Inicialmente, assumimos que a excentricidade do disco pode ser caracterizada por emax = 0, 1. Este valor foi obtido de simula¸c˜oes da auto-excita¸c˜ao do disco no caso em
que este possui ∼ 1.000 objetos do tamanho de Plut˜ao (Levison et al. 2009, 2011). Para este disco, obtivemos que a velocidade m´edia de encontro com o sistema Plut˜ao-Caronte, ponderada pela probabilidade de encontro intr´ınseca p, ´e 0,4 km s−1
.
Com a velocidade de encontro caracter´ıstica acima, a distribui¸c˜ao do tempo de vida das part´ıculas ´e apresentada na Fig. 8 a. Lembrando que aqui o tempo de vida ´e medido a partir da condi¸c˜ao inicial de uma part´ıcula no plano-b at´e o momento que a distˆancia da part´ıcula ao baricentro excede 2RH. Perceba que a distribui¸c˜ao das part´ıculas ´e marcada
por 2 caracter´ısticas diferentes. H´a, inicialmente, uma queda brusca, devido ao fato de que a maioria das part´ıculas tem tempos de vida menores do que 20 anos, seguido por uma “base”, pois poucas part´ıculas possuem tempo de vida mais longo, at´e ∼ 100 anos. As part´ıculas com curto tempo de vida apenas passam, em trajet´orias hiperb´olicas, pelo sistema Plut˜ao-Caronte. A extens˜ao dos tempos de vida at´e ∼ 20 anos ´e devida a diferentes valores das velocidades de entrada dos planetesimais. J´a a “base” ´e devido `as capturas tempor´arias experimentadas pelas part´ıculas. Em suma, mais do que metade das part´ıculas que est˜ao chegando tem tempo de vida menor do que 10 anos. Somente 1 part´ıcula permance ligada gravitacionalmente a Plut˜ao pelo per´ıodo de 120 anos, no en- tanto esta part´ıcula est´a muito distante do corpo central, q (baricˆentrico) alcan¸ca o valor de 600Rp durante sua evolu¸c˜ao orbital. Consideramos que esse resultado n˜ao ´e promissor
a) b)
c) d)
Figura 8: N´umero de part´ıculas que possui um tempo de vida maior do que um dado valor, para diferentes excentricidades assumidas para o disco de planetesimais emax = 0,1
( a ), 0,07 ( b ), 0,05 ( c ) e 0,03 ( d ).
Portanto, uma op¸c˜ao ´e considerar o disco com excentricidades menores (emax= 0, 07 e
0,05). Estes discos correspondem a uma velocidade m´edia de encontro com Plut˜ao-Caronte ponderada pelas probabilidades nos valores de 0,3 km s−1
e 0,2 km s−1
. A distribui¸c˜ao do tempo de vida das part´ıculas (Fig. 8 b e c) n˜ao apresentam mudan¸cas significativas em rela¸c˜ao ao caso anterior (em que disco era mais “quente”, isto ´e, a excentricidade e inclina¸c˜ao das part´ıculas que o comp˜oem s˜ao maiores). O decaimento inicial ´e um pouco mais lento, porque as velocidades iniciais s˜ao menores. Novamente, part´ıculas com tempos de vida maiores que ∼ 20 anos experimentam captura tempor´aria, por´em s˜ao poucos os casos.
Finalmente, a excentricidade do disco foi reduzida para o pequeno valor de emax= 0, 03
(disco dinamicamente “frio”). A distribui¸c˜ao dos tempos de vida (Fig. 8 d), neste caso, apresenta uma mudan¸ca qualitativa em rela¸c˜ao ao casos anteriores. Aqui, muito mais part´ıculas experimentam capturas tempor´arias (todas aquelas com tempos de vida maior
que 22 anos), ent˜ao aquela “base” da distribui¸c˜ao ´e melhor desenvolvida e poder´a ser avaliada. O aumento no n´umero de casos de part´ıculas temporariamente capturadas se deve ao fato de que, como a velocidade m´edia ponderada no infinito ´e de 0,1 km/s, muitas part´ıculas tˆem velocidades menores ao redor do baricentro do sistema, logo suscet´ıveis a capturas.
