Finalizando nosso trabalho, resta mostrar quais os problemas propostos por Santaló que continuam abertos até hoje, que são os seguintes casos: (A, p, D), (A, D, r), (A, r, ω), (A, R, ω), (p, D, r), (p, r, ω) e (p, R, ω).
Apêndice A
Continuidade do caminho
α
7→ αX + (1 − α)Yf
Nesse apêndice provaremos que, dados X e Y dois corpos convexos de Rn, a função
f : [0, 1] → C , de nida por f(α) = αX + (1 − α)Y , é uma função contínua. Sejam então α0 ∈ [0, 1] e ε > 0. Queremos encontrar δ > 0 tal que, |α − α0| < δ ⇒ dH(f (α), f (α0)) <
ε.
Consideremos a = sup{kxk; x ∈ X}, b = sup{kyk; y ∈ Y } e c = max{a, b}. Portanto, se x ∈ X e y ∈ Y , vale
kαx + (1 − α)y − (α0x − (1 − α0) y)k ≤ kαx − α0xk + k(1 − α)y − (1 − α0) yk =
= |α − α0| · kxk + |α − α0| · kyk = |α − α0| · [kxk + kyk] ≤
≤ |α − α0| · 2c.
(A.1) Tomemos então δ = ε
4c e α ∈ B(α0, δ) e seja z ∈ f(α). Sabemos que z ∈ f(α) ⇔ z =
αx + (1 − α)y, com x ∈ X e y ∈ Y . Logo z0 = α0x + (1 − α) y ∈ α0X + (1 − α0) Y. Por
outro lado, kz − z0k ≤ |α − α0| · 2c < δ · 2c = ε2, por (A.1). Portanto z ∈ B(z0, ε/2).
Resumindo, para cada z ∈ f(α), existe z0 ∈ f (α0)com z ∈ B(z0, ε/2). Analogamente,
para cada z0 ∈ f (α0), existe z ∈ f(α) com z0 ∈ B(z, ε/2). Assim f(α) ⊂ f (α0)+B(0, ε/2)
e f (α0) ⊂ f(α) + B(0, ε/2).
Como f(α) ⊂ f (α0) + B(0, ε/2) e f (α0) ⊂ f(α) + B(0, ε/2), então dH(f (α), f (α0)) ≤
ε/2 < ε.
Apêndice B
Uma propriedade dos conjuntos
centralmente simétricos
Queremos mostrar que todo corpo convexo centralmente simétrico deR2 está contido
em um segmento de círculo simétrico com mesmo diâmetro e mesma largura mínima. Mas antes, mostraremos um teorema mais geral.
Teorema B.1
Seja K um corpo convexo centralmente simétrico deRncom centro c e diâmetro D. Então
existem E1 e E2 semi-espaços suporte de K, com faces H1 e H2, respectivamente, tais
que:
(i) d(H1, H2) = ω(K);
(ii) K ⊂ E1∩ E2∩ B[c, D/2];
(iii) d(c, H1) = d(c, H2).
Antes de demonstrarmos esse teorema, precisaremos de um lema. Lema B.2
Se H é um hiperplano com vetor normal unitário u, x /∈ H e y ∈ H, então d(x, H) = |hx − y, ui|.
Prova: do lema.
Sabemos que d(x, H) = inf {d(x, z) | z ∈ H}. Mas d(x, z) = kx − zk e x − z = hx − z, v1i v1 + · · · + hx − z, vn−1i vn−1 + hx − z, ui u, sendo {v1, . . . , vn−1, u} uma base
ortonormal de Rn.
Como H é um hiperplano com vetor normal u, então H = {z| hz, ui = α}, com α uma constante.
Seja então {v1, . . . , vn−1, u} uma base ortonormal de Rn,
kx − zk2 = n−1 X i=1 hx − z, vii2+ hx − z, ui2 ≥ hx − z, ui2 = |hx, ui − α|2. Portando d(x, H) ≥ |hx, ui − α|. Tomando k =Pn−1
i=1 hx, vii vi+αu, temos que k ∈ H e que kx−kk = khx, ui u − αuk =
|hx, ui − α|. Logo d(x, H) = |hx, ui − α|. 89
Por outro lado, |hx − y, ui| = |hx, ui − α|, pois y ∈ H. Logo d(x, H) = |hx − y, ui|. ¤ Prova: do Teorema B.1.
(i) Sabemos que ω(K) = ωu(K), para algum u ∈ Sn−1, logo ω(K) = ωu(K) =
d(H1, H2), sendo H1 = {x| hx, ui = Hu(K)} e H2 = {x| hx, −ui = H−u(K)}, pela Pro-
posição 2.5.
(ii) Além disso, pela Proposição 2.4,K ⊂ {x| hx, −ui ≤ H−u(K)}∩{x| hx, ui ≤ Hu(K)}.
Chamemos então E1 = {x| hx, ui ≤ Hu(K)} e E2 = {x| hx, −ui ≤ H−u(K)}.
Mostraremos que K ⊂ B[c, D/2]. Para isso seja x ∈ K, logo 2c−x ∈ K e d(2c − x, x) = d(x, c) + d(c, 2c − x) = 2kc − xk, pois c está entre x e 2c − x. Como d(x, 2c − x) ≤ D, então kc − xk ≤ D/2 e K ⊂ B[c, D/2].
(iii) A rmo que se x0 ∈ H1 ∩ K, então 2c − x0 ∈ H2. Suponha, por absurdo, que
2c − x0 ∈ H/ 2, logo h2c − x0, −ui < H−u(K), pois 2c − x0 ∈ K ⊂ {x| hx, −ui ≤ H−u(K)}.
