Marcus Vitrúvio Pollio viveu no século I a.C. e tudo o que sabemos dele, é o que se deduz de sua obra De Architectura. Esta obra fornece inúmeras informações sobre as técnicas de construção em uso entre os romanos; no entanto não contém muitos detalhes sobre o desenho para a arquitectura. Nesta obra de Vitrúvio podemos ler: “A Geometria é também de grande assistência para o arquitecto e, em particular, ela ensina-nos o uso da régua e do compasso com os quais podemos planear correctamente os edifícios e depois traçar, no canteiro de obras, com precisão, os ângulos rectos e usar correctamente o nível e o fio-de-prumo. (…) É verdade que a Aritmética nos ajuda a calcular o custo total e o dimensionamento da obra, mas as difíceis questões de simetria são resolvidas pelas teorias geométricas e seus métodos práticos” (Lintz 1999, p. 16).
Nesta obra, o volume I começa com uma dedicatória ao Imperador Augusto e, depois, refere quais os princípios básicos na formação profissional de um arquitecto. Segundo Vitrúvio, o arquitecto deveria dominar os princípios básicos de vários campos: Óptica, História, Filosofia, Física, Música, sem no entanto ser um especialista em algum deles. Faz também referência aos princípios fundamentais da arquitectura: ordem, disposição, euritmia, simetria, propriedade e economia. No início do segundo volume
construir a famosa cidade de Alexandria e, depois, faz uma descrição dos diversos materiais usados na construção civil. O volume III trata das proposições correctas que devem orientar a construção de templos e sua classificação. O volume IV trata das leis de proporção e simetrias. O volume V é dedicado ao estudo dos edifícios públicos, tais como fóruns e teatros. O volume VI trata da construção de casas e residências em geral. O volume VII trata da decoração de interiores. O volume VIII trata de engenharias hidráulicas e, por fim, o volume IX, é dedicado à Astronomia de campo.
Nesta época, na pintura não existe nenhum indício do emprego de regras sistemáticas. Porém, no fim da Idade Média começa a revelar-se, neste campo artístico um movimento precursor do realismo renascentista. A pintura religiosa medieval não tinha preocupações de representação realista. Os artistas, através da pintura, pretendiam transmitir episódios da história sagrada, não havendo uma preocupação relativamente à profundidade e à representação da terceira dimensão, sendo apenas visível na dimensão das edificações. Nestas pinturas verificamos que as figuras estão praticamente no mesmo plano. Mas, no início do século XIV, vários artistas começaram a rejeitar esta forma de representação. Destes artistas destaca-se Giotto (1267-1337), um pintor e arquitecto de Florença, considerado um precursor do Renascimento. A maior parte dos temas de suas pinturas é do foro religioso; no entanto, o estilo de Giotto é muito diferente do anterior. Destaca-se, nas suas pinturas, o realismo dos episódios descritos, a profundidade e representação da terceira dimensão. Ao longo do século XIV, esta nova maneira de pintar vai ganhando força, mas a maior transformação ocorre no início do século XV nas obras de vários artistas, dos quais se destacam Filippo Brunelleschi (1377-1446), Leon Battista Alberti (1404-1472), Piero della Francesca (1420-1492) e Albrecht Durër (1471-1528).
O início do Renascimento é marcado por uma transformação no modo de representação, que deu origem à perspectiva geométrica dos pintores.
Brunelleschi, arquitecto, ficou famoso devido “ao facto de ter conseguido completar a cúpula da catedral de Florença, o que ele fez tomando como base os seus conhecimentos das técnicas de construção gótica” (Veloso, 1998, p. 290). Mais tarde abandonou o modelo gótico e passou a usar formas clássicas (colunas e frontões) para um novo estilo de edifícios, que perdurou durante quinhentos anos na Europa e na América. Ele foi o primeiro a estudar as regras da perspectiva, com base na Geometria. A partir daí, Brunelleschi passou a utilizar, nas suas pinturas, as regras de perspectiva
Alberti interessou-se também pela representação matemática no plano de objectos tridimensionais, sendo o primeiro a publicar na sua obra de 1435, Della
Pittura, as regras da perspectiva com um ponto de fuga. A sua abordagem da perspectiva nesta obra foi de carácter teórico, fazendo uma exposição completamente matemática desta arte, enquanto Brunelleschi fez uma abordagem da perspectiva de carácter prático, visível nas suas pinturas.
