Recapitulando o que foi apresentado no Capítulo 2 sobre Teoria da Media e Probabilidade e considerando os argumentos de Zadeh (1968), apresentamos, nesta seção, conceitos elementares da Teoria da Probabilidade em um cenário mais geral em que os eventos difusos (fuzzy) são admitidos.
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No âmbito da Teoria da Probabilidade, Zadeh (1968, p.421) apresenta,
resumidamente, a probabilidade de um evento , membro de uma ,
, em um subconjunto de espaço amostral . Uma media de probabilidade, , é uma medida normalizada ao longo de um espaço mensurável : tal que, é um valor real de uma função que associa o evento em uma
probabilidade, , tal que (a) para todo ; (b) ; e (c)
é contável aditivo, isto é, se é uma coleção de eventos dijuntos, então: .
O evento é, por definição, precisamente uma coleção especifica de pontos num espaço amostral. Zadeh (1968, p.421) observa que, nas experiências do dia a dia, com frequência encontram-se situações para as quais um “evento” é antes difuso do que um conjunto de pontos bem delimitados.
A partir da noção da função “grau de associatividade”, Zadeh vai estender o conceito de probabilidade para um evento difuso (fuzzy). E exemplifica com os eventos em que há imprecisão nos significados das palavras e, portanto, difusos: “É um dia quente” “x é aproximadamente igual a 5”, “em vinte jogadas de uma moeda há mais caras que coroas” (ZADEH, 1968, p. 421). Para Thom (1988) a afirmação “É um dia quente” é uma qualidade, representada pela categoria do adjetivo, uma forma subjetiva que afeta a percepção de um objeto ou de um processo exterior. Dessa forma, Thom (1988, p.231) define campo semântico por meio da qualidade:
Duas qualidades A e B pertencem ao mesmo campo semântico
se pode imaginar uma sequência contínua de qualidades ,
variando de 0 a 1, tal que e .
Por exemplo, se A = vermelho e B = azul, pode-se facilmente imaginar uma sequência X, transformando continuamente o vermelho em azul, por exemplo, seguindo a frequência espectral (e utilizando apenas cores monocromáticas). O conjunto das impressões de cor forma então um campo semântico [...]
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A definição de campo semântico de Thom coincide com a definição de evento difuso de Zadeh, evento em que há imprecisão nos significados das palavras. Zadeh (1975, Part.3) desenvolve um quadro conceitual, no qual é chamada de variável linguística, uma abordagem para a análise de sistemas complexos ou mal definidos e processos de decisão.
Abar (2010), citado por Araújo e Igliori (2012), afirma que o conceito difuso, ou fuzzy, pode ser entendido como uma situação em que não podemos responder simplesmente "Sim" ou "Não". Mesmo conhecendo as informações necessárias sobre a situação, dizer algo entre "sim" e "não" como, por exemplo, "talvez", "quase", torna-se mais apropriado. A natureza é indiferente aos esforços em modelar matematicamente seus processos, e é possível a um operador humano manejar variáveis de entrada nesses processos sem compreender a matemática envolvida. Desta forma, a Lógica Clássica que perpassa toda a Matemática é um obstáculo epistemológico, como está definido em Igliori (2008), para modelagem matemática da natureza. No âmbito da Educação Matemática, Bassanez (2004) define a Modelagem Matemática como uma atitude de se pensar e fazer Matemática por meio de um enfoque cognitivo, também, é um método cientifico que tem como objetivo melhorar o entendimento da realidade. Para viabilizar de forma mais eficiente uma modelagem matemática da natureza, necessitamos de uma perspectiva da complementaridade, definida por Bohr (1995), da Teoria dos Conjuntos Difusos e da Lógica Clássica presente na Matemática.
A abordagem, por meio de variável línguistica de problemas complexos do campo semântico, tem uma menor preocupação com análise quantitativa exata por aceitar a imprecisão. Ou nas palavras de Zadeh (1975, Part.1) citado por Scremin (2011 p. 54-55):
Uma variável linguística significa uma variavel cujos valores são palavras ou orações em linguagem natural. Por exemplo, a
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ao invés de numéricos, isto é, muito jovem, jovem, não jovem,
velho, no lugar de 10, 17, 38,70 anos, respectivamente. A
regra sintática determina a maneira pela qual podem ser gerados os valores linguísticos, que estão no conjunto de termos da variável, ou seja, a variável é gerada por uma gramática de livre contexto. A regra semântica determina um procedimento computacional do significado de determinada variável linguística (Zadeh, Part.1, 1975, p. 204).
Ainda, para Zadeh (1975, Part.1, p.200), uma variável linguística é uma variável cujo valor pode ser descrito:
qualitativamente usando uma expressão envolvendo termos linguísticos e,
quantitativamente usando uma correspondente função de associação.
