das as hipóteses a reconstrução do estado originalmente teleportado conforme mostrado pela Tabela 2.1.
Usando a discussão apresentada anteriormente tem-se que todas as propriedades associadas à partícula alvo da teleportação sobre o domínio de Alice são integralmente transmi- tidas à partícula integrante do par EPR que se encontra na posse de Bob. Nenhum mecanismo será capaz de identificar que a partícula de Bob foi alvo de uma teleportação, ela apresentará a mesma estatística de medidas e as mesmas correlações que a original, ou seja, caso a original se encontrasse entrelaçada com outros sistemas físicos a resultante da teleportação também estará de forma idêntica.
2.3
Teleportação de portas quânticas sobre qubits
No ano de 1999 Gottesman e Chuang apresentaram um importante trabalho [1] no qual apontavam duas interessantes aplicações para a teleportação: sua contribuição na constru- ção de portas quânticas tolerantes a falhas e sua utilização como uma primitiva computacional. A implementação de computadores quânticos tem como uma das barreiras fundamentais as im- perfeições das diversas propostas de realizações práticas [43], portanto técnicas e protocolos no sentido da implementação de operações tolerantes a falhas será fundamental, e muito tem sido feito nesse sentido [44–46]. Na outra direção, a de maior interesse para este trabalho, eles mostram que um computador quântico pode ser construído usando apenas operações quânticas sobre um qubit, medidas na base de Bell e estados GHZ [47]. No centro da proposição feita por eles está a medição sobre estados entrelaçados. Sabe-se que a medição pode ser consi- derada uma interface entre os mundos quântico e clássico, sendo considerada uma operação irreversível uma vez que destrói a informação quântica substituindo-a por informação clássica. Contudo eles argumentam que, encarando o processo sob o ponto de vista lógico, essa destrui- ção não necessariamente ocorre em alguns casos, como principal exemplo disso citam a própria teleportação.
Nas seções seguintes será revisitado o procedimento utilizado por Gottesman e Chuang para fornecer uma espécie de generalização do processo de teleportação no qual o objetivo não é mais reconstruir no destino o estado inicial, mas sim o correspondente à ação de uma dada porta quântica atuando sobre este estado.
2.3.1 Teleportação da porta CNOT
O processo é exemplificado através da teleportação da porta CNOT , cujo circuito quântico correspondente é mostrado na Figura 2.2, sendo |outi = CNOT |βi |αi e porta B representa uma medição na base de Bell cujo circuito pode ser visto na Figura2.3. Uma análise cuidadosa do processo mostrará que se trata de uma idéia simples e similar à teleportação original, contudo traz consequências úteis e interessantes.
2.3. TELEPORTAÇÃO DE PORTAS QUÂNTICAS SOBRE QUBITS 14
Figura 2.2: Circuito quântico para teleportar a porta CNOT tal qual originalmente proposto em [1].
Figura 2.3: Circuito quântico que representa uma medição na base de Bell para dois qubits.
• H
O estado |χi que aparece no circuito é considerado o recurso físico que habilita o processo de teleportação da porta CNOT , ele é representado pela Equação (2.8) e dois circuitos quânticos para gerá-lo são apresentados na Figura2.4, em que |ψi = (|00i + |11i)/√2 e |γi = (|000i + |111i)/√2. O lado esquerdo da imagem apresenta a criação de |χi a partir de dois pares EPR, enquanto do lado direito tem-se a criação a partir de dois estados GHZ de três partículas.
|χi = (|00i + |11i) |00i + (|01i + |10i) |11i2 . (2.8)
Um ponto essencial da proposta é perceber que uma conjugação por CNOT pre- serva o grupo de Pauli, ou seja, algumas operações de Pauli sobre um qubit ocorridas antes de uma CNOT será igual à outras operações de Pauli após uma CNOT . Ao conjunto de portas que apresentam essa propriedade dá-se o nome de grupo de Clifford [48], para qualquer uma dessas portas o procedimento aqui descrito será completado com sucesso. O grupo de Clifford
C2 operando sobre 2 qubits é dado por:
P1 = {±I, ±iI, ±X, ±iX, ±Y, ±iY ± Z, ±iZ} , (2.9)
P2 = P1⊗2, (2.10) C2 = n U ∈ U(4) | σ ∈ P2 ⇒ UσU†∈ P2 o . (2.11)
2.3. TELEPORTAÇÃO DE PORTAS QUÂNTICAS SOBRE QUBITS 15
Figura 2.4: Duas opções de circuitos quânticos para a criação do estado |χi, Equação (2.8), tal qual originalmente proposto em [1].