Deste ´ultimo conjunto, a evolu¸c˜ao orbital, durante o intervalo de tempo em que os elementos baricˆentricos s˜ao el´ıpticos, das part´ıculas com maiores tempos de vida (ligadas gravitacionalmente a Plut˜ao por pelo menos 100 anos) s˜ao mostradas na Fig. 9. As ´orbitas capturadas cobrem um intervalo amplo em semi-eixo maior, excentricidade e inclina¸c˜ao. Mesmo assim, o pericentro varia de 30 a ∼1.000 Rp. Eventualmente, colis˜oes pr´oximas de
Plut˜ao poderiam ocorrer. Nos anos seguintes (>100 anos) os elementos orbitais variam significativamente, e as part´ıculas escapam em trajet´orias hiperb´olicas. Como um caso isolado, 1 part´ıcula permanece capturada em ´orbita el´ıptica durante todo o tempo de integra¸c˜ao (1.000 anos).
Figura 9: Evolu¸c˜ao orbital de part´ıculas capturadas por Plut˜ao-Caronte por pelo menos 100 anos. Imagem superior: linhas azuis e verdes representam as distˆancias m´aximas e m´ınimas plutocˆentricas (Q e q), respectivamente, e as pretas representam o semi-eixo maior (a). Imagem do meio e inferior: evolu¸c˜ao temporal da excentricidade e inclina¸c˜ao, respectivamente.
A seguir, calculamos a probabilidade de captura tempor´aria como fun¸c˜ao da popula¸c˜ao que intercepta Plut˜ao por ano, atrav´es da Equa¸c˜ao 20. Obtivemos P = 1,1 ×10−13
ano−1
. Assumindo que o disco massivo de planetesimais durou cerca de 500 milh˜oes de anos como no modelo de Nice (Gomes et al. 2005), ent˜ao a probabilidade de que uma part´ıcula que cruza a ´orbita de Plut˜ao experimente uma captura tempor´aria durante o tempo de vida do disco ´e de 5,5×10−5
.
Utilizando a informa¸c˜ao acima e um modelo para a distribui¸c˜ao de tamanhos das part´ıculas no disco, podemos estimar o tamanho do maior planetesimal que possa ter experimentado um evento de captura. Assim, este ´e o diˆametro (D) para o qual o n´umero acumulado de part´ıculas N (> D) = 1/5.5 × 10−5
. Para modelar o disco, adotamos aquele definido em Morbidelli et al. (2009) (Fig. 1a do citado artigo), o qual ´e consistente com as limita¸c˜oes impostas pelo modelo de Nice. O disco considerado em Morbidelli et al., no entanto, se estendia por aproximadamente 15 UA. Para termos um n´umero significa- tivo de capturas assumimos que emax do disco era 0,03, logo a excentricidade m´edia ´e
emax/2 = 0, 015. Assim, somente ∼4% de objetos de tal disco cruzaria a ´orbita de Plut˜ao.
Portanto, o tamanho do maior planetesimal capturado ´e aquele tal que N (> D)/25 = 1/5.5 × 10−5
, o que resulta D = 300km.
Um corpo deste tamanho carrega uma massa equivalente a 25 vezes a massa de Nix e Hidra combinadas. Desta maneira, se este corpo fosse quebrado durante o tempo que permaneceu em ´orbita ao redor do baricentro do sistema, material suficiente poderia ser liberado para alimentar um disco de detritos ao redor do bin´ario, e potencialmente desta forma, fornecer material para a forma¸c˜ao dos pequenos sat´elites observados no sistema de Plut˜ao atualmente. Na pr´oxima subse¸c˜ao calculamos o tempo de vida colisional dos planetesimais para o disco que adotamos e comparamos com o tempo de vida obtido atrav´es das simula¸c˜oes num´ericas.
Note que, em princ´ıpio, se deve considerar tamb´em a possibilidade que os planetesimais s˜ao rompidos colisionalmente durante suas passagens em trajet´orias hiperb´olicas, porque, mesmo que a maioria dos fragmentos escapasse do sistema Plut˜ao- Caronte, neste caso, uma fra¸c˜ao deles poderia ser capturado gra¸cas `a ampla distribui¸c˜ao de velocidades da eje¸c˜ao dos fragmentos. No entanto, verificamos que o tempo acumulado gasto em todas as trajet´orias hiperb´olicas nas distribui¸c˜oes da Fig. 8 ´e menor do que o tempo de vida acumulado das part´ıculas capturadas temporariamente na distribui¸c˜ao da Fig. 8 d. Assim, investigar a probabilidade de rompimento de part´ıculas temporariamente capturadas, como fazemos na pr´oxima subse¸c˜ao, ´e o suficiente para testar o nosso modelo. De fato, se essa probabilidade se torna muito pequena, logo a probabilidade de rupturas por colis˜oes durante uma trajet´oria hiperb´olica seria ainda menor.