2 MATERIALE OG METODER
2.4 Analyser
Os cálculos relativo ao processo de solidificação irrestrito do Níquel puro em um domínio adi- abático foram realizados com a presente implementação sem os termos de concentração, ou seja, solucionando as equações 4.14 e 3.9, conforme descrito na seção 4.4. Neste caso,as pro- priedades deste material foram consideradas constantes e são resumidas na tabela V.2.
Numa primeira análise procurou-se reproduzir uma dendrita obtida numericamente por Kim et al.[43]. Para tanto foram utilizados os parâmetros da tabela V.3. Neste caso, a mobilidade
Tabela V.2: Propriedades utilizadas nas simulações bidimensionais das dendritas de Níquel[43].
Propriedade Valor
Temperatura de Fusão(K) 1728
Calor latente de Fusão (J/m3) 2,35 × 109
Capacidade calorífica (J/(m3·K) 5,42 × 106
Difusividade Térmica (m2/s) 1,55 × 10−5
Tensão interfacial (J/m2) 0,37
Densidade (Kg/m3) 7810
Força de anisotropia associada à cinética interfacial 0,0 Força de anisotropia associada a tensão interfacial 0,025
Numero de anisotropia 4
(M0) foi determinada segundo a abordagem ’sharp’ (equação 4.45), utilizando um valor para
o coeficiente cinético interfacial (µk) igual a 2,0m/(s·K). O resultado desta simulação repro-
duziu uma morfologia semelhante à destes autores[43], como pode ser observado na figura 5.13.
Entretanto, no detalhe observam-se discrepâncias nos braços secundários e terciários, que po- dem estar relacionadas com a definição da semente do gerador do numero aleatório utilizado no termo de ruído, semelhante ao observado na comparação com os dados de Kobayachi[34]
apresentado anteriormente. Um outro possível efeito pode ser decorrente da discretização es- pacial do domínio. De fato, Kim et al.[43] utilizaram a técnica de malha dupla, onde a solução
do campo de temperatura foi realizada com uma malha mais grosseira (600x600 pontos) e a do parâmetro de ordem com uma malha mais fina (1200x1200 pontos), como forma de reduzir o tempo de processamento. Por outro lado, no presente trabalho foi utilizada uma malha única e uniforme de 1200x1200 pontos em ambas as soluções.
Portanto, pode-se concluir que o presente modelo parece ser capaz de simular estruturas ge- ométricas semelhantes às dendritas de solidificação. Em especial ele reproduziu com razoável precisão as dendritas reportadas por Kobayachi[34]e por Kim et al.[43].
Apesar destes resultados, uma avaliação quantitativa contra dados experimentais é necessária para atribuir uma maior confiabilidade na presente implementação. Entretanto, a maioria dos experimentos resultam em dendritas de grandes dimensões, requerendo um domínio computa- cional impossível de ser solucionado com a presente implementação. Não obstante, existem medições de velocidade de solidificação em regime permanente do processo de crescimento irrestrito de dendrita, em um grande faixa de superresfriamento, que apesar de muito disperso,
Tabela V.3: Parâmetros utilizados nas simulações bidimensionais das dendritas de Níquel[43]. Parâmetro Valor ξ0(J/m)1/2 2,009 × 10−4 w(J/m3) 6,105 × 107 M0(m3/(s·J)) 13,481 Espessura da interface: 2 · λ (m) 8.0 × 10−8
Direção de máxima anisotropia- θ0 450
Espaçamento da malha em x-∆x (m) 2,0 × 10−8
Espaçamento da malha em y -∆y (m) 2,0 × 10−8
Malha temporal- ∆t (s) 1 × 10−12
Amplitude de ruído 0,025
Figura 5.13: Dendritas de Níquel puro calculadas para um superresfriamento de 260K e tempo de 6,26X10−7 s: (a) presente trabalho; (b) Kim et al.[43]
são passiveis de serem comparadas com o resultado do presente modelo (figura 3.3).
