Praktiske løsninger ved projeksjon av bilder

Praktiske løsninger ved projeksjon av bilder

Konformt, ekviarealt og isometrisk standardavvik Hallvard Vonen

Masteroppgave, våren 2019

Denne masteroppgaven er levert inn under masterprogrammetMatematikk, studieretning Matematikk, ved Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Oppgaven er normert til 60 studiepoeng.

Forsiden viser et utsnitt av rotsystemet til den eksepsjonelle liegruppenE₈, projisert ned i planet. Liegrupper ble oppfunnet av den norske matematikeren Sophus Lie (1842–1899) for å uttrykke symmetriene til differensiallikninger og spiller i dag en sentral rolle i flere deler av matematikken.

Sammendrag

Denne oppgaven tar for seg projeksjoner på vegger. Når man projiserer et bilde på en vegg, ønsker man at det ikke skal bli fordreid. Vi vil ta for oss hvordan punkter, linjer og flater blir projisert, og viser at avbildningene som ikke blir fordreid, er isometriske. Vi bruker den første fundamentale formen til å vise at alle isometriske avbildninger er konforme og ekviareale. Oppgaven definerer deretter det konforme og ekviareale standardavviket, som uttrykker hvor langt en avbildning er fra å være isometrisk. For enklere å kunne sammenligne standardavviket til forskjellige projeksjoner defineres konform, ekviareal og isometrisk energi. Energien kan brukes til å avgjøre hvilken parametrisering av en vegg som er minst fordreid.

Takk til

Jeg vil rette en stor takk til min veileder Arne B. Sletsjøe, som har vært svært tålmodig og hjelpsom fra første dag i prosessen. Det var ham som gjorde meg nysgjerrig på dette fagfeltet. Jeg vil også takke Barco Fredrikstad for at jeg fikk mulighet til å jobbe med projeksjoner hos dem sommeren 2018.

Innholdsfortegnelse

Sammendrag i

Takk til iii

Innholdsfortegnelse vi

Figuroversikt vii

Tabelloversikt viii

1 Introduksjon 1

2 Sentralprojeksjon 3

2.1 Generelle projeksjoner . . . 3

2.2 Eksempel 1 - projeksjon på kule . . . 4

2.3 Punkter på plan . . . 6

2.4 Vektorer i plan . . . 7

2.5 Trekanter i plan . . . 8

3 Projektor-egenskaper 10 4 Hva er et fint bilde? 12 4.1 Projeksjoner - skalerte isometrier . . . 15

5 Tilbakedragning av fine parametriseringer 16 6 Mangfoldigheter 16 6.1 Den eksponentielle avbildningen . . . 17

6.2 Eksempel 2 - Eksponentiell parametrisering av kulen . . . 19

7 Gauss-krumning 20 7.1 Enkeltkrummede og ikke enkeltkrummede flater . . . 21

8 Første og andre fundamentale form 22 8.1 Første fundamentale form . . . 23 8.2 Andre fundamentale form . . . 23 8.3 Eksempel 3 - Krumningen i en ellipsoide . . . 25

9 Konforme og ekviareale avbildninger 26

9.1 Ekviareale avbildninger . . . 27 9.2 Konforme avbildninger . . . 29 9.3 Sammenhengen mellom ekviareale avbildninger, konforme avbildninger

og skalerte isometrier . . . 31 9.4 Eksempel 4 - Konform parametrisering av en kule . . . 33 9.5 Eksempel 5 - Ekviareal parametrisering av enhetskulen . . . 36

10 Konformt og ekviarealt standardavvik 38

10.1 Ekviarealt standardavvik . . . 39 10.2 Konformt standardavvik . . . 41 10.3 Eksempel 6 - Enhetskvadratet . . . 43 11 Konform og ekviareal energi - en sammenligning 44 11.1 Ekviskalarkurver . . . 46 11.2 Sammenligning av parametriseringer av enhetskulen . . . 47 11.3 Videre arbeid . . . 53

12 Konklusjon 54

Figuroversikt

1 Eksempel på optisk illusjon . . . 5

2 Projeksjon av plan på kule . . . 6

3 Den eksponentielle parametriseringen . . . 20

4 Illustrasjon av et sferikon . . . 22

5 Konform parametrisering av enhetskulen S². . . 35

6 Ekviareal parametrisering av enhetskulen. . . 37

7 Inndeling av området D i rektangler . . . 39

8 Parametriseringene µ_n av enhetskvadratet . . . 45

9 Ekviskalarkurver i for E_iso . . . 47

10 Eksempler på punkter i enhetskvadratet . . . 49

Tabelloversikt

1 Oversikt over konform og ekviareal energi for et utvalg parametriseringer av enhetskulen. . . 50

1 Introduksjon

Ved projeksjon av et bilde på en vegg, vil resultatet ikke alltid bli så tilfredsstillende.