Souza (2003, p. 146) apresenta uma ilustração do uso de variáveis linguísticas no âmbito da Teoria Difusa (fuzzy):
O fato de a teoria fuzzy dar esta flexibilidade de modelagem permite ao homem desenvolver algoritmos semelhantes ao pensamento humano. A máquina de lavar roupa desenvolvida com a teoria fuzzy, por exemplo, faz a seguinte inferência: se a roupa está muito suja, então, deve-se bater muito; se a roupa está pouco suja, então, deve-se bater o mínimo possível. Antes da teoria fuzzy, este tipo de inferência só podia ser desenvolvida por um ser humano.
Para Zadeh, a extensão dos conceitos de evento e probabilidade para os conjuntos difusos alarga o campo de aplicações da teoria das probabilidades.
Para definir probabilidade, Zadeh (1968, p.422) vai considerar, por simplicidade, o espaço amostral Ω como um subespaço do espaço Euclidiano . Assim sendo, o espaço de probabilidades é definido pela terna , onde é uma - álgebra de Borel em , e uma medida de probabilidade sobre Rn. Indicamos por um ponto de . Seja . Então a probabilidade
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Zadeh (1968, p. 422) define como a função característica de . A função característica no âmbito da probabilidade e da
estatística é denominada de função indicadora , como foi
apresentada no Capítulo 2. a esperança de .
A equação , sendo E a Esperança da
função característica . Essa equação generaliza a noção de probabilidade para um evento difuso (fuzzy).
Assim sendo, a função característica é generalizada por meio do conceito de conjuntos difusos. Zadeh (1968, p. 422) determinou que o conjunto
em é definido por uma função característica , a qual
associa para cada em seu “grau de pertinência” de em . Para distinguir a notação da função característica de um conjunto não difuso da função característica de um conjunto difuso, atrela-se à notação uma função de associativismo. Um exemplo simples de um conjunto difuso em é . Uma função de associativismo para um tal conjunto pode ser subjectivamente:
O conjunto difuso A é indicado pelo par: (A, )
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Figura 26 - Um gráfico da função
0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 x 'g rau de pe rtin ên cia '
Fonte: Autor por meio do programa R.
Zadeh (1968, p. 422-423) define: Seja um espaço de
probabilidade no qual é uma - álgebra de Borel em e é uma medida de probabilidade sobre . Então, um evento difuso (fuzzy) em é um
conjunto difuso em cuja função de associatividade é
uma medida de Borel.
A probabilidade de um evento difuso é definida pela integral Lebesgue-Stieltjes:
Portanto, a probabilidade de um evento difuso é a Esperança da função de associatividade. A existência da integral Lebesgue-Stieltjes é assegurada pelo pressuposto de que é uma medida de Borel. Zadeh (1968, p.423) observa que as definições de um evento difuso e sua probabilidade formam a base para generalização dos conceitos da Teoria de Probabilidade, da Teoria da Informação e campos relacionados.
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Da mesma forma que na Teoria de Probabilidade, no âmbito dos eventos difusos, há a noção de independência. Especificamente, sejam e
dois eventos difusos em um espaço de probabilidade . Então, e
são ditos independentes se:
.
Como afirma Zadeh (1968, 425), uma consequência imediata dessa
definição é o seguinte: Sejam e e seja o produto
mensurável de , onde e são probabilidades mensuráveis sobre
e , respectivamente. Sejam e eventos em e caracterizados pelas
funções de associativismo e ,
respectivamente. Então e são independentes.
A probabilidade condicional de dado é definida por
,
Com . Note que se e são independentes, então .
Como no caso de eventos não difusos independentes.
Muitas das notações básicas na teoria de probabilidade, tais como média, variância etc, são definidas por meio das funções de distribuição de probabilidade. Zadeh (1968, p. 425) considera que é muito interessante definir uma notação mais geral que relacione o evento difuso com a medida de probabilidade. Por exemplo. A média de um evento difuso relativo à medida de probabilidade pode ser definida com segue:
onde é uma função de associatividade de e é um fator de normalização. Similarmente, a variância de um evento difuso em relativo a uma medida de probabilidade é definido como:
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.
Zadeh (1995) observa que relação entre a Teoria de Probabilidade e a Teoria da Lógica Difusa tem sido objeto de discussão e alguma controvérsia. A Teoria de Probabilidade é eficaz para resolver o problema ligado ao aspecto aleatório dos fenomenos, mas não suficiente para resolver os problemas da imprecisão do mundo real. Para melhorar a sua eficácia, a Teoria da Probabilidade precisa de uma infusão de conceitos e técnicas extraídas da lógica difusa – especialmente do conceito de variável linquística e das regras de cálculo da lógica difusa. Portanto, a Teoria da Probabilidade e a lógica difusa são complementares, em vez de competitivas.
4.3. Exemplos da Aplicação da Teoria de Conjuntos Difusos