Nesta parte será desenvolvido, com a estrutura básica do modelo anterior, um modelo de equilíbrio geral com pagamento de impostos e bens públicos em mercados incompletos permitindo-se a evasão fiscal. Uma afirmação importante neste momento é necessária: os contribuintes podem não declarar totalmente as suas dotações.
Sem perda de generalidade, neste modelo existem contribuintes que
são investidores e apenas um tomador de empréstimos que é o governo.
7.1 OS CONTRIBUINTES
A descrição dos contribuintes neste modelo é basicamente a mesma do modelo anterior. Entretanto, agora eles podem não declarar totalmente suas
dotações. Portanto, o que cada contribuinte paga de impostos no segundo
período pode ser inferior ao pagamento de impostos se ele declarasse totalmente sua dotação. Portanto,
, (5)
Dessa forma, as verdadeiras dotações, tanto no primeiro quanto no segundo
período, são conhecidas pelos contribuintes, mas não pelo governo18. É importante
atentar, pela definição anterior, que a única forma do contribuinte evadir é não informar corretamente sua dotação no segundo período, pois a quantidade de ativos
nominais que cada agente possui é conhecida do governo.
O contribuinte continua sendo caracterizado por sua função de utilidade , assim, dados os preços dos ativos nominais e das mercadorias,
18 A fiscalização tributária pode saber, diretamente ou indiretamente, ao menos parcialmente, a
verdadeira renda dos indivíduos que possuem capacidade contributiva. Exemplo clássico é o de empresas que recolhem o imposto de renda na fonte sobre os salários pagos aos seus trabalhadores. Contudo, para simplificar o modelo, essa hipótese será utilizada.
cada contribuinte escolhe ( de forma a maximizar sujeito as seguintes restrições orçamentárias:
No período inicial a restrição orçamentária é igual a do modelo anterior, ou seja:
(1)
A despesa total do contribuinte no período inicial é composta pelo consumo de mercadorias e pela aquisição de títulos nominais que deverão ser integralmente financiadas pela sua dotação inicial.
Já no segundo período, devido à evasão fiscal, a restrição orçamentária do
contribuinte, em cada estado da natureza19, torna-se:
(6)
A equação (6) afirma que as despesas totais do contribuinte no segundo
período compostas por: consumo de mercadorias mais o valor a ser pago de
impostos ao governo, deverão ser financiadas pelo valor de suas dotações
acrescidas do retorno bruto do investimento realizado no ativo nominal e pelo
valor das mercadorias adquiridas no primeiro período depreciadas pela taxa de
depreciação .
Como o contribuinte pode declarar um valor para suas dotações inferior ao
verdadeiro valor, de forma que , ,
então:
a. Se , o contribuinte terá mais recursos disponíveis para consumir
mercadorias, dado que o lado direito de (6), que representa as receitas, permanece constante e não depende do valor declarado. Entretanto, se
b. , o contribuinte paga integralmente o valor do imposto devido e a
equação torna-se igual à equação (2).
19 Na prova do teorema 2 será considerado
totalmente depreciável, pois do ponto de vista técnico não altera o resultado da prova.
A partir das duas possibilidades acima, o contribuinte poderia ficar tentado a declarar nenhuma variação em suas dotações, ou seja, não pagar impostos. Entretanto, sua utilidade depende não apenas do consumo de mercadorias, mas também do consumo dos bens públicos, desta forma, a fim de dissuadir os contribuintes a evadir impostos, eles sofrem uma penalidade diretamente nos termos de suas utilidades. E essa penalidade é proporcional ao montante evadido:
Assim o payoff de cada contribuinte passa a ser:
∑
O payoff acima representa o quanto, efetivamente, o contribuinte obterá de
retorno em cada estado da natureza s pagando a quantia de impostos. Observe
que se o contribuinte declarar o valor total de sua dotação no período 1, seu payoff será:
E a solução torna-se igual a do modelo sem evasão fiscal.