Linjer og bokstaver kan bli dratt ut og bli vanskelig å forstå. Om veggen i tillegg ikke er flat, kan det bli spesielt problematisk.

Dette problemet er motivasjonen som gjør det interessant å stille seg følgende spørsmål:

Hva skal til for at projeksjonen av et bilde bevarer bildets proporsjoner?

Bak dette spørsmålet ligger det flere forskjellige sammensatte og kompliserte spørsmål.

Hvordan kan man måle i hvor stor grad proporsjonene i bildet er bevart? Hva slags begrensninger gir valget av projektor og vegg når det kommer til bevaring av proporsjoner i bildet?

Denne oppgaven tar for seg hvordan et bilde endres idet det projiseres på en vegg fra en projektor. Kapittel 2 tar for seg generelle sentralprojeksjoner i euklidsk rom, og regner på en del viktige projeksjoner, spesielt mellom plan. I kapittel 3 diskuteres det hvilke egenskaper projeksjonene og veggene har, for å underbygge påstanden om at projeksjoner er homeomorfier.

Kapittel 4 tar for seg hva som skal til for at projeksjoner mellom plan er fine, og kommer frem til at de fine bildene er skalerte isometrier. I kapittel 5 vises det at mengden av fine projeksjoner på en vegg er isomorf med mengden fine parametriseringer av veggen. Dette betyr at man kan projisere en fint bilde på veggen dersom man har en fin parametrisering av veggen. Kapittel 6 ser på mer generelle vegger,

Riemann-mangfoldigheter. Riemann-mangfoldigheter er topologiske rom som er lokalt homeomorfe med det euklidske planet. På slike mangfoldigheter defineres begrepet geodetiske kurver, som en parallell til rette linjer i euklidsk rom. Grunnen til at oppgaven tar for seg mangfoldigheter, er at lokalt har de lokale egenskapene som de geometriske objektene i euklidsk rom.

Kapittel 7 tar for seg begrepet Gauss-krumning, samt to viktige teoremer: Theorema Egregerium og Mindings teorem. Disse viser at det finnes en spesiell type flater hvor isometriske parametriseringer eksisterer. Slike flater kan kalles enkeltkrummede

("developable surfaces" på engelsk).

Kapittel 8 ser på den første og andre fundamentale formen til flater, og hvordan de kan gi informasjon om Gauss-krumningen. Dette brukes i kapittel 9, hvor den første fundamentale formen brukes til å kategorisere og sammenligne konforme, ekviareale samt skalert isometriske avbildninger. I kapittel 10 defineres begrepene relativt konformt og relativt ekviarealt standardavvik.

Kapittel 11 konkluderer hele oppgaven med å definere konform, ekviareal og isometrisk energi. Dette er en begreper som beregner hvor langt en parametrisering er fra å være en skalert isometri. For krummede flater vil ingen av parametriseringene være isometriske, men det vil være mulig å sammenligne hvor langt unna de er. Det blir da gjort en kvantitativ sammenligning mellom energien til forskjellige parametriseringer av enhetskulen.

Alle figurene i denne oppgaven er konstruert av undertegnede i Geogebra.

2 Sentralprojeksjon

2.1 Generelle projeksjoner

Måten et bilde blir projisert fra en projektor kalles for en sentralprojeksjon. Dette er prosessen der lys blir sendt ut fra en lyspære inne i projektoren, og går gjennom en bildebrikke som gir farge til lyset, før det går gjennom en liten åpning, ut i rommet og til slutt treffer en vegg, hvor man kan se bildet. Denne prosessen kan ses på som den samme som når lys kommer inn gjennom pupillen i et øye, bare motsatt vei.

Det er fornuftig å tenke på rommet rundt oss som 3-dimensjonalt euklidsk rom, også kjent som R³. Når man sender et bilde ut i rommet med en projektor, vil alle punktene som er i samme linje fra projektoren, bli belyst med samme farge. Det er derfor mulig å assosiere alle på samme linje med hverandre, i det som kalles en kvotientmengde. Rommet av forskjellige retninger som lyset kan gå i fra projektoren, er kjent som det projektive rom, RP², og er definert som følger:

RP² =R³/∼

hvorp₁ ∼p₂ dersom det eksisterer et positivt tallλ ∈R⁺ slik at p₂ =λp₁.

