G) é nilpotente.
Teorema 5.3.7. Seja F um corpo de característica p > 2. Considere a álgebra de grupo F G com uma involução clássica orientada. Suponha Q8 ⊆ G, (F G)+ Lie nilpotente e que o
p-subgrupo de Sylow P de G é de ordem pm, com m ≥ 1. Então
(i) 1 + m(p − 1) ≤ t((F G)+) ≤ tL((F G)+) ≤ t
nil(P ) e cl(U+(F G)) ≤ tnil(P ) − 1.
(ii) Se t((F G)+) = t
nil(P ), então cl(U+(F G)) + 1 = t((F G)+).
(iii) Se P é poderoso, então t((F G)+) = t nil(P ).
(iv) Se P é abeliano, então, para todo k ≥ 2, o F -espaço γk((F G)+) é gerado pelo conjunto
Mk ={(h1− h−11 ) · · · (hk− h−1k )(1 − a2)a : hi ∈ P, a ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8× E)}∪
{g(h1− h−11 ) · · · (hk− h−1k )(1 − a 2)a : h
i ∈ P, a ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8× E)}.
Demonstração. Do Lema 5.3.4, para algum a ∈ Q8 × E tem-se
0 6= bP (1 − c)a ∈ γm(p−1)((F G)+). Desta forma, 1 + m(p − 1) ≤ t((F G)+). Por outro lado, o
Lema 5.3.1 implica tL((F G)+) ≤ t nil(P ).
58 Índices de Lie Nilpotência
Para mostrar a segunda parte do enunciado, considere os elementos simétricos ui = 1 − ai(1 + a2i) + xi, onde xi = ai(hi + a2ih−1i ) ∈ S, ai ∈ Q8 × E, hi ∈ P . Assim,
ui = 1 + ai(hi − 1) + a3i(h−1i − 1) ∈ 1 + F G∆(P ). Como F G∆(P ) é um ideal nilpotente,
temos 1 + F G∆(P ) um subgrupo normal de U(F G) e, em consequência, ui é uma unidade
em F G. Provaremos, por indução a congruência
(u1, u2, . . . , un) ≡ 1 + [x1, x2, . . . , xn] (mod F G∆(P )n+1). (5.22)
Como u−1
1 u−12 ≡ 1 (mod F G∆(P )), o Lema 5.3.1 implica
(u1, u2) = 1 + u−11 u−12 [u1, u2] = 1 + (u−11 u−12 − 1)[u1, u2] + [u1, u2]
≡ 1 + [u1, u2] (mod F G∆(P )3).
Lembramos que os elementos bai = 1 + ai + a2i + ai3 e 1 + a2i, para cada ai ∈ Q8 × E, são
centrais em F G. Logo
[u1, u2] = [1 − a1(1 + a21) + x1, 1 − a2(1 + a22) + x2]
= [x1, x2] + [a1(1 + a21), a2(1 + a22)] − [x1, a2(1 + a22)] − [a1(1 + a21), x2]
= [x1, x2] + [ba1, ba2] − [x1, ba2] − [ba1, x2]
= [x1, x2],
o que prova a congruência (5.22) no caso n = 2. Suponha (5.22) verdadeira para n − 1, isto é,
5.3 - Grupos que contêm uma cópia de Q8 59 Então o Lema 5.3.1 e como (u1, u2, . . . , un−1)−1u−1n − 1 ∈ F G∆(P ) implicam
(u1, u2, . . . , un)
= 1 + ((u1, u2, . . . , un−1)−1u−1n − 1)[(u1, u2, . . . , un−1), un] + [(u1, u2, . . . , un−1), un]
≡ 1 + [(u1, u2, . . . , un−1), un] (mod F G∆(P )n+1)
≡ 1 + [[x1, x2, . . . , xn−1], 1 − an(1 + a2n) + xn] (mod F G∆(P )n+1)
≡ 1 + [x1, x2, . . . , xn] − [[x1, x2, . . . , xn−1], ban] (mod F G∆(P )n+1)
≡ 1 + [x1, x2, . . . , xn] (mod F G∆(P )n+1),
e a afirmação (5.22) é verdadeira, para todo n ≥ 2.
Seja n = tnil(P ) − 1. Se t((F G)+) = tnil(P ), então existem x1, . . . , xn ∈ S tais que
[x1, . . . , xn] 6= 0. Por conseguinte, da congruência (5.22), segue γn(U+(F G)) 6= 1. Logo
n ≤ cl(U+(F G)). Por outro lado, cl(U+(F G)) < tL((F G)+) ≤ t
nil(P ) = n + 1, o que mostra
(ii).
Suponha que P é poderoso. Então, do Lema 5.3.6, obtemos
xn,nf1,...,n(1 − c)a ≡ 2nf1,...,n(1 − c)a (mod F G∆(P )n+1).
Além disso, se hi− 1 ∈ ∆(P )ki, então de (5.5) temos
hi− h−1i = (hi− 1) − (h−1i − 1) ≡ 2(hi− 1) (mod ∆(P )ki+1),
assim
xn,nf1,...,n(1 − c)a ≡ 2n(h1− h−11 ) · · · (hn− h−1n )(1 − c)a
≡ 22n(h1− 1) · · · (hn− 1)(1 − c)a (mod F G∆(P )n+1).
É claro que, se n < tnil(P ), existem h1, . . . , hn ∈ P tais que Qni=1(hi − 1) 6= 0, e então
60 Índices de Lie Nilpotência
Finalmente, assuma P abeliano. Sejam a, b ∈ (Q8× E) \ ζ(Q8× E), e h1, h2 ∈ P . Logo
[a(h1+ a2h−11 ), bg(h2− h−12 )] = (h2− h−12 )(h1+ a2h−11 )[a, bg] = g(h2− h−12 )(h1+ ch−11 )(1 − c)ab = g(h2− h−12 )(h1− h−11 )(1 − c)ab. (5.24) e [ag(h1− h−11 ), bg(h2− h−12 )] = (h2− h−12 )(h1− h−11 )[ag, bg] = (h2− h−12 )(h1− h−11 )g2(1 − c)ab = −(h2− h−12 )(h1− h−11 )(1 − c)ab. (5.25)
Então as equações (5.18), (5.24) e (5.25) implicam γ2((F G)+) = M
2. Assuma
γn−1((F G)+) = M
n−1, para algum n ≥ 3. Sejam α ∈ F P , h ∈ P e a, b ∈ (Q8×E)\ζ(Q8×E).
Temos as seguintes igualdades:
[α(1 − c)a, gb(h − h−1)] = α(h − h−1)(1 − c)[a, gb] = gα(h − h−1)(1 − c)[a, b] = gα(h − h−1)(1 − c)2ab = 2gα(h − h−1)(1 − c)ab, (5.26) e [gα(1 − c)a, gb(h − h−1)] = g2α(h − h−1)(1 − c)[a, b] = cα(h − h−1)(1 − c)[a, b] = cα(h − h−1)(1 − c)2ab = −2α(h − h−1)(1 − c)ab. (5.27)
Substituindo f1,...,n−1 por α nas equações (5.18), (5.26) e (5.27), obtemos
[Mn−1, (F G)+] = Mn, donde
5.3 - Grupos que contêm uma cópia de Q8 61 como queríamos provar.