Contudo, ao pagar uma quantia o contribuinte sofrerá com a
penalidade20 e terá o seu payoff reduzido. Por outro lado, como visto
anteriormente, sobraria mais recursos para o consumo de mercadorias, o que pode elevar o valor de seu payoff. Assim, de acordo com (7), o contribuinte escolherá evadir impostos somente quando:
Essa expressão indica que quando a penalidade for menor que a utilidade
marginal de se consumir uma unidade a mais da mercadoria , o contribuinte
preferirá subdeclarar sua dotação no segundo período e elevar o consumo do ativo
20
A penalidade , se for independente do contribuinte , poderia ser interpretada como uma probabilidade do sonegador ser pego evadindo, portanto, seria uma punição esperada.
. Assim, o contribuinte mais que compensará a perda que terá no consumo do bem público.
Entretanto, caso a penalidade for superior à utilidade marginal de se consumir
uma unidade a mais da mercadoria , como a seguir
O contribuinte optará por declarar totalmente o valor de sua dotação e pagará integralmente o imposto devido.
A última hipótese seria
, neste caso o contribuinte ficaria indiferente
em evadir impostos ou não.
7.2 O GOVERNO
A mesma explicação dada ao governo no modelo sem evasão fiscal no que refere ao fato de se adicionar o mercado financeiro é utilizada aqui. Contudo, agora, o governo enfrenta a possibilidade de ver suas receitas menores devido à evasão fiscal. Este fato prejudica a capacidade de fornecer bens públicos aos contribuintes assim como a capacidade de pagar os títulos de dívida que são emitidos no período inicial.
Assim como no modelo anterior, no período inicial a restrição orçamentária do governo será:
(3)
O governo, no período inicial, capta recursos emitindo títulos de dívida para prover bens públicos. Entretanto, devido à possibilidade de evasão, no segundo período sua restrição orçamentária será:
∑
A equação (7) afirma que o débito total do governo no segundo período, composto pelo pagamento dos juros e do principal dos títulos de dívida, é integralmente financiado pelos impostos efetivamente arrecadados e pelo valor do bem público depreciado.
O termo representa a capacidade efetiva de recolhimento fiscal que é
racionalmente antecipada pelo governo21. Assim, pode ser definido como:
{
∑
∑ ∑
∑
A taxa de evasão fiscal é representada por .
Uma restrição importante: . Isso significa que o governo jamais
arrecada mais do que efetivamente lhe é devido de impostos. No máximo, os
contribuintes irão declarar somente o valor total de suas verdadeiras dotações22.
Desta maneira, o governo sabe que possivelmente suas receitas serão menores devido à evasão fiscal e assim planeja o orçamento do período seguinte. Como o governo somente equilibra o seu orçamento, (7) mostra que as despesas totais do governo no segundo período são compostas apenas pelo pagamento de juros e o principal do ativo nominal vendido no primeiro período. Essas despesas deverão ser financiadas pelas receitas totais do governo que são compostas pela
arrecadação fiscal do governo que é influenciada por e pelo valor do bem público
depreciado.
Assim, essa economia pode ser definida por:
21 Essa taxa pode ser calculada com séries históricas de evasão por setor ou por grupos de
contribuintes.
22 Na realidade, os contribuintes podem informar renda ou patrimônio superior ao que efetivamente
possuem. Apesar de ser fraude, e possivelmente acarretar em um pagamento maior de imposto, os contribuintes podem fazer isso por diversos motivos, por exemplo: comprovar maior patrimônio e conseguir maiores linhas de crédito, entre outros.
Onde os payoffs agora dependem da função de utilidade e da
penalidade . Os demais elementos da economia são definidos como no
modelo sem evasão fiscal.
7.3 EQUILÍBRIO
O equilíbrio desta economia, com bens públicos e evasão fiscal, é um vetor
de tal forma que as seguintes condições sejam
satisfeitas:
a. Cada contribuinte escolhe para maximizar sujeita às restrições (1) e (6).
b. O governo equilibra as restrições orçamentárias (3) e (7).
c. Os mercados estão em equilíbrio, isto é, a oferta é igual à demanda.
