O risco de mercado é inerentemente relacionado à probabilidade de ocorrência de eventos extremos, isto é, com expressivos retornos negativos ou positivos de um investimento. Para cada variável aleatória de retorno, a probabilidade de se observar valores extremos é refletida pelo tamanho das caudas da distribuição. Segundo Gourieroux e Jasiak (2001), o ponto de referência para caudas pesadas é determinado pela distribuição de probabilidade, e permitem visualizar as possibilidades de se ter valores extremos.
Uma medida comumente utilizada na literatura recente para obtenção do montante do investimento sobre risco de perdas extremas é o VaR, que mensura o máximo de perda em um determinado portfólio, a um determinado período de tempo e a uma probabilidade definida. Formalmente, o VaR ilustra o quantil da distribuição projetada para ganhos e perdas do investimento em um intervalo de tempo.
Segundo Jorion (2001), a formulação básica para estimação do VaR (baseado nas distribuições generalizadas) define W0 como o investimento inicial e R como a taxa de retorno, de forma que o valor do portfólio ao final do período determinado seja:
(
R)
WW = 0 1+ (10)
Assim, como o retorno esperado em R é representado por e a volatilidade é , o menor valor do porfólio a um dado intervalo de confiança c será:
(
1 *)
* W0 R
W = + (11)
Em sua forma mais generalizada, o VaR pode ser obtido da distribuição do valor do portfólio no futuro ( ). A um dado intervalo de confiança c, pode-se encontrar o pior
cenário para W*, a partir da probabilidade em se exceder o valor de c (expressão 12), ou a probabilidade de haver um valor menor que W*, onde p = P(w ≤ W*) é 1 (expressão 13):
∫
+∞ = * ( ) W f w dw c (12)(
w W)
p P dw w f c= W = ≤ = −∫
∞ − ( ) * 1 * (13)A Figura 1 representa o intervalo de probabilidades de perdas abaixo do valor mínimo de retorno definido, até um valor infinitamente negativo, ou seja, com as perdas concentradas na cauda esquerda da distribuição.
Figura 1 - Intervalo das perdas mensuradas pelo VaR em uma distribuição a uma dada probabilidade c
Fonte: Elaborado pelo autor.
Isto significa, por exemplo, que a área entre ∞ a W* deve somar a 1 , com 5% de probabilidade. Desta forma, Jorion (2001) classifica W* como o quantil da distribuição onde o limite do valor em risco a uma probabilidade fixada será excedido. Outro ponto importante é que esta especificação é válida para qualquer distribuição de probabilidade, discreta ou contínua, e independente do valor de curtose (tamanho das caudas).
Outra forma de se definir o VaR e que pode simplificar consideravelmente sua estimação é assumindo uma distribuição paramétrica, como a distribuição normal, a qual permite a estimativa diretamente do desvio padrão do portfólio, utilizando-se de um fator multiplicativo que dependa de c. Neste caso, envolve-se a estimação dos parâmetros e do desvio padrão, ao invés do quantil da distribuição empírica (generalizada), permitindo maior acurácia na mensuração do VaR, desde que a aproximação normal seja próxima da realidade.
Primeiro, deve-se transformar a distribuição generalizada ( ) em uma distribuição normal padronizada ∅( ), onde ~ (0,1). Associa-se, assim, W* ao corte no retorno R*, como na equação (11). Comumente, R* é negativo e pode ser escrito como − R*. Mais além, pode- se associar R* com o desvio padrão normal > 0, definindo:
σ µ α = − − − R* (14) Que é equivalente a:
( )
∫
∫
∫
−∞ = −−∞ = −−∞ ∈ ∈ = − * ( ) * ( ) 1 c W f w dw R f r dr αφ d (15)Desta forma, Jorion (2001) explica que o problema em se encontrar o VaR é equivalente ao problema em se encontrar desvio de , de tal modo a área à esquerda da distribuição (risco extremo de perdas no investimento) é igual a 1 . Isto é possível ao inverter-se as tabelas para um distribuição normal padronizada cumulativa, a qual é a área à esquerda a distribuição normal com valor igual a d:
( )
∫
−∞ ∈ ∈ = d d d N( ) φ (16)Porém, para se encontrar o VaR de uma variável padronizada para uma distribuição normal, deve-se definir o nível de significância desejável na cauda esquerda da distribuição em um eixo vertical.
De acordo com Jorion (2001), este método é difundido para outras funções de probabilidade cumulativas (cdf) e normal, de acordo com a incerteza contida em . Já outras distribuições implicam em diferentes valores de . Neste caso, a distribuição normal é particularmente mais fácil de utilizar, dado que representa mais adequadamente muitas distribuições empíricas, especialmente para portfólios grandes e diversificados.
