3 Kunnskapsstatus på feltet gjennomstrømning
3.2 Analyser av studiegjennomføring
Nesse trabalho foi dada uma atenção às equações diferenciais, ordinárias e parciais, haja vista uma vasta gama de problemas físicos e, por conseguinte de engenharia ser regidos por estas equações. Assim foram aplicados métodos sem malha, funções de base radial, multiquadráticas e multiquadráticas inversas com aproximação de Kansa e, com isso, foram feitas simulações, utilizando a plataforma SCILAB e comparando, graficamente, a aproximação entre a solução numérica e a solução analítica das supracitadas equações.
Nas simulações utilizamos, a priori, uma equação diferencial linear de primeira ordem, com condição inicial, para ilustrar o método sem malhas e comparar a solução numérica com a solução analítica. Nesse primeiro caso, nós usamos um parâmetro de forma , suposto conforme literatura (FERREIRA, p.87) como a razão de dois pela raiz quadrada de , onde é o número de pontos.
Em seguida, apresentamos um problema de valor de contorno em uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, onde o parâmetro de forma , foi otimizado via função de base radial multiquadráticas e multiquadráticas inversa, por meio da plataforma SCILAB.
Comparamos a solução numérica com a solução analítica da equação diferencial parcial da difusão pura e, com isso, encontrando um parâmetro de forma c ótimo, minimizando o erro e, consequentemente o resíduo da aproximação.
Ao final, simulamos um problema de contaminação de um determinado aquífero por meio de uma substância conservativa. A modelagem matemática do problema foi descrita por meio de uma equação “1D transiente,” denominada de equação de difusão-advecção, onde comparamos a solução numérica com a solução analítica e plotamos os resultados graficamente para analisarmos a concentração do poluente em função do tempo e da distância percorridos.
A modelagem matemática, em conjunto com a simulação computacional e o advento dos métodos numéricos, principalmente o método numérico sem malhas, têm demonstrado ser eficientes e eficazes, nos estudos de recursos hídricos. Dessa
forma, são utilizados para prever situações nas quais estudos empíricos, sejam dispendiosos e, por vezes também onerosos.
A vantagem do método sem malhas, frente aos demais métodos de aproximação de uma equação diferencial está basicamente na relativa facilidade com a qual podemos montar um algoritmo, pois não há necessidade de construção de uma malha regular, uma vez que somente nos interessa a distância entre os pontos discretizados e não a sua posição geométrica. Ademais, com o aumento da dimensão, não há um incremento considerável, como ocorre no método dos elementos finitos, na dificuldade de modelarmos problemas, usando como ferramenta o SCILAB. Contudo, por se tratar de um ramo emergente vale pesquisar maneiras de diminuir o esforço computacional, o qual ainda é grande, por conta do número de operações que a Álgebra de matrizes e sistemas lineares exige.
Por fim, para estudos futuros podemos modelar diversos problemas de Recursos Hídricos, tais contaminação de aquíferos, recarga hidráulica e golpe de aríete, fazendo uso dos métodos sem malha, das funções de base radial, mas não se limitando as funções multiquadráticas diretas e inversas, como fizemos nesse trabalho e, sim fazendo uso da Gaussiana.
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APÊNDICE A – NOCÕES DE DEPENDÊNCIA LINEAR E INDEPENDÊNCIA LINEAR E FUNÇÃO DE IMPULSO DE DIRAC.
Uma propriedade importante de conjuntos e que influencia à formação de bases de espaços vetoriais é a identificação da dependência e da independência lineares. Sabe-se através da literatura (LIMA, 2011) que um conjunto de vetores, forma uma base de um Espaço Vetorial, quando os mesmos são linearmente independentes e geram o espaço. Nesse sentindo, existe uma ampla gama de espaços vetoriais, como o , como o espaço das matrizes quadradas de ordem n, como o espaço de polinômios de grau menor ou igual a n, espaço dos operadores lineares de dimensão finita, entre outros.
A.1 – Conjunto linearmente dependente (LD)
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo , e sejam ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vetores de V. o conjunto ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , é dito linearmente dependente sobre se existem escalares reais ; não todos nulos, tais que:
⃗ (A.1.1)
Para todo .
Os vetores ⃗ e são LD, desde que . Digamos , com então temos, conforme figura A.1.1, uma expansão do vetor ⃗ .
Se , temos uma mudança de sentindo, digamos , então representamos, geometricamente, através da figura A.2:
Figura A. 2 – Mudança de sentido do vetor u
Caso o | | , haverá uma contração que se dará no sentido do vetor se , e no sentindo inverso se Em qualquer caso, quando um vetor é múltiplo do outro, dizemos que os mesmos são LD.
A.2 – Conjunto linearmente independente (LI)
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo , e sejam ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vetores de V. o conjunto ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , é dito linearmente independente sobre se existem escalares reais ; tais que:
⃗ (A.2.1) Se, e somente se, =0, para todo .