Piero della Francesca foi matemático e um dos mais famosos pintores deste período. As obras que chegaram até nós são: Trattado d´Abaco, Libellus de Cinque
Corporibus Regularibus e De Prospectiva Pingendi. Na primeira obra ocupa-se de problemas matemáticos, que vão desde a Aritmética à Álgebra, na segunda obra trata da Geometria no espaço, redescobrindo os sólidos truncados arquimedianos. De
Prospectiva Pingendi (Sobre a Perspectiva dos Pintores) é a sua obra mais conhecida, nela expõem a teoria da perspectiva através de proposições, demonstrações e mostra a sua aplicação com desenhos executados por si. O livro é composto por três partes, sendo que a primeira parte diz respeito à perspectiva de figuras sobre o plano e, as outras duas, referem-se à perspectiva de sólidos. A Flagelação de Cristo é uma das obras de arte de Piero della Francesca mais conhecida e onde aplica a perspectiva.
Luca Pacioli publicou em 1494 um tratado intitulado Summa de Arithmetica,
Geometria, Proportioni et Proportionalita que continha tudo o que era conhecido, naquela época, sobre Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria.
Em 1509, Luca Pacioli publica o livro De Divina Proportione, onde partes do tratado Libellus de Cinque Corporibus Regularibus de Piero della Francesca foram incorporados no seu livro, sobre os sólidos platónicos e as suas propriedades. Também nesse livro aparecem desenhos de poliedros, em particular os sólidos arquimedianos, da autoria de Leonardo da Vinci.
Em suma, os pintores do Renascimento passaram a utilizar, nas suas pinturas, as leis da perspectiva descobertas por Brunelleschi e estudadas mais tarde teoricamente por Alberti e Piero della Francesca.
Outro artista do período do Renascimento é Durër. Em 1525, Durër publicou
Underweissung der Messung mit Zirckel und Richtscheyt in Linien, Ebnen, ung Gantzen Corporen (Tratado das Medidas com Régua e Compasso, das Linhas, Superfícies e Corpos Inteiros) sendo o primeiro tratado de Geometria para artistas. A importância de sua obra deve-se ao facto de “descrever um certo número de aplicações da Geometria à
através da perspectiva, acaba por fazer esses próprios tipos de representações penetrar nos domínios da Geometria Pura, abrindo-a a novos desenvolvimentos” (Veloso, 1998, 296). Durëraplicou também os seus conhecimentos da perspectiva nas suas gravuras e pinturas. É ainda de salientar o facto de este artista ter utilizado os processos de projecção ao estudo das proporções do corpo humano. Essa sua obra é publicada em 1528, depois da sua morte. Um aspecto a salientar é o facto de, nesta época, não ter sido dado o justo valor às suas invenções em Geometria, uma vez que as suas obras não tiveram grande influência, para lá do círculo dos artistas. No século que se segue à sua morte, apenas duas obras de Matemática surgem dedicadas ao estudo da perspectiva: um de Guidobaldo Del Monte e outro de Simon Stevin.
Porém muitas obras são publicadas divulgando e sistematizando as regras de desenho em perspectiva dos pintores. Em 1811, é publicado por Brook Taylor, The
Principles of Linear Perspective, um tratado de perspectiva que se tornou famoso pelas suas gravuras. William Henry Fox Talbot, após alguns anos de experiências, descobriu “uma nova forma de arte, a fotografia, tinha nascido, culminando séculos de aperfeiçoamento do modo de representação descoberto por Brunelleschi, a perspectiva linear” (Veloso, 1998, p. 298).
