De acordo com o NCTM, na sua explicitação das Normas para os Números e as Operações, todos os alunos, do pré-escolar ao 12.º ano (K-12), devem compreender o significado das operações e o modo como estas se relacionam entre si, calcular fluentemente e fazer estimativas plausíveis (NCTM, 2007). No que diz respeito, em particular, à operação multiplicação de números naturais, o NCTM preconiza para os três primeiros anos (K-2) um trabalho ao nível da sala de aula que promova a compreensão dos alunos sobre as diversas situações associadas à multiplicação, realçando as que correspondem à repetição de grupos iguais (sentido aditivo da multiplicação). Este trabalho deve ser ancorado na exploração de tarefas com contextos diversificados, de modo a contribuir para a compreensão desta operação. Do 3.º ao 5.º ano, o trabalho a realizar com os alunos deve promover a compreensão aprofundada desta operação, alargando progressivamente o universo numérico, utilizando números cada vez maiores bem como números racionais não negativos na sua representação decimal. O desenvolvimento das ideias e procedimentos associados deve permitir aos alunos a compreensão sobre os vários significados da operação (sentidos da multiplicação), a resolução de problemas que envolvam diferentes formas de calcular (usando cálculo exato ou aproximado), adequadas a cada situação, e a fazer estimativas plausíveis (NCTM, 2007).
No mesmo documento curricular (NCTM, 2007), para além dos contextos de multiplicação associados à repetição de grupos iguais, a que é dada ênfase nos três primeiros anos, é sugerida a exploração de outras situações que ampliem o conhecimento sobre esta operação, sendo referidas, explicitamente, as relacionadas com preços, comparações e combinações. O modelo de área e a sua utilização são apontados como uma forma de tornar evidentes para os alunos as propriedades da multiplicação, em particular, a propriedade comutativa e a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração. A relação entre a multiplicação e a divisão deve ser realçada e os procedimentos usados pelos alunos devem ter subjacentes a compreensão e
No âmbito da implementação da Estratégia Nacional da Numeracia vigora, desde 1999, em Inglaterra, The National Curriculum for England. Nele é referido, tal como nas Normas do NCTM, que a compreensão da operação multiplicação, no 1.º nível (1.º e 2.º ano) deve estar associada à adição de parcelas repetidas. Nos anos seguintes (3.º ao 5.º ano – 2.º nível), a compreensão da multiplicação inclui a sua relação com outras operações, a seleção, perante um problema, desta operação para o resolver e, ainda, o estabelecimento de analogias entre problemas cuja resolução pode ser similar (DfEE, 1999).
Tal como os documentos curriculares supramencionados, também o Currículo australiano da responsabilidade da Australian Curriculum, Assessment and Reporting
Authority (ACARA) realça a importância da compreensão da operação multiplicação e
do reconhecimento de situações a ela associadas (ACARA, 2010). Contudo, há a registar algumas diferenças. Enquanto nos currículos anteriores só a partir do 3.º ano são referidas outras situações de multiplicação diferentes das associadas à adição repetida neste, logo no 2.º ano, são mencionados o reconhecimento e a representação desta operação usando também grupos e a disposição retangular. No 3.º e 4.º anos é sugerido o aprofundamento da compreensão da multiplicação associada à resolução de problemas, através da utilização de estratégias eficazes de cálculo mental e escrito, bem como de meios tecnológicos adequados (ACARA, 2010).
As metas a atingir pelos alunos holandeses (5 aos 12 anos), no que respeita à multiplicação, não são muito diferentes do que já foi referido a propósito das orientações curriculares do NCTM e dos currículos de Matemática de Inglaterra e da Austrália. No final do ensino primário, os alunos devem conhecer e ser capazes de utilizar esta operação, tanto ao nível de procedimentos standard como ao nível de procedimentos alternativos. Devem, ainda, ser capazes de realizar tarefas de cálculo mental, de modo eficiente e utilizando o seu conhecimento sobre as várias operações aritméticas (van den Heuvel-Panhuizen, 2008).
No caso português, é importante destacar as semelhanças e diferenças mais relevantes, no que respeita à compreensão da operação multiplicação, entre o atual PMEB (ME, 2007) e o Programa de Matemática do 1.º Ciclo do Ensino Básico
(PM1CEB) (Ministério da Educação. DGEBS, 1990), vigente na altura da recolha de dados da presente investigação.