Outra maneira simplificada de se apresentar o VaR é expressando-o em termos do retorno do portfólio. Segundo Liang e Park (2007), considerando-se o retorno ao longo do período entre t e o t+τ (sendo τ o horizonte temporal), tem-se Rt+τ. E seja FR,t a função de probabilidade cumulativa condicional (cdf) de Rt+τ condicionado à informação disponível no
período t, e , ( ) representando sua função inversa, o portfólio do VaR, assim como t com τ e o intervalo de confiança 1 - c, podem ser formulados da seguinte maneira:
( )α
τ
α
1 , ) , ( =−FR−t VaR (17)Lechner e Ovaert (2010) enfatizam a existência de diferentes métodos para o cálculo do VaR, variando de uma simples simulação baseada na série de dados histórica, a complexas abordagens semi-paramétricas. Segundo os autores, a maioria das estimativas para o VaR publicadas em trabalhos na última década focavam na estimativa histórica da função densidade de probabilidade (PDF), às quais limitam o poder de previsão de medidas de risco. Ainda, a principal fonte do erro de previsão do VaR baseado em informações históricas é o formato da PDF, que pode ser significativamente diferente do formato da série histórica.
Outro ponto é o fato que o modelo normal tem suas propriedades oriundas do teorema do limite central, que leva os efeitos agregados dos componentes individuais a serem simetricamente distribuídos em formato de sino, mesmo que os componentes sejam assimétricos. Desta forma, distribuições estatísticas baseadas em uma normal podem acarretar, frequentemente, em significativos erros ao lidar-se com dados viesados.
Tais razões têm levado ao desenvolvimento de um método paramétrico mais robusto para a modelagem do VaR, o qual não considere apenas o tamanho da cauda e a assimetria dos retornos da distribuição, mas que também preocupe-se com o horizonte temporal a ser definido.
Dentre os modelos paramétricos, Jorion (2001) e Lechner e Ovaert (2010) apontam dois tipos de PDFs utilizadas: a distribuição Gaussiana (ou distribuição normal) e a não- Gaussiana, como a t-Student. Ainda, segundo Lechner e Ovaert (2010), como os retornos financeiros não acompanham estritamente uma distribuição Gaussiana, estudos recentes têm aplicado modelos ARCH23 (auto-regressive conditional heteroscedasticity) e EVT24 (extreme value theory) aos modelos paramétricos.
Para determinação da melhor adaptação ao modelo, deve-se aplicar pré-testes para detecção da normalidade (ou não) da série, de forma a definir-se a distribuição a ser utilizada. Um teste usual é o QQ-plots, que interpola a distribuição teórica com os dados empíricos
23 Este método é frequentemente combinado com as distribuições t-Student, resultando no processo de ARCH generalizado (GARCH), que captura o tamanho da cauda da distribuição e contabiliza a volatilidade condicional a partir de mudanças nos seus retornos ao longo do tempo.
24 Concentra-se apenas na causa da distribuição e estima um índice para a mesma, de forma a utilizá-lo no cálculo do VaR.
coletados dos retornos da distribuição, revelando informações relativas à assimetria e curtose, possibilitando maior elucidação em relação ao tamanho da cauda e à probabilidade de ocorrência de eventos extremos. Outras ferramentas que podem ser utilizadas são os testes de normalidade, como o de Jarque-Bera e Anderson-Darling, além da consideração dos terceiros e quarto momentos (third and fourth moments), para capturar a assimetria e curtose, respectivamente.
Para o presente trabalho, são considerados os testes de normalidade de Jarque-Bera. O teste de Jarque-Bera é um teste assintótico ou de grandes amostras e baseia-se em um teste de normalidade dos resíduos do método de mínimos quadrados, onde é possível identificar se a distribuição é normal a partir da diferença entre os coeficientes da assimetria e da curtose (GUJARATI, 2006). Sua formulação é representada de acordo com a expressão abaixo:
!"#6 +2 (' 324 )2* (18)
sendo n o tamanho da amostra; S o coeficiente de assimetria; e K o coeficiente de curtose. Para uma variável normalmente distribuída, S = 0 e K = 3. Assim, o teste de Jarque-Bera é um teste da hipótese conjunta de que os coeficientes de assimetria e de curtose sejam iguais a 0 e 3, respectivamente25.
A partir da definição do modelo, a proposta do presente trabalho para a estimação do VaR se dá na previsão do risco de preços não desejáveis ao produtor agrícola, pautado nos alvos/benchmarks estabelecidos para cada praça de referência de cada uma das commodities, a partir de uma dada probabilidade e em um horizonte temporal definido26. Assim, a análise é focada a estimar o real risco dos preços diários ao longo de uma safra serem menores que o valor médio de cada um dos benchmarks utilizados.