Um sistema de Regressões Aparentemente Não-Relacionadas (SUR) compreende várias equações individuais ligadas entre elas pelo fato de seus termos de erro estarem correlacionados. A utilização de SUR, segundo Moon e Perron (2006), tem a vantagem de poder usar toda a informação gerada pela combinação das diferentes equações do sistema, resultando em ganho de eficiência para a estimação.
Considerando a existência de correlação entre os erros das equações do sistema, como indicam os trabalhos da literatura para o sistema utilizado neste estudo, o método elaborado por Zellner (1962) demonstra ser, ao menos, assintoticamente, mais eficiente do que a estimação por mínimos quadrados ordinários (MQO). Seu procedimento de estimação de SUR é brevemente descrito a seguir.
Suponha que a !é#$%& equação em um sistema de ' equações seja:
($ = *$+$+ -$ ! = 1, … , ' (A.1)
em que ($ é um vetor 2×1 das observações na !é#$%& variável; *$ é uma matriz 2×4$ das
observações das variáveis explicativas; +$ é um vetor 4$×1 dos coeficientes e; -$ é o vetor
2×1 dos erros aleatórios. Assume-se que inexista correlação entre o erro aleatório e as variáveis explicativas de cada equação. As ( variáveis podem representar os insumos e produtos considerados no estudo. O motivo pelo qual estas equações devem ser tratadas como um sistema é a possibilidade de haverem fatores comuns influenciando os erros em distintas equações que não foram especificadas explicitamente nas matrizes de variáveis explicativas. Neste sentido, ao considerar o sistema como um todo, este é tido como um método de informação completa. O sistema de equações pode ser assim escrito:
(5 (6 ⋮ (8 = *5 0 … 0 0 *6 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … *% +5 +6 ⋮ +% + -5 -6 ⋮ -% (A.2) ou
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( = *+ + - (A.3)
Por definição, a matriz de variância-covariância de - é:
Σ = < ==′ = < =5=′5 < =5=′6 … < =5=′% < =6=′5 < =6=′6 … < =6=′% ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ < =%=′5 < =%=′6 … < =%=′% (A.4)
Cada termo da diagonal principal de Σ é uma matriz de variância-covariância 2×2. Deste modo, < =$=′? é uma matriz de variância-covariância do erro na !é#$%& equação. Cada
termo fora da diagonal principal em Σ representa uma matriz 2×2 cujos elementos são as covariâncias contemporâneas e defasadas entre os erros de um par de equações quaisquer. Se assume que:
< =$=′? = @$?A !, B = 1, … , '. (A.5)
Definindo ! = B, tem-se que o erro em qualquer equação é homocedástico e não- correlacionado. O valor da variância da constante pode ser diferente em diferentes equações. Já quando ! ≠ B, pressupõe-se haver uma correlação contemporânea entre os termos de erro da !é#$%& e da Bé#$%& equações, ao passo em que não haverá correlação entre os termos de erro
defasados. Substituindo a equação (A.5) na equação (A.4), tem-se:
Σ = @55A @56A … @5%A @65A @66A … @6%A ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ @%5A @%6A … @%%A = @55 @56 … @5% @65 @66 … @6% ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ @%5 @%6 … @%% ⊗ A = ΣF ⊗ A (A.6)
em que A é a matriz identidade de ordem 2×2 e ⊗ denota o multiplicador de Kroneker, que implica que cada elemento em ΣF é multiplicado por A.
Tendo em vista a equação (A.6), o método de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG) dará o melhor estimador linear não enviesado do vetor + da equação (A.3); ou seja, o sistema de equações deve ser estimado em conjunto, e não uma equação por vez. O estimador de MQG é assim definido:
87 GHIJ = (*′ΣL5*)L5*′ΣL5( (A.7) em que ΣL5= ΣFL5⊗ A = @55A … @5%A ⋮ ⋱ ⋮ @%5A … @%%A . (A.8)
A matriz de variância-covariância do estimador de MQG é:
NOP(GHIJ) = (*′ΣL5*)L5 (A.9)
O problema operacional que surge com este estimador é que os elementos de ΣF são
desconhecidos. A solução descrita em Zellner (1962) sugere que se construa um estimador de MQG “factível”, estimando cada uma das ' equações separadamente por MQO e utilizando os resíduos resultantes para estimar @$?. Os procedimentos de inferência a partir do modelo
resultante terão validade apenas assintóticamente, ou seja, considerando-se grandes amostras. Como já mencionado, há dois casos referentes ao estimador SUR que merecem menção. Se:
@$? = 0 ! ≠ B
ou
*5 = *6 = ⋯ = *%
então o estimador de MQG não surtirá outro efeito que não o da aplicação de um estimador de MQO, sendo então, este último preferível, dado o princípio da parcimônia. Ademais, se os erros forem normalmente distribuídos, os estimadores de MQO serão equivalentes a estimadores de Máxima Verossimilhança.
Neste sentido, saber se há existência de correlação contemporânea ou não é importante, já que se não houver, aplicar Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) a cada equação, separadamente, será tão eficiente42 quanto estimar o SUR. Assim, testar se existe correlação contemporânea é útil para determinar a necessidade de utilizar um estimador diferente do MQO. Uma das opções é o uso do teste estatístico do Multiplicador de Lagrange,
42 Sendo T e Z estimadores não-tendenciosos do parâmetro q, então quando var (T) < var (Z), afirma-se que T é
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recomendado por Breusch e Pagan (1980): sendo -$ o erro da equação ! e -? o erro da equação
B, testa-se RS = @$? = 0 ∀ ! ≠ B contra R& = ao menos uma covariância é diferente de zero.
Confirmada a hipótese da correlação entre os erros, não se pode utilizar o método MQO. O estimador de MQO é não-tendencioso e eficiente para equações não correlacionadas pelos erros. Como já demonstrado, nas equações aparentemente não-relacionadas, os estimadores de MQO são eficientes em apenas dois casos, segundo Kmenta (1990): i) quando as equações são efetivamente não-relacionadas e; ii) quando as variáveis explicativas forem exatamente as mesmas em cada equação. Caso estas condições não se verifiquem, o método clássico de MQO pode não ser aplicável, pois os estimadores assim obtidos não serão consistentes, ou seja, não convergem para seus verdadeiros valores populacionais, por maior que seja o tamanho da amostra.
Em síntese, o método indicado para aplicação nos casos de SUR é o proposto por Zellner (1962), que demonstrou que, quando há correlação entre os erros aleatórios das diferentes equações do sistema, há um ganho de eficiência quando da estimação por Mínimos Quadrados Generalizados (MQG), sendo este ganho tanto maior quanto maior for o grau de correlação entre os erros e menor for a correlação entre as variáveis explicativas nas diferentes equações.
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