O PMEB realça como aspetos fundamentais a serem desenvolvidos nos dois primeiros anos do 1.º ciclo, a compreensão da multiplicação no sentido aditivo (tal como o NCTM e o currículo nacional de Inglaterra) e no sentido combinatório. O anterior Programa refere a “descoberta” da multiplicação a partir da adição de parcelas iguais e a determinação de quantidades dispostas de forma retangular. Nos 3.º e 4.º anos, a multiplicação com números naturais era ampliada para números maiores, sendo dada ênfase à procura de estratégias diferentes para efetuar um mesmo cálculo, à valorização do cálculo mental e ao uso do algoritmo (Ministério da Educação. DGEBS, 1990). Nos mesmos anos de escolaridade, no PMEB, o conhecimento da multiplicação, tal como para as restantes operações aritméticas, aparece associado à compreensão dos seus efeitos nos números, à resolução de problemas em contextos diversos e ao uso de estratégias de cálculo mental baseadas nas suas propriedades. Além disso, a sua compreensão está, ainda, associada à resolução de problemas em que se tira partido da sua relação com a operação divisão (ME, 2007).
Associadas ao novo Programa de Matemática do Ensino Básico foram definidas Metas de Aprendizagem, no âmbito do projeto intitulado Estratégia Global de Desenvolvimento do Currículo Nacional (ME, 2010) para todas as áreas disciplinares, ou disciplinas, do Currículo do Ensino Básico. No que respeita às Metas de Aprendizagem de Matemática do 1.º ciclo foi definida uma associada à compreensão das operações com números naturais e racionais não negativos na representação decimal, onde se refere, no que concerne à multiplicação, o saber usá-la nos sentidos aditivo e combinatório, no final de 2.º ano.
Um aspeto relacionado com a aprendizagem da multiplicação e que parece ser consensual, tanto no Programa anterior como no atualmente em vigor em Portugal, é a preocupação de envolver os alunos na resolução de problemas em contextos diversos. No Programa anterior a resolução de problemas é encarada como a atividade central da disciplina de Matemática, sendo considerada um eixo orientador de todo o trabalho a
desenvolver, enquanto no PMEB o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas é um dos objetivos gerais do ensino desta disciplina.
A preocupação de desenvolver a compreensão da multiplicação a partir da resolução de problemas em que esta operação surge em contextos diversificados é patente, não só nos Programas portugueses mas, também, nos documentos curriculares e currículos analisados anteriormente (ACARA, 2010; DfEE, 1999; NCTM, 2007; van den Heuvel-Panhuizen, 2008).
Nos vários currículos e documentos curriculares mencionados regista-se a preocupação dos autores com as diferentes formas de cálculo associadas à multiplicação. No currículo inglês, por exemplo, é referida a importância de, na resolução de problemas os alunos serem capazes de selecionar métodos de cálculo sensíveis e de relacionarem as características de um determinado problema com a escolha da estratégia a utilizar (DfEE, 1999). Por sua vez, no currículo australiano, é realçada a pertinência de desenvolver estratégias eficazes de cálculo mental e escrito, no contexto da resolução de problemas (ACARA, 2010).
No currículo australiano é sempre referido o uso de estratégias eficazes de cálculo mental e escrito, sem haver uma alusão clara à utilização de algum algoritmo, ao contrário do que acontece no currículo inglês, em que existe uma referência explícita a métodos escritos para a “multiplicação longa”, o que sugere o uso de um algoritmo (ACARA, 2010). Por seu lado, no documento curricular holandês, apesar de não se utilizar o termo algoritmo, é mencionado que os alunos, no final do ensino primário (12 anos), devem conhecer e saber usar procedimentos padronizados e alternativos, para além de serem capazes de usar estratégias de cálculo mental, de modo eficaz (van den Heuvel- Panhuizen, 2008).
No documento curricular americano em análise, relativamente ao cálculo associado à multiplicação, é explicitado que os alunos devem desenvolver fluência no cálculo multiplicativo elementar e também ser capazes de selecionar métodos e ferramentas apropriados para calcular com números inteiros, de acordo com o contexto e a natureza do cálculo – cálculo mental, estimação, com calculadora e com papel e lápis.