No primeiro período o mercado de mercadorias e o mercado de ativos estão em equilíbrio, respectivamente: ∑ ∑ ∑
No segundo período o mercado de mercadorias também está em equilíbrio:
∑
∑
d. A capacidade de arrecadação tributária é racionalmente antecipada pela autoridade fiscal: { ∑ ∑ ∑ ∑
7.4 EQUILÍBRIO REFINADO
A definição de equilíbrio refinado, neste modelo, consiste nas expectativas
das contribuições dos agentes que não possuem qualquer renda a ser
tributada. Neste modelo, a autoridade fiscal não pode ser otimista em relação ao recolhimento de impostos. Assim, é necessário a intervenção de um contribuinte
externo , por exemplo, um órgão público23, que não evade impostos e assim
garante uma contribuição infinitesimal para que haja o mínimo de tributação possível.
Por isso a necessidade de se utilizar a metodologia de equilíbrio refinado para provar a existência de equilíbrio para a economia com evasão fiscal, pois, retomando (8),
∑
∑ ∑
Ou seja, se os contribuintes pagarem alguma quantidade de
impostos. Entretanto, o governo não pode ser otimista com a arrecadação fiscal, e deve considerar a possibilidade de não haver qualquer pagamento de impostos, isto é:
∑
Diante da possibilidade de ser indefinido será descrito a seguir o equilíbrio
estimulado.
Considere como a renda sujeita à tributação do agente
externo .
– Equilíbrio estimulado
Definição 2: O vetor é dito como um – equilíbrio estimulado se as seguintes condições forem satisfeitas:
i. Para cada contribuinte , escolhe para maximizar
sujeito ao conjunto orçamentário ( )
23
No Brasil os entes governamentais (União, Estados e Municípios) não podem tributar a renda, um dos outros, proveniente de suas atividades fim. Contudo, a parcela de receitas provenientes de atividades que não fazem parte da finalidade essencial do órgão pode sofrer tributação por todas as esferas governamentais. Um exemplo claro é a Caixa Econômica Federal, que apesar de ser uma empresa pública Federal, deve pagar IPTU (imposto municipal) referente aos imóveis de sua titularidade.
ii. O governo equilibra seus orçamentos, tanto no primeiro, quanto no segundo período: [∑ ]
Observe na restrição do governo no segundo período que agora existe, no
mínimo, o pagamento de impostos por parte do agente externo , pois como dito
anteriormente este agente não evade impostos. iii. Os mercados estão em equilíbrio.
Os mercados de mercadorias e de títulos, respectivamente, estão em equilíbrio no primeiro período:
∑ ∑ ∑
E no segundo período o mercado de mercadorias também está em equilíbrio: ∑
∑
iv. A capacidade efetiva de arrecadação fiscal do governo é determinada por:
{ ∑ ∑
O contribuinte externo com renda não evade impostos em qualquer
estado da natureza. Ele, assim, estimula o equilíbrio da economia, impedindo que o governo não tenha qualquer receita fiscal. Assim, a capacidade de arrecadação
fiscal do governo é irrelevante se , pois nada seria tributado e o governo
não teria receitas no segundo período, portanto, arbitrariamente neste caso
. Entretanto no caso de , o estímulo desaparece quando e as
receitas fiscais do governo são positivas.
Por simplificação notacional, a partir de agora será retirado o parâmetro das variáveis endógenas de equilíbrio.
Definição 3. Um equilíbrio é dito como um
equilíbrio refinado se, e somente se, ele for o limite de uma sequência de equilíbrios
Esta definição diz que um equilíbrio é chamado de refinado se ele é o limite
de uma sequência de equilíbrios estimulados pelo agente quando
7.5 EXISTÊNCIA
As condições de existência para este modelo com evasão fiscal é definida pelo teorema a seguir:
Teorema 2: Para uma economia onde:
i: para todos os contribuintes , , ou seja, a dotação de cada contribuinte deverá ser maior que 0.
ii: os payoffs definidos por penalidades finitas são definidos por funções contínuas, estritamente crescentes e quase-côncavas (contribuintes avessos ao risco).
iii: .
Existe um equilíbrio refinado para a economia .
