Existem duas famílias de fractais geradas por processos algébricos, a primeira delas é gerada a partir de conjuntos de números complexos que são plotados no sistema cartesiano convencional. De forma simples, este processo utiliza a representação gráfica tradicional de números complexos, ou seja, decompondo-os em sua parte real e imaginária, sendo a parte real plotada no eixo das abscissas e a parte imaginária no eixo das ordenadas. Os fractais gerados através desse processo baseiam-se nas técnicas de construção do “Conjunto de Mandelbrot” e dos “Conjuntos de Julia”, idealizados por Benoit Mandelbrot em meados de 1979, porém, o processo não é tão simples como se poderia imaginar e para entendermos como tais figuras são geradas teremos que ir um pouco mais fundo em algumas novas concepções matemáticas acerca da construção de seqüências de números complexos.
A segunda família de fractais que iremos estudar baseia-se em seqüências de números reais determinados por sistemas de funções no
R
2, que geram paresordenados também plotados no sistema cartesiano convencional. A técnica que produz esta família de fractais ficou popularmente conhecida por “Jogo do Caos” e foi idealizada por Michael Barnsley.
1.3.1 Enfoque Matemático e Sistemas Dinâmicos Não-Lineares
Antes de uma análise dos fractais algébricos, temos que tecer algumas considerações importantes sobre o enfoque matemático que é dado para a construção desses fractais. De fato, a idéia de “enfoque matemático” é bastante adequada neste caso pois, de fato, a geometria fractal não cria uma nova teoria ou sistema de axiomas matemáticos, ela simplesmente se utiliza de diversas ferramentas clássicas da álgebra nas suas construções, de uma forma tão simples que praticamente poderia ser acessível a um aluno do ensino médio. Porém, o que torna a geometria fractal tão complexa e inovadora é exatamente a
maneira como essas ferramentas simples são utilizadas e é neste novo enfoque que estamos interessados.
Na construção dos fractais algébricos, utilizam-se essencialmente seqüências numéricas, tanto reais como complexas, sistemas de funções e representação gráfica de pontos no sistema cartesiano. Porém, esses elementos são utilizados de forma bem diferente, baseando as construções em novas ferramentas que permitem a utilização de cálculos matemáticos e representações gráficas em ambientes informáticos, e importando da Teoria do Caos concepções acerca do comportamento de sistemas dinâmicos não-lineares.
Quando nos referimos a sistemas dinâmicos não-lineares, somos remetidos imediatamente ao estudo do comportamento de funções matemáticas e seqüências numéricas porém, com uma diferença essencial. Quando lidamos com funções matemáticas tradicionais, nos acostumamos e somos induzidos a esperar um certo grau de previsibilidade nos resultados, ou seja, para quaisquer “leis de formação” de uma função, esperamos sempre um de três resultados possíveis :
- a função tende a um valor fixo;
- a função tende ao infinito (+∝ ou –∝);
- a função assume um ciclo periódico de valores repetitivos.
Ou seja, em todos os casos, esperamos que a função atinja, após certo número de iterações, um estado de equilíbrio estável e perfeitamente previsível. Com isso, enfoque cartesiano tradicional, no qual transformamos funções em curvas, supõe a “resolução” de funções a partir de um conjunto de valores que a satisfaçam, fazendo com que as soluções de uma dada função resultem em uma forma geométrica, descrita estaticamente no plano cartesiano a partir dos pontos que a satisfazem. Assim, uma função de comportamento constante tende sempre a um valor fixo, funções lineares ou polinomiais, via de regra, rumam ao infinito e várias funções trigonométricas e circulares assumem ciclos periódicos de valores repetitivos.
Entende-se por comportamento estático essa “postura” de “resolução” de funções, ou seja, uma função “descreve” um comportamento previsível, com o qual nos acostumamos a lidar, mesmo quando estudamos funções bem mais complicadas. Dessa forma, quando passamos a estudar seqüências numéricas, também nos condicionamos a esperar o mesmo comportamento, ou seja,
seqüências que “convergem” ou “não convergem”, porém são previsíveis nesse comportamento e, para uma mesma “lei de formação”, teremos, em geral, somente um desses dois resultados possíveis.
Porém, quando lidamos com sistemas dinâmicos não-lineares, alguns novos e intrigantes resultados irão vir à tona e abrirão possibilidades para um imenso campo novo de estudos – temos o Caos. De forma muito simples, o estudo de sistemas dinâmicos partiu de uma nova postura na análise de funções matemáticas, as funções não são mais “resolvidas”, mas “repetidas” num loop de retroalimentação. Assim, a função “se torna um processo em lugar de uma descrição, dinâmica em lugar de estática” (Gleick, 1990, p. 219), onde cada número analisado gera um novo número que será novamente analisado, gerando um novo número, e assim sucessivamente. As formas geométricas resultantes de uma função são definidas plotando-se pontos que produzem um determinado comportamento e não mais quando “satisfazem” a função. Assim, um comportamento pode ser um regime constante, ou uma convergência para uma repetição periódica de valores, ou uma tendência para o infinito (ibid.)
O que se observou com essa nova postura de análise criada com os sistemas dinâmicos é que, além dos comportamentos que estamos habituados a lidar, surgem também comportamentos caóticos, ou seja, as seqüências fornecem resultados novos e imprevisíveis, sem se repetir e sem nunca atingir um estado de equilíbrio, vagando caoticamente em uma órbita de valores que nunca se repetem nem tendem ao infinito. Este novo regime de comportamento foi a principal mola propulsora para a construção da Teoria do Caos e, segundo seus idealizadores, esse comportamento dinâmico e imprevisível é muito mais “regra” do que exceção na Matemática, aparecendo em funções definidas por leis extremamente simples. Além disso, como veremos a seguir, uma mesma função pode conter regimes de comportamento completamente diferentes quando “alimentada” com números distintos.