Como ilustração podemos citar a base canônica do
A combinação linear, abaixo resulta que =0 para todo :
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (A.2.3)
A.3 – Aplicação Linear (Transformação Linear)
Sejam dois espaços vetoriais e , sobre o corpo dos reais, . Uma aplicação linear é uma função , que obedece às seguintes propriedades:
i) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (A.3.1) ii) ( ⃗ ( ⃗ ⃗ , . (A.3.2) A.4 – Aplicação linear do vetor nulo entre espaços vetoriais.
Sendo A uma aplicação linear de dois espaços vetoriais e , sobre o corpo dos reais, . A aplicação Linear:
( ⃗ ) ⃗ (A.4.1)
De fato, note que como é espaço vetorial, temos que ⃗ , então ( ⃗ ) . Por conseguinte, ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗ ), mas como A é uma aplicação linear, segue-se que: ⃗ ( ⃗ ) ( ⃗ ) ( ⃗ ) ( ⃗ ) ⃗ Conclui-se, assim, a demonstração.
A.5 – Funçõesde Impulso
Alguns fenômenos tem natureza impulsiva como, por exemplo, os problemas de voltagem, ou forças muito grandes em intervalos de tempo muito curto. Esses problemas geralmente são modelados através de equações diferenciais da forma:
(A.5.1)
Onde é grande em um intervalo pequeno e é zero nos outros pontos. A integral, definida abaixo por:
∫
(A.5.2)
Ou, como fora do intervalo de tempo , ∫
(A.5.3)
Funciona como uma medida de força do termo não homogêneo, ou seja em sistemas mecânicos, onde a função é uma força, é o impulso total da força g(t) sobre o intervalo no qual a força está definida . Em condições similares, no caso de um circuito elétrico e é a derivada em relação ao tempo da voltagem, então a integral representa a voltagem total no circuito no intervalo aberto considerado .
A função impulso unitário denominada de função delta ( ) de Dirac tem as seguintes propriedades:
i. sempre que ; ii. ∫
Vale ressaltar que a função delta de Dirac, na verdade não é uma função, no sentindo clássico ou formal da palavra, mas é conhecida como à classe de funções generalizadas.
Suponha, em particular que
Sendo que é uma constante positiva pequena.
Figura A.3 – Gráfico da função delta de Dirac de . Fonte: Boyce (2010 p. 184)
Figura A.4 – Gráfico da função delta de Dirac de , quando . Fonte: Boyce (2010 p. 184)
APÊNDICE B – Breve exposição sobre o SCILAB
Figura B. 1– Sobre o SCILAB 5.4.1
B.1 – INTRODUÇÃO
O SCILAB é um freeware matemático, ou software livre, que faz um grande número de operações matemáticas e é adequado para a resolução de problemas numéricos de matemática e, por conseguinte de Física e Engenharia. Com isso, proporciona um ambiente de computação muito frutífero para aplicações em uma ampla gama de problemas de Engenharia Civil, em particular na Engenharia de Recursos-Hídricos.
O SCILAB é uma versão livre com mesma plataforma do MATLAB, software muito utilizado por cientistas, matemáticos e engenheiros. Este programa foi lançado (PIRES, 2004) em código aberto, sendo criado e mantido por pesquisadores do INRIA (Institut de Recherche em Informatique et em Automatique), através do Projeto MÉTALAU (Méthods, algorithmes et logiciels pour l’automatique) e também com o respaldo da ENPC ( École Nationale des Ponts et Chaussées).
O SCILAB pode ser instalado nos seguintes sistemas operacionais GNU/Linux, Mac OS X e Windows XP/Vista/7/8, reconhece vários tipos de linguagens e códigos como o “c”, ou “c++” e o “FORTRAN”, entre outros. Além disso, gera gráficos 2D e 3D e executa simulações em sistemas mecânicos, hidráulicos e
elétricos onde estão localizados os arquivos executáveis. Nas distribuições Unix/Linux o script SCILAB aciona o executável SCILEX. Neste diretório estão, também, localizados programas para manipulação de arquivos POSTSCRIPT e LATEX gerados pelo SCILAB.
Entre as várias funcionalidades desse software, estão as simulações matemáticas, visualização de gráficos, optimização, estatística, álgebra linear, cálculo diferencial e integral, EDO e EDP. A versão utilizada nesse trabalho foi a scilab-5.4.1, para Windows 8, PC 64 bits.
Ao abrirmos o SCILAB nos deparamos com o console, ambiente virtual onde são inseridos os comandos, preferencialmente curtos para que sejam logo executados.
Figura B.2 – Ambiente, plataforma SCILAB 5.4.1
Programações mais extensas, como as desenvolvidas nesse trabalho, devem ser feitas no ambiente virtual Scinotes, para a posteriori serem executadas.
Figura B.4 – Aplicativo SciNotes do SCILAB 5.4.1