7.6 RESULTADO
Para provar o Teorema 2, primeiro será preciso definir um equilíbrio refinado, como, por exemplo, em Dubey-Geanakoplos-Shubik (2005). Ao final, será mostrado que o equilíbrio refinado corresponde ao equilíbrio para a economia modelada com evasão fiscal.
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve como objetivo contribuir para a literatura sobre evasão fiscal, através da elaboração de dois modelos, um com e o outro sem evasão fiscal, para demonstrar que o equilíbrio em mercados incompletos existe mesmo na presença da evasão fiscal. É importante ressaltar que essa conclusão só poderá ser tomada considerando as hipóteses assumidas nos modelos, como agentes tomadores de preços e o governo equilibrando seus orçamentos. Essa questão se torna ainda mais importante na atualidade, quando os governos estão interessados em reduzir os elevados déficits fiscais elevando a arrecadação fiscal.
Através de uma breve revisão bibliográfica no capítulo 3, foi possível conhecer um pouco sobre o desenvolvimento dos estudos sobre evasão fiscal, demonstrando as diversas facetas que este tema envolve.
Este trabalho inovou ao criar um modelo, ainda que preliminar, que pudesse analisar o bom funcionamento dos mercados na presença da evasão fiscal. Para atingir esse objetivo, inicialmente, analisou-se o equilíbrio em mercados incompletos sem a presença da evasão fiscal. Posteriormente foi analisado o equilíbrio em mercados incompletos com a presença da evasão fiscal.
Pesquisas posteriores poderiam abordar a evasão fiscal em um contexto de outro ponto de vista que não foi discutido neste trabalho, como é o caso em que o bem público seria endógeno. Além disso, o modelo poderia ser estendido e considerar a existência de gerações sobrepostas, a fim de se tornar a análise mais realista.
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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SLEMROD, J. Cheating Ourselves: The Economics of Tax Evasion. Journal of Economic Perspectives Vol. 21, Number 1, 2007, pp. 25-48
RECEITA FEDERAL DO BRASIL. Carga tributária no Brasil 2009. Disponível em: http://www.receita.fazenda.gov.br/Publico/estudoTributarios/estatisticas/CTB2009.pd
10. APÊNDICE
10.1 DEFINIÇÕES
Nesta seção serão dadas algumas definições utilizadas ao longo do trabalho. a) Definição de correspondência:
Uma correspondência é uma função que tem como imagem um conjunto. Neste caso, para cada sistema de preços, associa-se um conjunto de estratégias factíveis (conjunto orçamentário).
Considere, por exemplo, como todos os subconjuntos de Y. Uma
correspondência a partir de X para Y é uma função de X para uma família de
subconjuntos de Y. Isso é denotado como: .
b) Definição de semi-continuidade superior
Suponha que X é o espaço topológico, e que e é uma função
dos reais. Diz-se que é semi-contínua superior em se para cada existe
uma vizinhança W de tais que .
c) Definição de semi-continuidade inferior
Suponha que X é o espaço topológico, e que e é uma função
dos reais. Diz-se que é semi-contínua inferior em se para cada existe uma
vizinhança W de tais que .
d) Definição do teorema do máximo
Considere o caso de o conjunto ser considerado como o conjunto de parâmetros, e X ou Y o conjunto de alternativas.
Considere e seja uma correspondência com valores
compactos. Considere seja contínua. Defina por , e por para Se é contínua em x, então é fechado e semi-contínua superior em e é contínua em Além disso, é compacto.
e) Definição do teorema do ponto fixo do Kakutani
Seja não vazio, compacto e convexo e considere Suponha
que exista uma correspondência fechada com valores compactos,
convexos e não vazios, onde é compacto e convexo, e uma função contínua
tal que para cada
Então tem um ponto fixo e existe algum satisfazendo .
10.2 PROVA DO TEOREMA 1
Seja um equilíbrio para o jogo generalizado ζ que existe a partir do lema 2.
Deve-se provar que também corresponde a um equilíbrio para ε.