Um exemplo da preservação do grupo de Pauli pela CNOT é
CN OT (I ⊗ Z)CNOT†= (Z ⊗ Z). (2.12)
Mesmo já mencionada a questão de que o procedimento será completado com sucesso para toda porta pertencente ao grupo de Clifford, Gottesman e Chuang indicam que a teleportação da CNOT põe a teleportação como uma primitiva computacional, visto que a CNOT mais portas de um qubit formam um conjunto universal [49]. A despeito de tudo já colocado até então neste capítulo a mais relevante contribuição do trabalho deles está na possibilidade de se realizar computação quântica usando apenas portas de um qubit, medidas na base de Bell e estados GHZ3.
A fim de checar a proposta de Gottesman-Chuang foi realizada uma execução do circuito quântico apresentado na Figura 2.2. A Tabela 2.2 apresenta os resultados. Nela é possível ver o estado final do sistema associado a cada possibilidade de medição clássica e a correção associada. Para o estado geral de dois qubits |ψi = v0|00i + v1|01i + v2|10i + v3|11i tem-se que CNOT⊥|ψi = v
0|00i + v3|01i + v2|10i + v1|11i4, justo o estado final associado ao resultado 0000 da medição.
Tabela 2.2: Estado resultante da teleportação da porta CNOT operando sobre um estado arbitrário de dois qubits em conjunto com a correção para cada medição clássica.
Medição Resultado Correção
0000 v0 |00i + v3 |01i + v2 |10i + v1 |11i (I ⊗ I) Continua na próxima página...
3Uma importante questão apontada pelo trabalho é a possibilidade de realizar a CNOT apenas com portas
de um qubit, desde que se disponha de estados GHZ.
4Na notação utilizada CNOT⊥representa uma CNOT tradicional mas agindo no primeiro qubit e sendo
2.3. TELEPORTAÇÃO DE PORTAS QUÂNTICAS SOBRE QUBITS 16
Tabela 2.2 – continuação da página anterior.
Medição Resultado Correção
0001 v0 |00i − v3 |01i + v2 |10i − v1 |11i (I ⊗ Z) 0010 v1 |00i + v2 |01i + v3 |10i + v0 |11i (X ⊗ X) 0011 −v1 |00i + v2 |01i − v3 |10i + v0 |11i (I ⊗ Z)(X ⊗ X) 0100 v2 |00i + v1 |01i + v0 |10i + v3 |11i (X ⊗ I) 0101 v2 |00i − v1 |01i + v0 |10i − v3 |11i (X ⊗ Z) 0110 v3 |00i + v0 |01i + v1 |10i + v2 |11i (I ⊗ X) 0111 −v3 |00i + v0 |01i − v1 |10i + v2 |11i (I ⊗ ZX) 1000 v0 |00i − v3 |01i − v2 |10i + v1 |11i (Z ⊗ Z) 1001 v0 |00i + v3 |01i − v2 |10i − v1 |11i (Z ⊗ I) 1010 v1 |00i − v2 |01i − v3 |10i + v0 |11i (Z ⊗ Z)(X ⊗ X) 1011 −v1 |00i − v2 |01i + v3 |10i + v0 |11i (Z ⊗ I)(X ⊗ X) 1100 −v2 |00i + v1 |01i + v0 |10i − v3 |11i (Z ⊗ Z)(X ⊗ I) 1101 −v2 |00i − v1 |01i + v0 |10i + v3 |11i (ZX ⊗ I) 1110 −v3 |00i + v0 |01i + v1 |10i − v2 |11i (Z ⊗ Z)(I ⊗ X) 1111 v3 |00i + v0 |01i − v1 |10i − v2 |11i (Z ⊗ X)
2.3.2 Geração do estado chave da teleportação para outras portas ∈ C2
É possível estabelecer o procedimento básico para a geração de estados chaves que servem como recurso no processo de teleportação de outras portas quânticas ∈ C2. Basta para tanto colocar a porta de dois qubits desejada para atuar nos qubits centrais de dois pares EPR, tal qual mostrado pela Figura2.5. A Tabela2.3exibe alguns exemplos de estados chaves associados à porta cuja a ação eles são capazes de teleportar. É omitido na referida tabela o fator 1/2 na coluna que apresenta o estado chave, além disso as portas CNOT e SWAP serão representadas, respectivamente, pelos símbolos CN e SW. Ainda, CNOT⊥ representará uma CN OT controlada pelo segundo qubit.
Figura 2.5: Circuito quântico para a criação de estado chave utilizada no processo de telepor- tação de uma dada porta U.