Man kan definere lyset fra projektoren som en funksjon L : R³ → RP² som sender ethvert punkt p∈R³ på sin respektive ekvivalensklasse:

L:R³ →RP² p7→[p]∼

Dersom denne projektoren står rettet mot veggenV, lager man bildefunksjonen påV ved å se på hvilke punkter i hver ekvivalensklasse som også ligger iV. Bildefunksjonen B kan defineres som følger:

B :RP² →V

[p]∼ 7→ {p∈[p]∼} ∩V

For mer sammensatte projeksjoner, hvor ekvivalensklassen snitter V i flere enn ett punkt, defineres bildefunksjonen som det av punktene på V som ligger nærmest

origo. Dette svarer til at lyset fra projektoren projiserer bildet opp på den nærmeste veggen, og ikke går gjennom noen vegger.

B_min :RP² →V [p]∼7→min

kpk {B([p]∼)}

Dersom bildebrikken inne i projektoren er definert som U ⊂ R³, er det nå mulig å definere projeksjonen av bildet fra U på V ut fra den følgende funksjonen:

F =B_min◦L:U →V : r7→min

krk {B([r]∼)}

= min

λ {λr ∈V}

Når man uttrykker projeksjonen av et bilde på en flate på denne måten, blir det enkelt å forstå at verden rundt oss uten problemer kan gjengis i bilder. Selv om et kamera kun har mulighet til å kunne lage en 2-dimensjonal avbildning av verden, klarer det å gjengi ekvivalensklassene i RP² til rommet. Det er derfor i prinsippet ingen forskjell mellom å se på et tredimensjonalt objekt med ett øye (hvor man ser bort fra dybdesyn), og å se på et bilde tatt av objektet. Dette gir opphav til en rekke optiske illusjoner (se figur 1).

2.2 Eksempel 1 - projeksjon på kule

Det euklidske rommetR³er et indreproduktrom, som vil si at det er ilagt et indreprodukt h , i, definert som følger:

h , i:R³×R³ →R⁺

(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)7→x1x2+y1y2+z1z2

Indreproduktet brukes også til å indusere den kjente d₂-metrikken, definert som følger:

d₂ :R³×R³ →R

(x₁, y₁, z₁),(x₂, y₂, z₂) 7→p

(x₁ −x₂)²+ (y₁ −y₂)²+ (z₁−z₂)²

Figur 1: Ved første øyekast kan det se ut som at dette fotografiet forestiller en hund som titter ut gjennom et vindu. Ved nærmere ettersyn kan man se at det hverken forestiller en hund eller et vindu, men snarere et maleri. Foto: www.pixabay.com

Man kan se på hvordan projeksjonen ser ut dersom bildebrikken U er et plan og veggenV er formet som en kule. For regningens skyld defineres flatene som følger:

U ={(1, y, z) | y, z ∈R} V_k ={p∈R³ |d(p, p₀) =R}

Den kuleformede veggenV_ker definert ut fra radiusRog sentrump₀ = (a,0,0), a∈(1 +R,∞).

I dette tilfellet uttrykkes F som følger:

F :U →V_k : r 7→min

λ {λr ∈V_k}

= min

λ {λr |d(λr, p0) =R}

= min

λ

λr |λ²hr, ri −2λhr, p₀i+hp₀, p₀i −R² = 0

= min

λ

(

λr |λ= hp₀, p₀i ±p

hp₀, p₀i − hr, ri(hp₀, p₀i −R²) hr, ri

)

Derfor er F(1, u, v) = ^a2−

√

a²−(1+u²+v²)(a²−R²)

1+u²+v² (1, u, v). Definisjonsmengden til F er i dette tilfellet D=n

(1, u, v) | u²+v² ≤ _a2^R−R^{2 2}

o

. (Se figur 2).

Figur 2: Projeksjon av plan på kule. Legg merke til forvridningen utover mot kantene.

2.3 Punkter på plan

Når man ser på projeksjon mellom to plan vil det være en god begynnelse å se på hvordan punkter, vektorer og trekanter i det ene planet blir projisert på det andre planet.

Et generelt plan V ∈ R³ er definert som mengden punkter (x, y, z) ∈ R³ som tilfredsstiller følgende uttrykk:

ax+by+cz=d

hvor a, b, c, d ∈ R. d = 0 medfører at (0,0,0) ∈ V, en triviell løsning når man sentralprojiserer, så man kan anta atd6= 0uten å gå glipp av ikke-trivielle løsninger.

V kan derfor defineres som

V :={(x, y, z)∈R | ax+by+cz = 1}={p∈R³ | hp,ni˜ = 1}

Legg merke til at vektorenn˜:= (a, b, c)er en normalvektor til planet).