Assumindo que , tem-se que:
Como , se cumpre o seguinte:
Devido ao lema 2, maximizam respectivamente. Assim, o
governo equilibra seus orçamentos, como em ε:
∑
Somando (A) em e depois somando-se em (C), tem-se:
∑( )
∑
Somando-se em (B) e depois somando-se em (D) obtém-se:
∑
[ ∑
Note que (F) e (G) valem com igualdade se (A) e (B) também valem. Isto segue-se da monotocidade das utilidades.
Como o leiloeiro escolhe ( de forma a maximizar seu payoff, isto é, o
excesso de demanda, então obtém-se:
∑ ( )
∑
Similarmente, como maximiza o excesso de demanda no segundo
período, tem-se:
∑
Suponha que exista um tal que:
∑
Isso implica que , isto é, os contribuintes poderiam aumentar o
consumo contradizendo a equação (A), portanto, não é ótimo. Assim, o consumo
é o máximo possível, e (*) vale com igualdade:
∑
∑
Do mesmo modo, suponha que a desigualdade em (***) é estrita para um
. Isto implica que . Portanto, cada contribuinte pode aumentar seu
consumo contradizendo a otimização de . Então:
∑
∑
Substituindo a equação anterior em (G) e sabendo que (G) vale com igualdade, tem-se:
[ ∑
] O item iii do teorema 1 implica que:
∑
Assim, todos os mercados estão em equilíbrio e o teorema 1 vale.
10.3 PROVA DO TEOREMA 2
Sob as hipóteses (i) a (iii) do teorema 2, a economia possui um equilíbrio
refinado.
Inicialmente considere um contribuinte externo e que ele possua uma renda
de tal forma que:
Deve-se provar a existência de um equilíbrio estimulado pelo agente
Por simplificação notacional, a partir de agora será retirado o parâmetro das
variáveis endógenas de equilíbrio.
Inicialmente considere um suficientemente pequeno e o seguinte
conjunto de preços: { } Onde: ∑
Assim o conjunto de preços fica limitado e fechado, logo compacto.
Como a é estritamente crescente, isto implica que tal que: Se
‖ ‖ (∑ ) ∑
Agora defina para cada contribuinte seu conjunto de escolhas:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖
O conjunto de escolhas de cada contribuinte está agora limitado e
fechado, logo é compacto.
Reunindo todos os conjuntos de escolhas de todos os contribuintes e
denotando como o produto cartesiano de todas as escolhas, obtém-se:
Considere, para simplicidade notacional, , de tal forma que
. Assim representa o conjunto de escolhas que cada
contribuinte possui.
Denote como o conjunto de todas as escolhas dos contribuintes, agentes e
leiloeiros:
‖ ‖
Por simplicidade notacional considere:
‖ ‖
Defina uma função que define a capacidade de arrecadação do governo,
de tal forma que:
Como : { { ∑ ∑ }
Observe que é contínua, pois:
( ∑ )
( ∑ )
Se , o numerador tende para infinito. Conforme a interpretação de
, o mínimo entre infinito e 1 é 1. Logo é contínua.
Defina um leiloeiro de tal forma que seu objetivo é escolher os preços
para maximizar seu payoff em ambos os períodos, isto é: e
, então: { ∑ ∑ (∑ ) ∑ (∑ ) }
Esta correspondência é não vazia, possui valores convexos e pelo teorema
do máximo24 é semi-contínua superiormente.
Agora, para cada defina um leiloeiro e que
Propriedades de :
1) e é convexo. é côncava porque é contínua.
Segue uma afirmação: é semi-contínua inferiormente.
2) é semi-contínua superiormente pelo teorema do máximo.
O governo possui fiscais, que serão definidos a seguir, que escolhem
de tal forma a maximizar seus payoffs. No primeiro período o fiscal do governo
escolhe da seguinte forma:
‖ ‖ como ∑ ( ) E seja: ∑ ∑
Considere, agora, a seguinte correspondência: definida por:
A correspondência obedece a todas as hipóteses do teorema do
Kakutani25, logo, é um ponto fixo. Isto é:
A relação acima implica que:
24 Ver apêndice sobre a definição do teorema do máximo. 25 Ver definição do teorema do Kakutani no Apêndice.