Arkeologiske strukturer

Seguindo nosso breve estudo sobre as raízes filosóficas da Matemática presentes no Currículo, analisaremos uma segunda vertente, muito presente até os dias atuais, no pensamento e na ação de professores e elaboradores de currículos: o Formalismo.

Podemos iniciar nossa breve história sobre essa escola filosófica analisando o trabalho marcante de dois grandes matemáticos que revolucionaram o pensamento geométrico no início do século XIX: o russo Nikolai Ivanovich Lobachewsky (1793 – 1856) e o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866). A grande contribuição destes eminentes cientistas relaciona-se a uma das grandes características dos filósofos gregos: a tentativa de formalizar a Matemática existente na época (ainda que o próprio termo Matemática não existisse na época, mas não entraremos neste mérito) e o rigor com que tratavam este assunto. Um dos célebres gregos que se ocupou desta questão foi Euclides (360 a.C. – 295 a.C.) através de sua conhecidíssima obra intitulada “Os Elementos”. Como sabemos, qualquer sistema formal não é totalmente justificável, ou seja, devemos partir de premissas consideradas verdadeiras a

priori, portanto não sendo necessária sua demonstração. A partir destes axiomas

ou postulados toda uma nova teoria pode ser construída demonstrando-se proposições a partir de um certo número de afirmações primitivas. Estas afirmações demonstradas a partir de verdades absolutas e “indemonstráveis” chamamos de teoremas. Ocorre que Euclides enuncia um teorema que foi alvo de inúmeros estudos e representou um grande obstáculo aos seus sucessores, por mais de dois milênios: “Se uma reta t corta duas outras r e s (todas num mesmo plano) de modo que um dos pares dos ângulos colaterais internos tem soma inferior a dois ângulos retos, então as retas r e s, quando prolongadas suficientemente, se cortam do lado de t em que se encontram os referidos ângulos colaterais internos”. Um outro enunciado deste mesmo teorema, muito mais fácil de compreender, foi proferido pelo matemático escocês John Playfair (1748 – 1819): “Por um ponto fora de uma reta não se pode traçar mais que uma reta paralela à reta dada”. No entanto, a questão importante para nós não é compreender, muito menos demonstrar este teorema, até porque é impossível demonstrá-lo! É aí que reside o grande enigma que intrigou várias gerações de interessados na resolução desta chave para compreensão da Geometria.

Finalmente na primeira metade do século XIX, Lobachewsky e Riemann demonstram que o Teorema de Euclides, na verdade, é um axioma, ou seja, toda a Geometria Euclidiana é construída admitindo-se que esta proposição seja verdadeira e mais, é possível demonstrar a impossibilidade de demonstrá-la. Desta maneira, sabidamente este antigo “teorema” passa para a história como o Quinto Postulado de Euclides.

O final do século XIX e o início do século XX caracterizou-se por um período de intensa atividade de uma Matemática “profissional”, ou seja, a existência de uma área bem delimitada e caracterizada pela existência de encontros e publicações que, como sabemos hoje, identificam ações representativas de um campo de conhecimento científico.

Dentre estas ações, destacamos a realização, em 1900, do segundo congresso internacional de Matemática, em Paris. Bem diferente da primeira versão, este congresso entra para a história com a conferência de abertura, realizada por David Hilbert. Ele lista vinte e três problemas que orientaram os trabalhos de grandes pesquisadores matemáticos do século que se iniciava.

Estas implicações também influenciam o mundo da Matemática, bem como seu ensino, já que após os grandes acontecimentos científicos ocorridos, o ensino dela era sinônimo de avanço tecnológico e certeza de bons resultados econômicos e políticos. Surge a Educação Matemática como disciplina, apoiada em iniciativas como: a fundação, em Genebra, da revista L’enseignement

mathématique, dirigida por Henry Fehr e Charles-Ange Laisant, cuja primeira

publicação ocorre em 1900; a edição do livro “Matemática elementar de um ponto de vista avançado”, por Felix Klein (1849-1925) e a fundação, em Roma, da Comissão Internacional de Instrução Matemática (IMUK/ICMI), sob liderança de Felix Klein, durante o Congresso Internacional de Matemáticos, entre outros.

A partir da consolidação da Educação Matemática como campo de pesquisa e ensino, em contrapartida com a preocupação com o formalismo matemático existente no início do século XX, começam a surgir os primeiros conflitos sobre como ensinar esta Ciência. John Dewey (1859-1952) faz críticas ao formalismo existente no ensino. John Perry, na Reunião da British Association (Glasgow), em 1901, já aponta para o fato de não podermos “excluir” matematicamente alguns alunos em prol de outros talentosos. Grace C. Young (1868-1944) e William H. Young (1879-1932), escrevem sobre a importância do concreto, e na utilização de matérias manipuláveis no ensino de Matemática, principalmente Geometria. Eliakim H. Moore (1862-1932) revela a importância da interdisciplinaridade, propondo o ensino de Matemática e Física, integrados em Laboratório. Felix Klein (1849-1925) comenta a importância da relação professor- aluno no ensino de Matemática e o fundamental papel da intuição, das conjecturas, das hipóteses, para estimular o interesse dos alunos. Verificamos, portanto, que estas questões e discussões são extremamente atuais!