Dersom man deretter definerer bildebrikken U :={r ∈ R³ | hr, ni = 1} som bildet projiseres fra, uttrykkes projeksjonen F på følgende måte (legg også merke til at n er en normalvektor til U):

F :U →V r7→min

λ {λr ∈V}

= min

λ {λr| hλr,ni˜ = 1}

= 1

hr,˜nir

2.4 Vektorer i plan

Nå som projeksjonen av punkter på U er definert, er det mulig å se på hvordan vektorer iU blir projisert. Gitt vektorenw i tangentrommetT U, fra punktetr ∈U defineres projeksjonen av vektoren inn i tangentrommetT V som følger:

F∗ :T U ×U →T V

(w, r)7→F(r+w)−F(r)

Projeksjonen av vektoren wfra punktet r blir derfor:

˜

w=F_∗(w, r)

=F(r+w)−F(r)

= 1

hr+w,ni˜ (r+w)− 1 hr,ni˜ r

= hr,ni(r˜ +w)− hr+w,nir˜ hr+w,nihr,˜ ni˜

= hr,nir˜ +hr,˜niw− hr,nir˜ − hw,nir˜ hr+w,nihr˜ ·ni˜

= hr,niw˜ − hw,nir˜ hr+w,nihr,˜ ni˜

= (r×w)×n˜ hr+w,nihr,˜ ni˜

Lemma 2.0.1. Projeksjonen F sender rette linjer på rette linjer.

BEVIS. Gitt linjen l(p₀, w) := {p₀+tw | t∈R} ⊂ U blir projeksjonen i V som følger:

F(l(t)) =F(p₀) +F(p₀+tw)−F(p₀)

=F(p₀) +F∗(tw, p₀)

=F(p₀) + (r×tw)×n˜ hr+tw,nihr,˜ ni˜

Ved å definere G(t) = _hr+tw,˜^t_nihr,˜ni kan man se at funksjonen er en delmengde av følgende linje:

F(l(t)) = F(p0) +G(t)(r×w)×n˜ ⊂l(F(p0),(r×w)×n)˜ ⊂V

2.5 Trekanter i plan

Nå som det er funnet en funksjon som projiserer vektorer iUpå vektorer iV, kan man gå opp en dimensjon og lage en trekant i bildeplanet U. Ved å projisere vektorene til V og regne ut arealet de spenner ut, kan man se hvordan arealet endrer seg.

Gitt punktet r ∈ U og vektorene w₁, w₂ ∈ T_pU. Da er arealet av trekanten de spenner ut som gitt ved:

a_∆(w₁, w₂, r) = 1

2kw₁×w₂k

Det er vist at F sender rette linjer på rette linjer. Dette betyr at trekanten spent ut av w1 og w2 vil projises på en trekant på V, spent ut av F∗(w1, r) og F∗(w2, r).

Arealet til den projiserte trekanten regnes ut som følger:

˜

a_∆(F_∗(w₁, r), F_∗(w₂, r), F(r)) = 1

2kF_∗(w₁, r)×F_∗(w₂, r)k

= 1 2

(r×w1)×n˜

hr+w₁,˜nihr·ni˜ × (r×w2)×n˜ hr+w₂,nihr˜ ·˜ni

= k[(r×w₁)×n]˜ ×[(r×w₂)×n]k˜ 2|hr+w1,nihr˜ +w2,ni| hr,˜ ˜ni²

For å forkorte alle kryssproduktene over brøkstreken, er det mulig å benytte seg av egenskapene til kvadruppelproduktet [6]:

(a×b)×(c×d) = [a, b, d]c−[a, b, c]d Her er [a, b, c]trippelproduktet:

[a, b, c] =ha, b×ci

Merk at to like vektorer i trippelproduktet resulterer i at produktet blir lik 0. I dette tilfellet regnes arealet derfor som følger:

˜

a_∆(F∗(w₁, r), F∗(w₂, r), F(r)) = k[r×w₁,n,˜ n] (r˜ ×w₂)−[r×w₁,n, r˜ ×w₂] ˜nk 2|hr+w₁,nihr˜ +w₂,ni| hr,˜ ni˜ ²

= k−h˜n,[r×w₁]×[r×w₂]i˜nk 2|hr+w₁,nihr˜ +w₂,ni| hr,˜ ˜ni²

= |h˜n,[r, w1, w2]r−[r, w1, r]w2i| k˜nk 2|hr+w₁,˜nihr+w₂,˜ni| hr,ni˜ ²

= |hr, w₁×w₂i| k˜nk 2|hr+w₁,nihr˜ +w₂,nihr,˜ ni|˜

Siden både w₁ og w₂ ligger tangentielt til U-planet, betyr det at (w₁×w₂)kn_u, så

|hr, w₁×w₂i|=kr₀k · kw₁×w₂k, hvor r₀ er projeksjonen av r på n_u. Siden r₀ både

ligger i planet U og er parallell med n, tilfredsstiller vektorenhr₀, ni= 1, som betyr at kr₀khn_u, ni= 1, så kr₀k= _knk¹ . Dette betyr at arealet av den projiserte trekanten kan uttrykkes som følger:

˜

a_∆(F∗(w₁, r), F∗(w₂, r), F(r)) = kw1×w2k k˜nk

2|hr+w₁,nihr˜ +w₂,nihr,˜ ˜ni| knk

Dette uttrykket kan brukes til å regne ut forskjellen mellom metrikkene i flateneU og V, relatert ved projeksjon. Ved å se på forholdet mellom arealene til den projiserte og den originale trekanten når lengden på vektorene som spenner den ut, går mot 0, vil man finne relasjonen mellom infinitesimale arealelementer på de to flatene.

dA˜

dA = lim

∆t→0

˜

a_∆(F∗(∆tw₁, r), F∗(∆tw₂, r), F(r)) a_∆(∆tw₁,∆tw₂, r)

= lim

∆t→0

k˜nk

|hr+ ∆tw₁,nihr˜ + ∆tw₂,nihr,˜ ni| knk˜

= k˜nk

|hr,ni|˜ ³knk

3 Projektor-egenskaper

Hvis man går tilbake til den praktiske problemstillingen med å projisere fine bilder opp på en vegg, er det noen antagelser man kan gjøre for å vise at projeksjoner av bilder på vegger har noen spesielle egenskaper.

Helt grunnleggende optisk kan man si at fargen på bildebrikkenU inne i en projektor kan uttrykkes som en funksjonΦ_U :U →RGB. Her erRGBfargerommet, mengden av alle observerbare farger. Det at bilder projiseres opp på veggen, kan illustreres ved at projeksjonen F induserer en farge på veggen:

Φ_V(U, F,Φ_U) :V →RGB p7→Φ_U(F⁻¹(p))

I følge Grassmanns lover [7] er fargerommet utstyrt med forskjellige kommutative binæroperasjoner som gjør det til en gruppe. Φ_U ogΦ_V sender punkter på henholdsvis

U ogV påRGBsom en gruppe, men ikke nødvendigvis med samme gruppestruktur.

Dette kan presiseres ved å bruke forskjellige gruppeoperasjoner.

Φ_U :U →(RGB,⊗) Φ_V :U →(RGB,⊕)

Dette kan brukes til å regne på fargene på en vegg som blir belyst av flere enn én projektor. I stedet for projektorenU er det nåN projektorer,{U_i}^N_i=1, hver ilagt en projeksjon{F_i :U_i →V}^N_i=1 og et bilde{Φ_i :U_i →(RGB,⊗)}^N_i=1. Dette kan brukes til å definere fargen på veggen:

Φ_V({U_i, F_i,Φ_i}^N_i=1) :V →(RGB,⊕) p7→ M

p∈F_i(Ui)

Φ_i(F_i⁻¹(p))

På dette tidspunktet vil det være fornuftig å gjøre noen antagelser om veggen:

• Veggen V er kompakt. Dette antas siden en uendelig stor vegg ville krevd et uendelig stort eller uendelig forvridd bilde.

• Projeksjonen F er en injeksjon. Ut ifra definisjonen avF sendes to punkter på det samme punktet iV dersom de er i samme ekvivalensklasse iRP², som betyr at de må ligge på samme linje gjennom origo. Dette skjer ikke om bildebrikken er flat.

• F er kontinuerlig. Intuitivt kommer dette av at to punkter som nærmer seg hverandre i U også bør nærme seg hverandre i V

• F er en surjeksjon. Dette kommer av at det må kunne antas at det finnes et endelig antall projektorer som kan lyse opp hele veggen. Siden fargen på hvert punkt i veggen er i RGB, kan man lage en overdekning av V, så det eksisterer en mengde projektorer {U_i, F_i}^N_i=1 slik atV ⊂SN

i=1F_i(U_i). Når man senere snakker om projeksjoner på veggen, vil man uten tap av generalitet kunne snakke om én av projektorene i denne overdekningen, som naturligvis er surjektiv på sitt eget bilde.

4 Hva er et fint bilde?

Hva skal til for at en projeksjon av et bilde blir fint? Som en begynnelse på å besvare dette spørsmålet kan man starte med å se på bildene som ikke endrer seg i det hele tatt når de blir projisert. Den enkleste fine avbildningen er identitetsvbildningen, som naturligvis ikke fordreier noe i det hele tatt.

I matematisk notasjon kan man se på identitetsavbildningen av en 2-dimensjonal flate U ⊂R³ som følger:

id :U →R³ p7→p

Hvorfor er en slik avbildning bevarende for bildet? Hva skal til for å synes at bildet er "fint"? Avbildningen bevarer bildet fordi alle størrelser, både avstand og vinkler, er bevart. Dersom alle avstander blir bevart i bildet, vil også de relative proporsjonene bevares. Man kan se på alle avbildningene som bevarer avstander i R³. Slike avbildninger kalles for isometrier (iso=lik, metri = avstandsmåling).