Em articulação com o desenvolvimento da fluência no cálculo surge o conhecimento da estrutura do sistema de numeração decimal e das propriedades da multiplicação (NCTM, 2007).
Nos Programas de Matemática portugueses aqui analisados, o cálculo desempenha um papel fundamental. No PMEB, é referido que as estratégias de cálculo mental e escrito, associadas à operação multiplicação devem ter como suporte a sua representação horizontal (ME, 2007), ao contrário do que era preconizado no anterior Programa. Aí, os métodos de cálculo sugeridos, logo nos primeiros anos, eram o cálculo mental e o algoritmo tradicional. Era também mencionado o recurso às propriedades da multiplicação, ainda que de modo intuitivo, na utilização de diferentes estratégias de cálculo mas estas não eram explicitadas, de maneira a dar exemplos ao professor para as trabalhar na sala de aula. No Programa anterior português, nos 3.º e 4.º anos, a multiplicação com números naturais era ampliada para números maiores, sendo dada ênfase à procura de estratégias diferentes para efetuar um mesmo cálculo e à valorização do cálculo mental (Ministério da Educação. DGEBS, 1990). Nos mesmos anos de escolaridade, também o PMEB valoriza o cálculo mental e, contrariamente, ao Programa anterior, explicita e concretiza, através de exemplos, o modo como este deve ser trabalhado, baseado nas propriedades da operação.
Associadas ao PMEB, as Metas de Aprendizagem definidas para o final do 4.º ano de escolaridade referem-se ao uso de estratégias de cálculo mental baseadas nas propriedades das operações, bem como à compreensão e realização dos algoritmos respetivos (ME, 2010). Ainda assim, a aprendizagem dos algoritmos e, em particular, do algoritmo da multiplicação é encarada de maneira distinta, quando se compara o PMEB com o anterior Programa. Apesar de se considerar, também, pertinente no Programa atual a aprendizagem do algoritmo convencional, tal como antes, esta é realizada de modo substancialmente diferente. Nos primeiros anos valoriza-se o cálculo numérico de representação horizontal, surgindo o algoritmo convencional mais tarde do que o preconizado no Programa anterior. No PMEB sugere-se a sua aprendizagem depois de os alunos terem usado formas de cálculo informais e de terem construído os “seus próprios
dos algoritmos, havendo lugar para “realizar os algoritmos usuais com alguns passos intermédios” (ME, 2007, p. 14), evoluindo, progressivamente, para a sua representação tradicional, mais simplificada e abstrata. Este caminho de desenvolvimento gradual dos algoritmos corresponde ao que é denominado no Programa por “aprendizagem dos algoritmos com compreensão, valorizando o sentido de número” (p. 14).
A construção e memorização das tabuadas constituem propostas significativamente diferentes nos dois Programas portugueses de Matemática do 1.º ciclo, o anterior e o presente. No Programa anterior do 1.º ciclo sugere-se a construção e memorização das tabuadas por ordem sequencial dos números e com base no sentido aditivo da multiplicação, iniciando o trabalho pela tabuada do número dois e continuando pelas tabuadas dos números três, quatro, cinco, seis e dez, nos dois primeiros anos. Por seu lado, o PMEB defende a sua construção baseada na compreensão sobre a operação e as suas propriedades, propondo inicialmente a construção da tabuada dos números dois, cinco e dez e, a partir daí, construir a do número quatro a partir da tabuada do número dois e a tabuada do número seis após a do número três. Desta forma, o trabalho que é proposto ser desenvolvido baseia-se no estabelecimento de relações entre os vários produtos, dando especial destaque às que envolvem dobros. Assim, recorrendo às propriedades da multiplicação e às relações numéricas, os alunos podem construir e reconstruir quase todas as tabuadas. Um outro aspeto sugerido, também, pelo PMEB, e que constitui uma inovação relativamente ao anterior, é a construção de tabuadas para além do número dez, de modo a proporcionar aos alunos um aprofundamento na compreensão da operação multiplicação e suas propriedades (ME, 2007). Há, inclusivamente, no final do 4.º ano, uma submeta, associada à meta sobre o saber operar com números naturais e racionais não negativos na forma decimal, que explicita a construção das tabuadas dos números 11 e do 12, justificando o processo de construção utilizado (ME, 2010).