Nestes materiais, busquei a abordagem dada à questão da divisibilidade e a outros temas da Teoria Elementar dos Números, segundo a definição feita por Resende (2007), ressaltando os momentos em que estes assuntos são tratados de forma implícita ou explícita.
No Caderno do Professor do 1º bimestre, foram utilizados conhecimentos relativos à questão da divisibilidade e à Teoria Elementar dos Números. De forma explícita, houve o uso das potências e suas propriedades, a representação dos
números inteiros nas potências de 10. Implicitamente, observei a utilização dos critérios de divisibilidade, do conceito de número primo, do Teorema Fundamental da Aritmética, conhecida como decomposição em fatores primos e da observação e generalização de regularidades em diversas tabelas apresentadas. Vale ressaltar a inovação na abordagem, ao se apresentar a organização do conjunto dos números racionais por meio das classes de equivalência. De forma implícita, as classes de equivalência apresentam aspectos parecidos àqueles presentes nas congruências módulo m, assunto da Teoria Elementar dos Números.
A análise do Caderno do Professor do 2º bimestre mostrou a utilização implícita da questão da divisibilidade e de temas da Teoria Elementar dos Números na maior parte das atividades, sendo revelado o uso de conhecimentos sobre múltiplos e divisores e o Teorema Fundamental da Aritmética. As atividades que tratam observação e generalização de regularidades presentes nas sequências de bolinhas, exploradas nas primeiras atividades, são os únicos momentos em que se trabalha explicitamente com a Teoria Elementar dos Números. Creio que a ínfima utilização desses temas, deve-se ao enfoque maior dado ao estudo das expressões algébricas por meio da Geometria.
Já no Caderno do Professor do 3º bimestre, a análise revelou pouca utilização de temas da Teoria Elementar dos Números nas duas primeiras situações de aprendizagem, destinadas à interpretação e transcrição de enunciados, às coordenadas cartesianas e ao trabalho com as transformações. Em lugar disso, a ideia de covariação pertinente à proporcionalidade esteve presente em grande parte das atividades observadas. Os conceitos relacionados à divisibilidade implicitamente utilizados foram os múltiplos e divisores.
Em contrapartida, as duas situações de aprendizagem finais apresentam uma grande exploração de temas da Teoria Elementar dos Números. A abordagem dada à resolução dos sistemas de equações permite a observação e generalização de regularidades, ao apresentar uma tabela para descobrir os possíveis valores que satisfazem as equações do sistema, Além disso, os coeficientes e os números a serem multiplicados pelas equações são todos números inteiros; a representação gráfica dos sistemas é, primeiramente, apresentada com coordenadas inteiras positivas, para só assim ser apresentada a reta real, representando todas as
soluções do sistema. Vale ressaltar que este é o primeiro momento, na análise dos Cadernos do Professor que há referência ao conjunto dos números reais.
No trabalho com problemas traduzidos por apenas uma equação e duas incógnitas, há o trabalho explícito com a Teoria Elementar dos Números, mais especificamente, a questão da divisibilidade, uma vez que as “equações diofantinas lineares" estão definidas por Resende (2007). Assim, para a resolução das atividades são utilizados o algoritmo da divisão, o máximo divisor comum, o algoritmo de Euclides e o Teorema Fundamental da Aritmética.
Na análise do Caderno do Professor do 4º Bimestre, observei a utilização implícita da questão da divisibilidade e da Teoria Elementar dos Números nas atividades, ainda que o foco principal tenha sido os teoremas de Tales e de Pitágoras, temas pertinentes à Geometria. Foram utilizados, de forma implícita, conhecimentos sobre os múltiplos e divisores, os números primos e a observação e generalização de padrões. Creio que a escolha em utilização da história da Matemática para a abordagem no desenvolvimento das atividades, pode propiciar a utilização dos tópicos citados, visto que estas atividades propunham questionamentos enfrentados na época em que estes teoremas foram demonstrados.
4.3. Os Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série de 2009
Nas análises dos Cadernos referentes ao ano de 2009, procurei alterações que eventualmente possam ter acontecido em relação ao ano anterior, uma vez que o material enviado foi reformulado e reenviado. Desta forma, busquei a abordagem dada a temas da Teoria Elementar dos Números e, de forma específica, a questão da divisibilidade presentes nas mudanças ocorridas.
Pela análise nos Cadernos do Professor do 1º bimestre, observei o aumento de atividades relativas ao tema proposto, isto é, Números Racionais. Nestas atividades, pude perceber referências implícitas à questão da divisibilidade, na utilização da ideia de mínimo múltiplo comum nas operações com racionais. Na obtenção de dízimas periódicas, houve também o trabalho com a observação e
generalização de padrões, tópico considerado importante na Teoria Elementar dos Números.