Målet med oppgaven er å se på projeksjoner som bevarer proporsjonene i bildene som projiseres. Det er naturlig å ikke bare regne på isometrier, men også tillate at en projeksjon forstørrer eller forminsker bildet. Avbildninger som skalerer alle lengder med en konstant, kalles for skalerte isometrier. Dersom denne konstanten er 1, er avbildningen en isometri.

Siden metrikken i rommet er uttrykt ved indreproduktet, kan man nå se på hvilke avbildninger som er skalerte isometrier i det euklidske rommet. Til å begynne med kan man ta for seg alle skalerte isometrier som bevarer origo.

Lemma 4.0.1. En skalert isometri som sender origo på seg selv, vil skalere indreproduktet med en konstant.

BEVIS. Dersom F_c(0) = 0, og d(F(p), F(0)) =c d(p,0), vil det bety at d(F(p), F(0)) =c d(p,0)

phF(p)−F(0), F(p)−F(0)i=cp

hp−0, p−0i phF(p), F(p)i=cp

hp, pi hF(p), F(p)i=c²hp, pi Når man deretter velger to punkter,p, q ∈R³, får man:

d(F(p), F(q)) =c d(p, q) phF(p)−F(q), F(p)−F(q)i=cp

hp−q, p−qi hF(p)−F(q), F(p)−F(q)i=c²hp−q, p−qi hF(p), F(p)i −c²hp, pi

−2hF(p), F(q)i=−2c²hp, qi+ c²hq, qi − hF(q), F(q)i

−2hF(p), F(q)i=−2c²hp, qi hF(p), F(q)i=c²hp, qi

Lemma 4.0.2. En skalert isometri som sender origo på seg selv, er lineær.

BEVIS. For å vise at F(ap+bq) =aF(p) +bF(q) kan man vise at d(F(ap+bq), aF(p) +bF(q)) = 0:

d(F(ap+bq), aF(p) +bF(q)) =p

hF(ap+bq)−aF(p)−bF(q), F(ap+bq)−aF(p)−bF(q)i

=p

hF(ap+bq), F(ap+bq)i+haF(p), aF(p)i+hbF(q), bF(q)i

−2hF(ap+bq), aF(p)i −2hF(ap+bq), bF(q)i −2haF(p), bF(q)i

=p

hF(ap+bq), F(ap+bq)i+a²hF(p), F(p)i+b²hF(q), F(q)i

−2ahF(ap+bq), F(p)i −2bhF(ap+bq), F(q)i −2abhF(p), F(q)i

=p

c²hap+bq, ap+bqi+a²c²hp, pi+b²c²hq, qi

−2ac²hap+bq, pi −2bc²hap+bq, qi −2abc²hp, qi

=p

a²c²hp, pi+ 2abc²hp, qi+b²c²hq, qi+a²c²hp, pi+b²c²hq, qi

−2a²c²hp, pi −2abc²hq, pi −2abc²hp, qi −2b²c²hq, qi −2abc²hp, qi

= 0

Lemma 4.0.3. Følgende to utsagn om avbildningen k :Rⁿ→Rⁿ, er ekvivalente:

(i) k er en skalert isometri med konstant c som bevarer origo.

(ii) k er på formen p7→cAp der A er en ortogonal matrise.

BEVIS. I dette beviset brukes det at indreproduktet på Rⁿ kan uttrykkes som matriseproduktet hp, qi=p^Tq, samt at(M p)^T =p^TM^T.

(i) ⇒ (ii): Det er mulig å konstruere matrisen M = [k(e₁) k(e₂) · · · k(e_n)], hvor j-te kolonne er lik k(e_j). Dersom p skrives på formen p = Pn

i=1p_ie_i, kan man se at k(p) = k(Pn

i=1p_ie_i) = Pn

i=1p_ik(e_i) = M p. For å vise at M = cA, hvor A er ortogonal, kan man se følgende utregning:

d(k(p),0)² = (M p)^TM p=c²p^Tp p^TM^TM p−c²p^Tp= 0 c²p^T

1 cM

T 1 cM

−1

! p= 0

Siden dette skal gjelde for alle pog c, må ¹_cMT 1 cM

= 1, som betyr atA:= ¹_cM er en ortogonal matrise.

(i)⇐(ii): Dette kan utledes fra definisjonen av matriseproduktet:

d(k(p), k(q)) =p

hcAp−cAq, cAp−cAqi

=p

(cA(p−q))^TcA(p−cAq)

=p

c²(p−q)^TA^TA(p−q)

=cp

(p−q)^T(p−q)

=c d(p, q)

Lemma 4.0.4. Alle skalerte isometrier k er på formen p7→cAp+w, hvor A er en ortogonal matrise og w er konstant.