Por outro lado, x0 ∈ H1 ⇒ hx0, ui = Hu(K), portanto h2c − x0, −ui < H−u(K) ⇒
2 hc, −ui + hx0, ui < H−u(K) ⇒ 2 hc, ui > Hu(K) − H−u(K).
Seja então x1 ∈ H2∩ K, logo hx1, −ui = H−u(K) e 2c − x1 ∈ K. Mas então
h2c − x1, ui = 2 hc, ui + hx1, −ui = 2 hc, ui + H−u(K) >
> Hu(K) − H−u(K) + H−u(K) = Hu(K).
Contradição. Portanto 2c − x0 ∈ H2.
Como x0 ∈ H1 e 2c − x0 ∈ H2, então
d(c, H1) = | hc − x0, ui | e d(c, H2) = |hc − (2c − x0) , ui| = |h−c + x0, ui|. Portanto
d(c, H1) = d(c, H2). ¤
Corolário B.3
Se K é um corpo convexo centralmente simétrico de R2, então K está contido em um
segmento de círculo simétrico com mesmo diâmetro e mesma largura mínima. Prova:
Sejam D = D(K), ω = ω(K) e c o centro de K. Tome então E1 e E2dois semi-espaços
suporte de K com faces H1 e H2, respectivamente, tais que:
(i) d(H1, H2) = ω(K);
(ii) K ⊂ E1 ∩ E2 ∩ B[c, D/2];
(iii) d(c, H1) = d(c, H2).
Como estamos em R2, então o conjunto C = E
1∩ E2 ∩ B[c, D/2] é um segmento de
círculo simétrico. Além disso, H1 e H2 são hiperplanos suporte paralelos de C, portanto
ω(C) ≤ d(H1, H2) = ω.
Como K ⊂ C ⇒ ω = ω(K) ≤ ω(C), segue então que ω(C) = ω = ω(K).
Apêndice C
Uma caracterização dos conjuntos
fechados de Rn
Teorema C.1
F ⊂ Rn é fechado se, e somente se, ∀x ∈ Rn
, ∃y ∈ F tal que d(x, y) = d(x, F ). Prova:
(⇒) Seja x ∈ Rn e α = d(x, F ). Como α = inf{d(x, z) | z ∈ F }, então existe uma
seqüência (yn)n∈N de elementos de F satisfazendo d(x, yn) → α.
Seja então ε > 0, logo existe N ∈ N tal que, d(x, yn) < α + ε, ∀n ≥ N, ou seja,
yn ∈ B[x, α + ε] , ∀n ≥ N. Assim a seqüência (yn)n∈N é limitada, portanto existe uma
subseqüência (yni)i∈N convergente.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que (yn)n∈N é convergente e yn → y. Sendo
F fechado, y ∈ F .
Como yn → y e a função z 7→ d(x, z) é contínua, então d(x, yn) → d(x, y). Por outro
lado, d(x, yn) → α, ou seja, d(x, y) = α.
(⇐) Suponhamos agora que ∀x ∈ Rn, ∃y ∈ F tal que d(x, y) = d(x, F ). Seja então
x um ponto de acumulação de F , logo existe uma seqüência (yn)n∈N de elementos de F
com yn → x.
Seja também y ∈ F tal que d(x, y) = d(x, F ). Mas d(x, F ) = 0, pois yn→ x. Portanto
d(x, y) = 0e x = y ∈ F . ¤
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Índice Remissivo
C, 37 C, 37 °, 58 <¯>, 59 Ker, 2 ≬, 59 Y, 59 BH, 33 dH, 32 C, 6 ⊂⊃, 59 , 59 | | °, 59 △, 58 △ω D, 59 △◦, 59 △is, 59 ω = c, 59 ωA = c, 78 n-cubo, 33 área, 48 cent, 59 a.d., 8 a.i., 8 a m combinação, 7 conjunto, 6 dependente, 8 independente, 8 subespaço, 3 aproximação cúbica, 34 capbody, 52 Caratheodory, 10 centróide, 13 centralmente simétrico, 44 circunraio, xi, 48 combinação a m, 7 convexa, 7 conjunto a m, 6 centralmente simétrico, 44 convexo, 1 de largura constante, 46 de Yamanouti, 51 convexa combinação, 7 envolvente, 10 convexo conjunto, 1 corpo, xi, 30 núcleo, 2 coordenadas baricêntricas, 13 diâmetro, 45 Diagrama de Blaschke, 55 distância de Hausdor, 32 face, 17 função área, 48 circunraio, 48 diâmetro, 45 inraio, 46 largura, 43 perímetro, 48 suporte, 41 hiperplano, 4 suporte, 20 inraio, xi, 46 interior relativo, 4 largura, 43 constante, 46 mínima, xi, 43 95lente simétrica, 51 núcleo convexo, 2 perímetro, 48 polytope, 11
pontos fronteira correspondentes, 31 salsicha, 52
segmento de reta, 1
segmento simétrico de círculo, 52 semi-espaço, 17
suporte, 23
simetrização central, 44 simplex, 11
sistema completo de desigualdades, xii, 53 subdivisão cúbica, 33 subespaço a m, 3 suporte função, 41 hiperplano, 20 semi-espaço, 23
Teorema de Seleção de Blaschke, 34 triângulo circular, 52 vetor normal exterior, 19 interior, 19 Yamanouti conjunto de, 51