Desargues (1591-1661) foi um engenheiro e arquitecto francês, tendo publicado, em 1636, na sua obra, inovações no campo da perspectiva. Este estudou as ideias de Descartes publicadas na sua obra Géometrie, embora, de início, tenha estudado sobre os métodos da Álgebra aplicada à Geometria. Mas depressa as suas investigações tomaram outro rumo e levando-o a adoptar uma via exclusivamente geométrica. Daí resulta a criação de uma nova Geometria: a Geometria Projectiva. Em 1639, publica Brouillon
Project d´Une Atteinte aux Événements des Rencontres du Cone avec un Plan que é considerada a sua obra mais importante. Esta obra “tratava extensamente as cónicas, retomando, generalizando e ampliando as propriedades conhecidas desde Apolónio, com a utilização de métodos e conceitos próprios da nova geometria nascente. (…) A ideia central de Desargues é identificar quais são as propriedades que se conservam por projecção e partir daí estudar a família das cónicas, que são todas projecção da circunferência” (Veloso, 1998, p. 303). Blaise Pascal, segundo os historiadores da Matemática, foi dos poucos que compreendeu e estudou o trabalho de Desargues. Em, 1640, Pascoal publica um curto Ensaio sobre as Cónicas, no qual segue a ideia central de Desargues.
Depois do seu início com Desargues e Pascoal, na primeira metade do século XVII, a Geometria Projectiva caiu no esquecimento até ao início do século XIX.
Gaspard Monge (1746-1818) foi um dos principais impulsionadores da Geometria nos finais do século XVIII e inícios do século XIX. Em finais do século XVIII, Monge inventa a Geometria Descritiva, resolvendo, desta forma, os problemas gráficos da representação no plano de objectos tridimensionais. O problema da representação plana de objectos a três dimensões esteve presente desde que o homem se lembrou de traçar sobre uma rocha figuras humanas ou de animais. No nosso dia-a-dia, quando olhamos para imagens num ecrã de televisão, ou quando folheamos um livro de gravuras, estamos a visualizar objectos tridimensionais como sendo figuras planas. No entanto, só em 1799, Monge publica o seu tratado de Geometria Descritiva. Esta obra e as suas lições nas novas École Polytechnique e École Normale, nascidas da Revolução Francesa, influenciaram os seus alunos, despertando-os para o estudo da Geometria Pura. Os seus alunos foram Poncelet, Brianchon, Dupin e Chasles e vão fazer renascer a Geometria Projectiva.
Jean-Victor Poncelet foi oficial de Napoleão durante a invasão na Rússia, em 1812, tendo ficado aí preso durante dois anos. Contudo, durante os anos que esteve em cativeiro, recordou-se das lições de Monge e de Carnot, tendo estudado praticamente a partir do nada, a Geometria Projectiva. O seu principal trabalho é Essai sur les
Propriétes Projectives des Sections Coniques, publicado em 1822. Este tratado contribuiu para a renovação do interesse e da investigação em Geometria Projectiva. Foi a partir das suas investigações que Poncelet “descobriu que na Geometria Projectiva existe uma “dualidade” entre pontos e planos, que permite substituir, em qualquer teorema desta Geometria pontos por rectas e rectas por pontos, sendo também a proposição resultante um teorema da Geometria Projectiva” (Veloso, 1998, p. 304). No entanto, Poncelet não demonstrou o princípio da dualidade, embora o usasse com frequência na descoberta de novas propriedades. As ideias de Poncelet foram posteriormente desenvolvidas por matemáticos alemães.
Desde Desargues, que os matemáticos pretendiam, com o estudo da Geometria Projectiva, compreender quais as propriedades das figuras que ficavam invariantes por projecção. Como tal, verificaram que quando projectavam uma figura mediante uma projecção central sobre um plano, não se mantêm os comprimentos dos lados, nem os ângulos, nem a área. No entanto, Michel Chasles descobriu uma propriedade de carácter