BEVIS. (i) ⇐ (ii): Det kan vises at komposisjonen av en translasjon og en skalert isometri som bevarer origo, er en skalert isometri:

d(k(p), k(q)) =p

hcAp+w−(cAq+w), cAp+w−(cAq+w)i

=p

hcAp−cAq, cAp−cAqi

=d(cAp, cAq)

=c d(p, q)

(i)⇒(ii): Gitt den skalerte isometrien k kan man definere w:=k(0) og

k₀(p) :=k(p)−k(0). Det er enkelt å se at k(p) =k₀(p) +w, hvorw er konstant og k₀(0) = 0. Sidenk₀ er komposisjonen av en skalert isometri og en translasjon er den en skalert isometri.

4.1 Projeksjoner - skalerte isometrier

Hva skal til for at en projeksjon av et bilde mellom to plan er en skalert isometri?

Som tidligere noteres bildebrikken U =

r⊂R³, | hn, ri= 1 , projektoren settes i origo, ogV :{p∈R³ | h˜n, pi= 1}. Som tidligere er projeksjonen uttrykt som følger:

F :U →V r7→ 1

hr,ni˜ r

Lemma 4.0.5. En sentralprojeksjon er en skalert isometri dersom bildebrikken og veggen er parallelle.

BEVIS. For å sammenligne med de skalerte isometriene kan F skrives på følgende form:

F(r) =hr,ni˜ ⁻¹I₃r+ 0

hvor I₃ er identitetsmatrisen. Ved å sammenligne uttrykkene kan man se at dette er en skalert isometri dersom hr,ni˜ ⁻¹ = c, hvor c er en konstant. Denne ligningen kan omformuleres til det følgende:

r,^˜n_c

= 1. Fra definisjonen av U har man også at hp, ni = 1, så

r, n− ^n˜_c

= 0 for alle r ∈ U, og derfor må n = ^n˜_c. Dersom U og V har parallelle normalvektorer, er de parallelle, og for at projeksjonen skal være en isometri, måc= 1, som bare er tilfelle når n= ˜n og U =V.

Merk: Herifra i denne oppgaven vil alle projeksjoner gå mellom kompakte menger.

Oppgaven vil derfor bruke begrepene "isometri" og "skalert isometri" om hverandre, begge i betydningen "skalert isometri med skaleringsfaktor lik forholdet mellom arealet på verdimengden og arealet på definisjonsmengden". Dette betyr at en projeksjon som er isometrisk skalerer bildet så arealet det blir likt som veggens areal.

5 Tilbakedragning av fine parametriseringer

Når man projiserer bilder opp på vegger er korreksjon av bildet på forhånd viktig. I en moderne profesjonell projektor finnes det forskjellige innstillinger som kan endres for at bildet vil bli vridd og strukket på veggen.

Matematisk kan man se på slike endringer i projektoren som en annen parametrisering av bildebrikken. I praksis brukes dette etter øyemål, men i teorien finnes det en kvalitativ parametrisering av U som svarer til et fint bilde på V. Det følgende lemmaet beviser det:

Lemma 5.0.1. For enhver fin parametrisering av veggen V finnes det en

parametrisering av bildebrikken U som gjør projeksjonen F(U) = V til et fint bilde.

BEVIS. ProjeksjonsfunksjonenF er en homeomorfi. Dette betyr at den er "én-til-én", og at det for ethvert punktp∈V finnes ett og bare ett punktd∈U som tilfredsstiller F(d) = p. Dette betyr at det hver parametrisering av V korrespondere til en parametrisering av U definert U = F⁻¹(V). Mengden fine parametriseringer av U er derfor isomorf med mengden fine parametriseringer av V.

6 Mangfoldigheter

Alle veggene som er sett på til nå i denne oppgaven er eksempler på

Riemann-mangfoldigheter. Mangfoldigheter er topologiske rom som er utstyrt med et atlas, en åpen overdekning hvor hver åpen mengde er homeomorf med en åpen mengde i Rⁿ

Det er mulig å vise at veggene i denne oppgaven er mangfoldigheter. I kapittel 5 ble det vist at projeksjonsfunksjonen F er en homeomorfi mellom bildebrikken U og veggen V. Siden bildebrikken ligger i et plan er det homeomorft med en undermengde av R². V har med andre ord en åpen overdekning som er homeomorf med en undermengde av R².

