Analyse av bruttofortjeneste, driftsresultat og kostnader i

Nesta se¸c˜ao, vamos analisar como a evapora¸c˜ao de um buraco negro ´e determinada pelo processo de mudan¸ca de topologia definido pela equa¸c˜ao (3.2).

Temos que a condi¸c˜ao KMS (Kubo-Martin-Schwinger) [126], a qual ´e usada para a constru¸c˜ao de um sistema quanto-mecˆanico-estat´ıstico finito em geometria n˜ao-comutativa, nos diz que o ´unico estado que pode ser tomado como estado de equil´ıbrio de um sistema ´e um estado do tipo Gibbs. No sentido de analisar as transi¸c˜oes na ´area do buraco negro, vamos introduzir um ensemble canˆonico no qual o nosso sistema, o buraco negro, pode ocupar diferentes micro-estados KMS de ´area. O uso desses tipos de ensemble come¸cou

com Krasnov [127–129] e ´e, de certa forma, uma necessidade no formalismo de Gravidade Quˆantica com La¸cos onde a contagem dos micro-estados de um buraco negro ´e feita natu- ralmente usando a ´area de seu horizonte de eventos no lugar de sua massa [130–132]. Com base nisso, vamos descrever os estados quˆanticos associados `a geometria do horizonte de eventos de um buraco negro a partir da matriz densidade:

ˆ

ρ = (1/Z)

∞

X

j=0

e−βAj _{| jihj |= (1/Z)e}−β ˆA _{, (3.3)}

onde β ´e um parˆametro dual `a ´area do horizonte de eventos que desempenha o papel de temperatura, e−βAj _{| jihj | ´e a matriz densidade relacionada ao espa¸co de Hilbert da} representa¸c˜ao de spin j do grupo SU (2) e Z = T r(e−β ˆA_{) ´e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao.}

Temos que a equa¸c˜ao (3.2), escrita para o menor passo poss´ıvel j → j − 1/2, j´a desprezando os graus de liberdade no universo bebˆe ´e:

∆(| j, mihj, m′ |) = √ (k+mk+1)(k+m′k+1) 2k+1 | k, m − 1/2ihk, m ′ − 1/2 | + √ (k−mk+1)(k−m′k+1) 2k+1 | k, m + 1/2ihk, m ′ + 1/2 | . onde ˆ_{M = | j, mihj, m}′ |, com l = 1/2, e k = j − 1/2.

Podemos extrair, da equa¸c˜ao acima, a amplitude de probabilidade da transi¸c˜ao j → j −1/2 ocorrer. Do cap´ıtulo anterior, temos que a amplitude de probabilidade de obtermos K =| k, mkihk, m

′

k | com o estado quˆantico que descreve o buraco negro em nosso universo,

ap´os a ocorrˆencia do processo de mudan¸ca de topologia, ´e dada por:

1

2j + 1T r[K

†

∆KL(M )]. (3.4)

Isso nos d´a

aj→k = j−1/2 = X mk,m′k [kA+_mk,m′ kk 2 + kA−_mk,m′ kk 2_]1/2 = 2j + 1 2j  , (3.5) onde

A+ mk,m′k = p (k + mk+ 1)(k + m ′ k+ 1) (2k + 1)2 (3.6) A− mk,m′k = p (k − mk+ 1)(k − m ′ k+ 1) (2k + 1)2

Para obter a amplitude de probabilidade para uma transi¸c˜ao de n passos devemos, primeiramente, nos perguntar a respeito da independˆencia desses passos. Em melhores palavras, devemos nos perguntar se, sob circunstˆancias idˆenticas, a transi¸c˜ao j → j − 1/2 pode ser repetida, dando resultados estatisticamente independentes para observadores em diferentes regi˜oes do espa¸co-tempo, ou seja, precisamos garantir que esse processo preserva a condi¸c˜ao de localidade.

H´a resultados na literatura que fomentam a ideia de que o processo de mudan¸ca de topologia n˜ao respeita a condi¸c˜ao de localidade [133]. Hsu argumentou que a viola¸c˜ao da localidade pelo processo de mudan¸ca de topologia n˜ao seria observada por observadores em um n´ıvel macrosc´opico [105]. Entretanto esta quest˜ao continua como uma pedra no sapato quando se deseja definir probabilidades para processos envolvendo a evapora¸c˜ao de buracos negros.

Temos que em teoria quˆantica de campos ordin´aria, localidade ´e garantida pelo cha- mado teorema de decomposi¸c˜ao em “clusters”. De acordo com este teorema, o valor esperado de v´acuo do produto de v´arios operadores, com cada um deles estando em dife- rentes regi˜oes A e B bastante distantes, iguala-se, assintoticamente, ao produto do valor esperado do produto dos operadores definidos na regi˜ao A pelo valor esperado do produto dos operadores definidos na regi˜ao B. Dessa forma, as duas regi˜oes, A e B, se comportam de forma independente.