Pelo fato da espessura da interface (2 · λ) ser um parâmetro de livre escolha e afetar signifi- cativamente os outros parâmetros do modelo, foi necessário a realização de uma análise pre- liminar do seu efeito sobre a velocidade de solidificação em regime permanente. Com vista nisto, várias simulações foram realizadas considerando um sistema isotrópico sem ruído, cuja interface plana evolui segundo uma direção preferencial, sob um líquido superresfriado inicial- mente em dois níveis: 100K e 260K. Nestas simulações foram utilizadas as abordagens ’sharp’ e ’fina’ (equações 4.45 e 4.46, respectivamente) para a determinação do parâmetro de mobili- dade. Neste caso, o coeficiente cinético interfacial foi reavaliado para 2,87m/(s· K) utilizando
a teoria cinética interfacial[4], resumida na seguinte equação:
µk=
VC· ∆Hf
R· Tm2 (5.1)
, onde VC é definida pelo modelo de Turnbull e Bagley como a velocidade do som no meio
líquido[4], que no caso do Níquel líquido pode ser obtido da figura 5.14. A dimensão da malha
foi definida como sendo λ/2 e a etapa de tempo sendo a mínima necessária para garantir a con- vergência dos resultados.
Nesta análise preliminar, para determinar o regime permanente foram realizadas diversas simu- lações aumentando o tempo de solidificação até que o perfil de temperatura não se alterasse mais com o tempo. A tolerância admitida para a variação de temperatura dentro da interface foi menor do que 0,5K entre um período e outro de tempo, como ilustrado na figura 5.15. Neste caso, o menor tamanho do domínio considerado foi de 0,02 x 10 micra para o superresfriamento de 100K e 0,02 × 20 micra para o de 260K.
O efeito da espessura da interface na velocidade de avanço da interface plana, em regime per- manente é resumido nas figuras 5.16 e 5.17. Como pode ser observado, no caso do superres- friamento de 100K, o cálculo de M0 pela abordagem ’fina’ tende a convergir o resultado em
uma espessura de interface maior, conforme relatado por Karma e Rapel[22]. Por outro lado,
este benefício não foi observado no caso de elevado superresfriamento (260K). Não obstante,
Figura 5.15: Exemplo de condição considerada como regime permanente: temperatura da in- terface não varia com o tempo: λ = 2 × 10−8m; ∆x = 1 × 10−8m; ∆t = 1 × 10−12s; 180000
iterações no tempo; superresfriamento inicial= 100K; abordagem ’fina’ para cálculo de M0.
verifica-se que é possível obter-se convergência da velocidade de solidificação com ambas as abordagens, nesta faixa de superresfriamento, utilizando-se espessuras de interface maiores do que 50 vezes o comprimento de capilaridade térmico (tabela V.4), que para o Níquel gira em torno de 6,27 × 10−10m, ou seja muito superior ao preconizado por Karma e Rapel[22].
As divergências observadas nas figuras 5.16 e 5.17 nas velocidades de solidificação em regime permanente foram acompanhadas por uma degeneração do perfil do parâmetro de ordem (figura 5.18) em relação ao perfil normalmente esperado (figura 5.18 D). Esta inconsistência foi men- cionada por Boettinger et al.[7]como tendo origem em ruídos decorrente de erros de discretiza-
ção das equações diferenciais. Entretanto, para a maior espessura da interface (λ = 8x10−8m),
esta anomalia não foi eliminada com a redução significativa da dimensão da malha espacial (menor erro de discretização). Por outro lado, como é demonstrada através da comparação das figuras 5.18A e 5.18D, parece ser a espessura da interface o parâmetro mais relevante para a Tabela V.4: Meia espessura máxima da interface sólido-líquido para obter a convergência da velocidade de solidificação em regime permanente do Ni puro.
Superresfriamento M0’sharp’ M0’fina’
(K) (m) (m)
100 4 × 10−8m 8 × 10−8
Figura 5.16: Efeito da espessura da interface na convergência da velocidade de solidificação à uma valor fixo: Superresfriamento inicial= 100K.
