Applicable law

Nesta seção apresentam-se as principais dificuldades que os alunos manifestaram, associadas à compreensão do conceito de limite e que foram identificadas na análise dos dados: dificuldade em determinar a existência do limite, dificuldade em reconhecer a unicidade do limite de uma função, dificuldades associadas aos cálculos algébricos, e dificuldades em identificar as variáveis de uma situação.

Na resolução das tarefas, os alunos evidenciam ter dificuldade em determinar a existência do limite de uma função quando 𝑥 tende para um ponto. Um dos erros que revela estas dificuldades é o facto dos alunos afirmarem que o limite de uma função num ponto existe só se a função está definida nesse ponto, podendo-se interpretar que esta dificuldade está associada ao significado que os alunos atribuem ao limite como a imagem da função. Isto é posto em evidência na questão 1.1 da Tarefa 1 de diagnóstico, na resposta de um aluno sobre o lim

𝑥→−2𝑓(𝑥) indicando que “não está definido”, tendo em conta que −2 não

pertence ao domínio da função, Semelhantemente, este argumento foi usado por outros alunos para responder à questão 3.2 da Tarefa 3 de diagnóstico (Figura 4.18).

Figura 4.18 T3_Q3.2_FD: exemplo de resolução

Também, na questão 4.2 da Tarefa 4 de consolidação, os dados revelam que os alunos cometeram erros na representação do gráfico de uma função que garantisse a existência de um limite quando a abscisa não pertence ao domínio da função, ou seja, quando o ponto não está definido mas o limite existe (Figura 4.19).

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Figura 4.19 T4_Q4.2_FC: exemplo de resolução

De forma mais explícita, esta dificuldade identifica-se também na questão 1.3 da Tarefa 1 de diagnóstico – Que condições são necessárias para garantir a existência do limite de uma função num ponto? – na qual alguns dos alunos responderam que:

A1: É necessário que a função exista nesse ponto.

A2: Esse número tem que pertencer ao domínio da função.

A3: O 𝑥 tem de pertencer ao domínio da função.

(Extrato de respostas, T1_ Q1.3_FD) Além destas conceções erróneas sobre a existência do limite de uma função num ponto, alguns alunos também consideram que a existência de limite depende da continuidade da função no ponto em questão.

A1: A função tem de ser contínua.

A2: Não existir continuidade nesse ponto.

A3: Não haver uma continuidade a partir desse ponto ao estudar a função.

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Os dados da entrevista realizada ao Tiago evidencia que esta dificuldade se manteve nalguns alunos, após o final da unidade de ensino.

Investigador: Que condições são necessárias para garantir a existência de

limite de uma função num ponto?

Tiago: O ponto tem que pertencer ao domínio.

Investigador: Quais das seguintes funções tem limite no ponto a? Em caso de existir indica o valor do limite e em caso de não existir indica porque não existe.

Tiago: Nesta, (na função 𝑗) não há limite.

Investigador: Porque não há limite no ponto a?

Tiago: Porque a função não é contínua nesse ponto.

(Extrato de episódio da Entrevista ao Tiago) Por outro lado, a conceção do limite como processo de aproximação lateral, levou aos alunos a ter dificuldade em reconhecer a unicidade do limite de uma função num ponto, já que em vários os casos quando foi solicitado o valor do limite num ponto quando os limites laterais eram diferentes vários dos alunos inclinaram-se por responder os dois comportamentos da função correspondentes aos limites laterais, pela esquerda e pela direita, do objeto em questão. Por exemplo, na questão 1.1 da Tarefa 1 de diagnóstico, 18% dos alunos respondeu que o lim

𝑥→1𝑓(𝑥) é igual a 2 e +∞, na Figura 4.20 apresentam-se a

respostas que deram três alunos. Enquanto nas questões 3.4, 3.5 e 3.6 da Tarefa 3 de diagnóstico, mais de 35% dos alunos responderam determinando os dois limites laterais no ponto em questão, a Sara foi uma destes alunos e a sua solução apresenta-se na Figura 4.21.

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Figura 4.21 T3_FD: Sara

Na resolução deste conjunto de tarefas os alunos manifestaram diversas dificuldades associadas à utilização de procedimentos algébricos para calcular limites. Os alunos cometem erros na simplificação de expressões algébricas ou nas estratégias para levantar a indeterminação de um limite, como os exemplos apresentados na Figura 4.22, respeitantes aos erros no cálculo de limites na resolução da Tarefa 3 e da Tarefa 6 de consolidação. Por exemplo, na primeira resolução (Tarefa 3) o aluno esqueceu-se de manter o −2 na expresão do numerador, o que o levou a calcular mal o limite. Na segunda resolução (Tarefa 6) o aluno aplicou uma estratégia que não era a adequada para levantar a indeterminação do limite, optando pela estratégia de pôr em evidência o 𝑥, mas com isto não teve sucesso a determinar o limite, deixando incompleta a sua resolução.

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Finalmente, na Tarefa 5 de consolidação, alguns alunos interpretaram incorretamente o valor do limite calculado indicando, tal como o Tiago, que “o número de horas até que existem microrganismos a reproduzirem-se é 100”. Isto evidencia que o aluno tem dificuldade em identificar as variáveis de uma situação e a sua relação na formulação e no cálculo de um limite, levando ao aluno a fazer uma interpretação errada do resultado de acordo com o contexto da situação.

Em resumo, na Figura 4.23 apresentam-se as dificuldades de aprendizagem que manifestaram os alunos neste estudo. Principalmente os alunos evidenciaram ter dificuldades conceituais na compreensão da definição do conceito de limite, nomeadamente, dificuldade em determinar a existência e em reconhecer a unicidade do limite de uma função. E também mostraram ter dificuldades procedimentais associadas à identificação das variáveis de uma situação e aos cálculos algébricos envolvidos na formulação e na determinação do valor do limite.

Figura 4.23 Dificuldades de aprendizagem associadas à compreensão do conceito de limite de

uma função