Teorema: Sejam (A1, ..., An) operadores definidos em uma regi˜ao limitada do

espa¸co-tempo. Suponhamos que n´os escolhamos um certo subconjunto desses ope- radores para sofrer uma transla¸c˜ao

xa → x ′

a = xa + ρa . (3.7)

Ent˜ao a condi¸c˜ao para localidade ´e, sendo M0 a matriz que representa o estado de

v´acuo dos campos definidos sobre a esfera fuzzy:

lim ρ→∞hM0, A1(x1)A2(x2), ..., Aj−1(xj−1)Aj(x ′ j), ...An(x′n), M0i (3.8) = hM0, A1(x1)A2(x2), ..., Aj−1(xj−1)M0i ×hM0, Aj(x′j), ...An(x′n), M0i

Assim, considere dois buracos negros que colapsam em regi˜oes do espa¸co-tempo muito distantes uma da outra, e o processo de mudan¸ca de topologia no interior dos mesmos. Sendo que (3.9) ´e v´alida inicialmente, antes do processo de mudan¸ca de topologia, teremos,

lim

ρ→∞h∆(M0), ∆(A1(x1))∆(A2(x2)), ..., ∆(Aj−1(xj−1))∆(Aj(x ′

j)), ..., ∆(An(x′n)), ∆(M0)i

= h∆(M0), ∆(A1(x1))∆(A2(x2)), ..., ∆(Aj−1(xj−1))∆(M0)i

×h∆(M0), ∆(Aj(x′j)), ..., ∆(An(x′n)), ∆(M0)i . (3.9)

O resultado acima nos diz que o processo de decaimento de uma esfera fuzzy preserva a condi¸c˜ao de decomposi¸c˜ao em “clusters”, ou seja preserva a condi¸c˜ao de localidade.

Ent˜ao, diferentes passos j → j − 1/2 s˜ao eventos independentes. Dessa forma, a amplitude probabilidade de ocorrˆencia de um evento consistindo em n passos no processo de evapora¸c˜ao de um buraco negro ´e dada, simplesmente, pelo produto das amplitudes de probabilidade de cada um dos passos. Dessa forma, n´os teremos:

ajn=

 _{2j + 1} 2j − n + 1



, (3.10)

os estados de ´area do horizonte de eventos do buraco negro deve ser do tipo Boltzmann, akn= e−βδAkn, onde β ´e um parˆametro de temperatura dual `a ´area do horizonte de eventos.

Juntando essa observa¸c˜ao `a equa¸c˜ao (3.10), teremos o seguinte espectro para a ´area do horizonte de eventos:

Aj = β−1ln(2j + 1) . (3.11)

Esse espectro ´e mostrado na figura (15). A dependˆencia logar´ıtmica em j no espectro da ´area do horizonte de eventos tem como resultado um decr´escimo cont´ınuo na ´area do horizonte de eventos, para altos valores de j, e um decr´escimo em passos discretos para pequenos valores de j, quando o buraco negro aproxima-se do regime de Planck. O espectro encontrado aqui para a ´area do horizonte ´e independente do fato de o buraco negro possuir carga ou momento angular.

Figura 15: Espectro de ´area (3.11) para β = 1/4

A forma do espectro de ´area de um buraco negro tem sido alvo de muita discuss˜ao na literatura devido `a sua importˆancia para a descri¸c˜ao do processo de evapora¸c˜ao de um buraco negro. As duas principais formas para este espectro provem de uma proposta devido a Bekenstein [134] e outra devido `a Gravidade Quˆantica com La¸cos [135]. Na pr´oxima se¸c˜ao, veremos como o espectro encontrado a partir do processo de mudan¸ca de topologia ir´a influir na forma como o buraco negro emitir´a radia¸c˜ao.

Usando a equa¸c˜ao (3.11), teremos que a entropia associada por um observador externo ao buraco negro ´e dada por

A matriz densidade (3.3) satisfaz a equa¸c˜ao de Bloch i∂ ˆρ ∂Θ = − ˆ A 8πρ ,ˆ (3.13)

onde temos tomado β = −iΘ/8π.

A equa¸c˜ao (3.13) ir´a governar as transi¸c˜oes entre os estados de ´area do buraco negro. Esta equa¸c˜ao ´e conhecida. Ela ´e usada quando fazemos a continua¸c˜ao euclidiana de um buraco negro, suplementando a equa¸c˜ao de Wheeler - DeWitt, onde Θ assume o papel de uma esp´ecie de “parˆametro de tempo interno” associado ao horizonte de eventos [136–141]. N´os temos ainda que Θ = iΘE, onde ΘE´e o ˆangulo euclidiano. A condi¸c˜ao de regularidade

de uma variedade euclidiana sobre o horizonte de eventos imp˜oe um valor fixo para o ˆangulo euclidiano dado por ΘE = 2π. Dessa forma, obtemos β = 1/4 e a equa¸c˜ao (3.12)

corresponde `a f´ormula de Bekenstein-Hawking.