Økonomisk teori og offentlige anskaffelser

Os modelos baseados nas observações de Huxley (1957) são fisiológicos e levam, portanto, em conta processos que ocorrem em nível molecular durante o ciclo de pontes cruzadas da contração muscular. Já os modelos fenomenológicos baseiam-se em relações acerca da energia durante a contração nas observações feitas porHill(1938) em experimen- tos com músculos de sapos. Ao estabelecer uma relação de equilíbrio de forma a manter o princípio da conservação de energia,Hill (1938) obteve uma relação entre a velocidade de contração v e a tensão muscular P (MUGGENTHALER, 2006):

(a + P )(v + b) = b(P0+ a) (3.167)

onde a e b são constantes e P0 é a tensão sob força isométrica máxima. Observe que, na

Equação 3.167, não existe uma dependência entre a força muscular e o comprimento da fibra muscular. Baseado em experimentos com fibras isoladas,Gordon, Huxley e Julian (1966) estabeleceram uma relação entre o comprimento da fibra muscular e tensão resultante. Isto ocorre porque a tensão muscular ativa depende do número de pontes cruzadas que se formam durante a contração muscular, as quais por sua vez, dependem do comprimento atual da fibra. Um maior número de pontes cruzadas e, por consequência uma máxima tensão isométrica P0, é alcançada com o músculo no seu comprimento ótimo. Com a

contração muscular, tem-se uma redução no número máximo possível de pontes cruzadas, havendo então uma redução na máxima força isométrica possível P0. (MUGGENTHALER,

A Figura 11 ilustra a dependência entre o comprimento e a tensão muscular, bem como a dependência entre a velocidade de contração e a força muscular. Se o músculo também sofrer um alongamento, deve-se então também considerar uma parcela passiva adicional de tensão. (MUGGENTHALER, 2006)

Comprimento da Fibra T e n sã o l0 Comprimento do Músculo T e n sã o l0 Velocidade de Contração F o rça l0 ativo total passivo

Figura 11 – Propriedades musculares Fonte: adaptado de Muggenthaler (2006)

Um modelo muscular clássico baseado em Hill (1938) conta com três componentes e está ilustrada na Figura 12. O esquema consiste de um elemento de contração EC, um elemento elástico em paralelo EP e um elemento elástico em série ES. O elemento de contração EC representa a componente ativa e geradora de força muscular da fibra muscular com suas estruturas moleculares de contração e dependência da velocidade de contração e comprimento da fibra. O comportamento passivo do tecido de ligação que envolve a fibra é representado através do elemento elástico em paralelo. A transmissão de força dos músculos, órgãos e ossos acontece através do elemento em série ES e pode ser atribuída aos tendões. (MUGGENTHALER, 2006)

EC

EP

ES

Figura 12 – Modelo de Hill

Fonte: adaptado de Muggenthaler (2006)

Para o modelo daFigura 12, a força transmitida através do tendão é igual a soma da força gerada pelo elemento de contração EC com a força passiva provocada pelo elemento elástico em paralelo EP (MUGGENTHALER, 2006):

Para os elementos elásticos em paralelo EP e em série ES valem relações visco hiperelásticas. Também é possível representar a contração (elemento EC) através de uma função dependente da atividade muscular q, comprimento do músculo l e da velocidade de contração v. Uma expressão matemática da força muscular frequentemente utilizada é uma relação multiplicativa conformeEquação 3.169, onde cada dependência entra como um fator no cálculo da força muscular (MUGGENTHALER, 2006):

FEC = qflfvFmax (3.169)

Em medições experimentais observa-se a máxima força isométrica possível Fmax

sob condições de comprimento ótimo do músculo lopt, velocidade de contração de v = 0 e

máxima atividade muscular q = 1. Portanto, para l = lopt e v = 0 têm-se respectivamente fl = 1 e fv = 1.

Conforme ilustrado na Figura 13, Fung (1993 apud MUGGENTHALER, 2006) introduziu um mecanismo adicional de armazenamento de energia no modelo de Hill através de um elemento elástico em série (ES2) com o elemento de contração (EC). Segundo

Martins et al. (1998), esse é o elemento que permite o músculo passar rapidamente do estado inativo para o estado ativo.

Elemento de Contração EC Elemento em Paralelo EP Elemento em Série 2 ES2 Elemento em Série 1 ES1

Figura 13 – Modelo de Hill (1938) modificado onde na anterior têm-se que:

– Elemento de Contração (EC) representa o comportamento muscular ativo. É livremente extensível quando inativo, porém capaz de se contrair quando ativado (MARTINS et al.,1998).

– Elemento em Série (ES1) representa o tecido de acoplamento entre os músculos e os ossos e pode ser atribuido aos tendões.

– Elemento em Série (ES2) representa a chamada elasticidade intrínseca relacionada com as propriedades mecânicas das moléculas de miosina, actina e com o mecanismo das

pontes cruzadas (MUGGENTHALER,2006). Esse é o elemento que permite a contração da fibra.

– Elemento em Paralelo (EP) representa o comportamento muscular passivo, mesmo quando o elemento de contração está desativado. (MARTINS et al., 1998)

O modelo unidimensional de Hill (1938) é um modelo contínuo (unidimensional) que não separa as fibras (elemento de contração EC com comportamento ativo) da matriz (elemento em paralelo EP com comportamento passivo). No entanto, a abordagem proposta neste trabalho, e que será detalhada adiante, é discreta e consiste em separar o comportamento ativo do comportamento passivo, isto é, separar as fibras da matriz.

3.3.2

Comportamento muscular passivo

A modelagem do comportamento muscular passivo (elementos EP, ES1 e ES2 no modelo de Hill (1938)) consiste em encontrar a relação não linear existente entre tensão e deformação através de modelos constitutivos hiperelásticos e/ou viscoelásticos. No entanto, diferente do que ocorre na lei de Hooke, a hiperelasticidade não relaciona a tensão e a deformação de uma maneira explicita. Ao invés disso, utiliza a Mecânica do Contínuo para redefinir os conceitos de tensão e deformação usuais e concluir a existência de uma grandeza fundamental chamada energia específica de deformação, a qual engloba em uma única grandeza tanto a tensão como a deformação.

Assim e, conforme já mencionado anteriormente, a hiperelasticidade consiste em escrever o escalar energia específica de deformação em função do campo de tensões ou deformações e a partir daí, então, derivar relações entre esses dois campos. Essa energia específica é geralmente escrita em função dos invariantes de deformação, facilitando assim o seu cálculo uma vez que os invariantes independem da orientação dos planos de corte no ponto.

Sendo a energia específica de deformação no ponto escrita em função das deforma- ções é possível demonstrar que sua primeira derivada com relação ao tensor de deformações de Green é o 2o _{tensor de tensões de Piola-Kirchhoff e, finalmente, através da Álgebra}

Tensorial é possível relacionar as tensões de Piola-Kirchhoff e as deformações de Green com as tensões e deformações usuais de engenharia.

SegundoJohansson, Meier e Blickhan (2000), a descrição Lagrangiana do compor- tamento passivo dos tecidos biológicos frequentemente adota uma expressão exponencial para a parcela de energia de deformação a volume constante (uiso naEquação 3.61).

Além do fato dos tecidos musculares serem essencialmente incompressíveis (prova- velmente devido a presença de bastante água em sua composição (HUMPHREY, 2003)), pouco se conhece acerca de seu comportamento tridimensional e suas leis constitutivas (MARTINS et al.,1998).