No Caderno do Professor referente ao 2º bimestre, percebi um aprofundamento nas questões que se referem às expressões algébricas que descrevem a área de figuras que não representam produtos notáveis e nas fatorações de expressões algébricas. Neste aprofundamento, notei o trabalho implícito com ideias sobre a distributiva da multiplicação em relação à adição, propriedade dos números inteiros, a decomposição em fatores primos e os critérios de divisibilidade, na investigação de fatores que representam um número dado.
Um tópico totalmente acrescido neste Caderno do Professor refere-se ao estudo de outras potências relativas ao binômio (a + b)n. Ainda que possa parecer inapropriada a abordagem deste tema nesta série, acredito ter sido interessante sua apresentação para a observação e generalização de regularidades e propriedades existentes nos binômios.
Vale ressaltar o fato deste Caderno do Professor conter mais páginas que o do ano anterior, além de sua apresentação estética ser bastante colorida e mais agradável.
Nos Cadernos do Professor dos dois últimos bimestres da 7ª série de 2009, não houve nenhuma alteração em sua abordagem.
De forma geral, a questão da divisibilidade foi explorada explícita ou implicitamente nos Cadernos do Professor de 2008 e 2009, utilizando todos os conceitos definidos por Resende (2007): o algoritmo da divisão, o máximo divisor comum, o mínimo múltiplo comum, o algoritmo de Euclides, os números primos, os critérios de divisibilidade e o Teorema Fundamental da Aritmética os assuntos da Teoria Elementar dos Números. Sobre outros temas da Teoria Elementar dos Números foram encontradas as representações dos números Inteiros, suas operações, algoritmos e propriedades, potências e suas propriedades, a congruência módulo m e as equações diofantinas lineares.
Desta forma, concluo que nos Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série de 2008 e 2009, a Teoria Elementar dos Números e, especificamente a divisibilidade é abordada de forma a auxiliar a transição entre o discreto e o contínuo. É utilizada como suporte aos novos conceitos a serem aprendidos, não
sendo totalmente abandonada pelo início do estudo das variáveis, propriamente dias.
Destaco ainda, algumas abordagens inovadoras que se apresentaram nestes Cadernos, como a organização dos números racionais por meio das classes de equivalência, a intensa utilização da observação e generalização de regularidades para descrever os fenômenos em figuras e tabelas, a proposta de iniciação ao Binômio de Newton e a solução de equações diofantinas lineares utilizando resultados da Teoria Elementar dos Números. Estas novas abordagens evidenciam uma aproximação maior dos resultados de pesquisa em Educação Matemática e nos conteúdos trabalhados em sala de aula.
Finalizo este trabalho levantando algumas questões, que surgiram durante o desenvolvimento desta pesquisa.
• Como os professores da 7ª série trabalham a questão da divisibilidade e outros temas da Teoria Elementar dos Números presentes nos Cadernos do Professor?
• De que forma são percebidos os materiais enviados pela SEE/SP pelos professores e alunos?
• Os professores percebem o caráter implícito da Teoria Elementar dos Números existente nos Cadernos do Professor? E se há esta percepção, como estes tópicos são explorados?
• A questão da divisibilidade tem permeado todo o percurso escolar de um indivíduo?
Enfim, as questões são diversas. Isto demonstra a necessidade premente de investigação deste tema.
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__________. Secretaria de Estado da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 7ª série do Ensino Fundamental. 1º bimestre de 2008. São Paulo: SEE, 2008a.
__________. Secretaria de Estado da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 7ª série do Ensino Fundamental. 2º bimestre de 2008. São Paulo: SEE, 2008b.
__________. Secretaria de Estado da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 7ª série do Ensino Fundamental. 3º bimestre de 2008. São Paulo: SEE, 2008c.
__________. Secretaria de Estado da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 7ª série do Ensino Fundamental. 4º bimestre de 2008. São Paulo: SEE, 2008d.
__________. Secretaria de Estado da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 7ª série do Ensino Fundamental. 1º bimestre de 2009. São Paulo: SEE, 2009.
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1. Ficha do Caderno do 1° Bimestre
2. Ficha do Caderno do 2º Bimestre
3. Ficha do Caderno do 3º Bimestre
4. Ficha do Caderno do 4º Bimestre
5. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental II – 1º Bimestre de 2008
6. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental II – 2º Bimestre de 2008
7. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental II – 3º Bimestre de 2008
8. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental II – 4º Bimestre de 2008
9. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental II – 1º Bimestre de 2009
10. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental II – 2º Bimestre de 2009