Este estruturalismo marca uma nova forma de descrever a Matemática como uma Ciência em busca de uma maior integração. Os vinte e três problemas, enunciados por Hilbert, no início do século XX, orientaram o caminho por onde as pesquisas seguiriam durante todo aquele século. As representações ganharam força e a visualização foi deixada de lado, pois a Matemática atinge um ponto onde nem tudo pode ser representado visualmente. A dimensão infinita, os espaços abstratos, a Topologia, são exemplos de campos, dentro da própria Matemática, desenvolvidos naquele tempo.

A busca pela aceitação destas ideias estruturalistas da Matemática inspira alguns matemáticos franceses a criarem, em 1934, o grupo Nicolas Bourbaki, publicando uma série de fascículos intitulados “Élements de mathématiques”, publicação interrompida pela Segunda Guerra Mundial, porém prosseguida após o término da mesma. Essa tentativa de estruturar o ensino de Matemática sustentada, em boa parte, pela Teoria dos Conjuntos, influencia o movimento internacionalmente conhecido como M.M.M. (Movimento Matemática Moderna), e torna-se um exemplo clássico da materialização das ideias formalistas aplicadas ao ensino, que repercutiram durante muitos anos, inclusive no Brasil.

Antes mesmo de sua marcante participação no Segundo Congresso Internacional de Matemática, Hilbert, crendo na possibilidade de estruturação total da Matemática, englobando Análise, Álgebra e Geometria em poucos axiomas que, no seu entender, facilitariam e descreveriam tudo o que a humanidade já havia produzido nesta área, tentou fazê-lo na obra “Fundamentos da Geometria16”, publicada em 1899, onde ele definiu conceitos primitivos (ponto, reta e plano) e formulou 20 axiomas.

Posteriormente, Hilbert provou que os seus axiomas de Geometria seriam consistentes se a Aritmética fosse consistente. Consistente significa a possibilidade de demonstrar qualquer proposição matemática a partir de alguns axiomas existentes. Ocorre que, em 1931, Kurt Gödel provou que em qualquer sistema formal da Aritmética há sempre proposições cuja veracidade ou falsidade não podem ser provadas a partir dos axiomas do sistema. Este resultado não só frustrou o sonho de Hilbert, como também representou uma verdadeira apunhalada nas ideias formalistas. Mais adiante, entraremos em maiores detalhes sobre as consequências do trabalho de Gödel para a Matemática, para a Filosofia e para a Educação Matemática.

Sintetizando, podemos afirmar que os formalistas procuravam esvaziar o discurso matemático de qualquer referência, significado ou verdade, reduzindo-o a um discurso vazio em que “não sabemos do que estamos falando nem se aquilo que falamos é verdade”, como escreve Russell. Segundo Silva (1999) “os formalistas têm muitas dificuldades em explicar como, sendo a Matemática o que eles creem ser, ela pode ter qualquer utilidade na nossa descrição de um mundo

objetivo, como parece ser o caso nas aplicações da Matemática às Ciências empíricas e à nossa vida quotidiana” (p. 49).

As repercussões desta escola para a Educação Matemática, para a prática pedagógica dos professores em sala de aula e, principalmente, para a elaboração de Currículos de Matemática foram inevitáveis e marcantes. Ao nosso ver, a ideia de conceber a Matemática como uma linguagem estruturada e ensiná-la desde os primeiros anos da educação formal da criança não é ruim. Aliás, já dissemos nesta pesquisa que abordar a Matemática como impregnada à Língua Materna, como nos mostra Machado (2001a), é algo mais natural do que imaginamos. O problema é compreender a própria Matemática dentro das diversas perspectivas filosóficas que se contrapõem. Afinal de contas, esbarramos na questão filosófica atual que intrigou, sendo inclusive título de um livro dos grandes matemáticos Richard Courant e Herbert Robbins (2000) e intriga vários especialistas, sendo também mencionada por Silva (1999): “O que é isto, a Matemática?”.

Como já vimos, o próprio Movimento Matemática Moderna representou claramente as aspirações dos formalistas, porém teve como consequencia um fracasso retumbante, entre outros motivos, pela inexpressiva repercussão que encontrou junto aos professores. Cabe-nos, portanto, encontrar uma alternativa factível, real e concreta, não do ponto de vista matemático, mas no sentido de ser possível realizá-la. Já que este movimento infecundo pode ser amplamente estudado no presente, cabe-nos aprender com o passado para não incorrer nos mesmos erros.

Será que existem professores, elaboradores de Currículos e matemáticos formalistas até os dias atuais? Achamos que a resposta evidente é sim, e não precisamos de pesquisa para comprovar isto. Ao constatarmos discursos tidos como senso comum, como os relacionados por Machado (2001a): “A Matemática é exata”, “a Matemática é abstrata”, “a capacidade para a Matemática é inata”, “a Matemática justifica-se pelas aplicações práticas” e “a Matemática desenvolve o raciocínio”, percebemos que a ideia formalista está presente em algumas destas afirmativas e também na concepção linear de currículo.