Figura 5.17: Efeito da espessura da interface na convergência da velocidade de solidificação à uma valor fixo: Superresfriamento inicial= 260K.
ocorrência da mesma. De fato, segundo Glasner[79] este fenômeno é comum em problemas
onde a solução de suas derivadas varia rapidamente e continuamente ao longo de dimensões estreitas, como no caso da interface sólido-líquido. Estes autores[79] propõem uma técnica de
transformação de variável, que segundo os mesmos minimizaria o problema da degeneração, possibilitando a utilização de interfaces mais espessas e malhas também maiores, o que pode- ria viabilizar a simulação de domínios também maiores. Entretanto, este processo resulta em equações com funções tipo tangente hiperbólica, cujo processamento numérico pode ser pouco eficiente. Uma outra possível causa desta anomalia pode estar relacionada com a adoção de
Figura 5.18: Efeito da dimensão da espessura da interface e da malha espacial na degeneração do perfil do parâmetro de ordem
uma espessura da interface muito grande quando comparada ao menor raio de curvatura da mi- croestrutura, impossibilitando assim a sua correta resolução
Uma outra análise prévia importante é a avaliação do efeito da escolha do valor da constante ’ϖ’, que aparece na determinação dos parâmetros da equação de difusão do parâmetro de ordem (equação 4.44). Simulações semelhantes as anteriores foram realizadas para a determinação do efeito da mesma na velocidade de solidificação em regime permanente. Como pode ser obser- vado na tabela V.5 a escolha do valor de ’ω’ não afeta significativamente esta velocidade. Para as simulações da velocidade de solidificação em regime permanente da dendrita de níquel Tabela V.5: Efeito da escolha da constante ϖ no valor da velocidade de solidificação em regime permanente: λ = 1 × 10−8m; abordagem de interface ’fina’ para calculo de M0.
Superresfriamento (K) Constanteϖ Velocidade(m/s)
100 1.00 1.465 100 2.20 1.466 100 2.95 1.4606 260 1.00 4.859 260 2.20 4.862 260 2.95 4.844
Tabela V.6: Parâmetros utilizados nos cálculos da velocidade de solidificação em regime per- manente do Níquel puro em função do superresfriamento (Tm− T )
Parâmetro Valor
ξ0(J/m)1/2 1,421 × 10−4
w (J/m3) 1,221 × 108
M0(m3/(s·J))(abordagem ’sharp’) 33.11
Espessura da interface: 2 · λ (m) 4,0 × 10−8
Direção de máxima anisotropia- θ0 00
Espaçamento da malha em x-∆x (m) 1 × 10−8
Espaçamento da malha em y -∆y (m) 1 × 10−8
Malha temporal- ∆t (s) 1 × 10−12
Amplitude de ruído 0,025
ω 2,2
com o presente modelo, foram utilizadas as propriedades apresentadas na tabela V.2 (exceto o coeficiente cinético interfacial, que foi recalculado para 2,87m/(s·K)) e os parâmetros resumi- dos na tabela V.6. Neste caso, o domínio modelado foi discretizado com 300 × 1000 pontos nodais. Os resultados são resumidos na figura 5.19, juntamente com os dados experimentais e um modelo analítico. Como pode ser observado, apesar da grande dispersão dos mesmos, as simulações do presente trabalho apresentam boa conformidade com medições de diferentes fontes. Os desvios observados podem ser decorrentes de incertezas nos valores das propriedades do Níquel[37], assim como em decorrência da hipótese serem independentes da temperatura.
Pela análise da figura 5.19 os resultados do presente modelo parecem seguir a tendencia dos dados experimentais. Especificamente, os maiores valores de velocidade de solidificação na região de baixos de superresfriamentos e os menores na região intermediária, uma tendência oposta a do modelo 1D analítico proposto por Trivedi e Kruz[25].
Quando comparado com outros modelos de campo de fase (figura 5.20) a presente implemen- tação reproduz resultados muito próximos aos modelos tridimensionais de Bragard et al.[38],
Galenko et al.[40]e Nestler et al.[41] nas faixa mais elevadas de superresfriamentos. Por outro
lado, em baixos superresfriamentos ele tende a calcular valores mais elevados de velocidade de solidificação, porém menores do que os valores reportados por Ferreira[44]. Estes resultados
evidenciam a necessidade da redução da dispersão das determinações experimentais para uma melhor avaliação do desempenho dos modelos matemáticos. Não obstante, a presente imple- mentação parece apresentar resultados consistentes.
Figura 5.19: Comparação dos resultados experimentais de velocidade de solidificação em regime permanente do Ni puro com os reproduzidos pelo presente modelo de campo de fase[37]−[42]e um modelo analítico[25]
.
Figura 5.20: Comparação dos resultados do presente modelo para o Ni puro com o de outras fontes: (A) 3D de Bragard et al.[38]; (B) 3D de Galenko et al.[40]; (C) 2D de Ferreira[44]; (D)