For at mangfoldigheten i tillegg skal være en Riemann-mangfoldighet, må tangentrommet T V være utstyrt med et indreprodukt, h , i. Denne oppgaven ser på avstandsmål på bilder, så det er en nødvendighet å anta at det er mulig å måle avstander lokalt på veggen. Definerer to kurver p₁(t) og p₂(t) på mangfoldigheten V som skjærer hverandre i punktet p₂(t₁) = p₂(t₂). Siden målet med oppgaven er å se på fine parametriseringer som ikke fordreier bilder, kan man anta at det finnes et lokalt mål for avstand og vinkler på veggen. Ut ifra denne antagelsen kan indreproduktet mellom retningsvektorenev₁(t₁) =d⁰₁(t₁) ogv₂(t₂) =d⁰₂(t₂)regnes ut som følger:

hv₁(t), v₂(t)i=kp⁰₁(t₁)k kp⁰₂(t₂)kcosθ

= lim

∆t→0

kp₁(t₁+ ∆t)−p₁(t₁))k

∆t · kp₂(t₂+ ∆t)−p₂(t₂)k

∆t cosθ

Dette betyr at enhver vegg som ses på i denne oppgaven er en Riemann-

mangfoldighet, som gjør at det er mulig å regne på lengder og vinkler over hele veggen.

6.1 Den eksponentielle avbildningen

Denne delen av oppgaven tar for seg en spesiell type parametrisering av en

mangfoldighet: den eksponentielle avbildningen. Denne avbildningen er basert på geodetiske kurver på mangfoldigheten. Slike kurver på mange måter kan sammenlignes med rette linjer i Euklidsk rom, og det er på grunn av dette det kan være interessant å undersøke om et bilde projisert på en flate med den eksponentielle avbildningen vil bli fint.

Gitt en deriverbar parametrisk kurve γ₀ : [a, b] → V på Riemann-mangfoldigheten

V er lengden på kurven definert som følger [5]:

D(γ) = Z b

a

kγ₀⁰(t)kdt

Man definerer den geodetiske kurven γ mellom punkterp₁ ogp₂ på mangfoldigheten V som den av de parametriske kurvene i mangfoldigheten mellom punktene som har kortest lengde. Denne lengden definerer avstanden mellom punktene på V. Legg merke til at flere kurver mellom to punkter kan være like korte. I dette tilfellet regnes begge kurvene som geodetiske kurver.

γ(p₁, p₂) = min

D(γ0){γ₀ : [a, b]→V | γ₀(a) = p₁, γ₀(b) =p₂, a < b ∈R} d_V(p₁, p₂) =D(γ(p₁, p₂))

Enhver geodetisk kurve i en mangfoldighet er entydig definert av et punkt og en retningsvektor [1], Og kan derfor uttrykkes som funksjonen:

γ_p(v, t) = {γ₀(t) : [0,1]→V | ∃p₂ s.a. γ₀(t) =γ(p, p₂), γ₀(0) =p, γ₀⁰(0) =v}

Dette kommer av at geodetiske kurver er løsningen av den såkalte geodetiske ligningen, en annengrads differensialligning hvis løsning er entydig definert ved to initialbetingelser.

Geodetiske kurver gir opphav til den eksponentielle avbildningen, som knytter enhver vektor i tangentplanet T_pV opp mot et punkt på den korresponderende geodetiske kurven:

exp(p, v) :=γ_p(v,1)

Grunnen til at den eksponentielle avbildningen blir tatt opp i denne oppgaven, er at den gjør et forsøk på å sende rette linjer på rette linjer. Tangentrommet T_pV vil i alle punkterpvære lineært, som gjør at det kan sammenlignes med planene i kapittel 2. Det er mulig å parametrisere et bilde slik at midten av bildet havner på punktet p, og deretter bruke den eksponentielle avbildningen for å parametrisere resten av flaten. Den neste delen vil ta for seg et eksempel på en mangfoldighet og illustrere hvordan den eksponentielle avbildningen vil se ut.

6.2 Eksempel 2 - Eksponentiell parametrisering av kulen

Enhetskulen S² er et godt eksempel på en flate som kan parametriseres med den eksponentielle avbildningen. Dette er fordi beregningene er forholdsvis enkle, tangentplanet i punktet p = (0,0,1) kan uttrykkes T_pS² = {(x, y,1)|x, y ∈R}, og de geodetiske kurvene er på samme form:

Lemma 6.0.1. De geodetiske kurvene til enhetskulenS²gjennom punktetp= (0,0,1) er:

γ_p(w, t) = sin(kwkt) w

kwk + cos(kwkt)(0,0,1)

BEVIS. Se bl.a. Carmo [1] for en bevisførsel for at de geodetiske kurvene på kulen er storsirkler.

• γp(w,0) = sin(0)_kwk^w + cos(0)(0,0,1) = (0,0,1) = p

• kγ_p⁰(w, t)k=

kwkcos(kwkt)_kwk^w − kwksin(kwkt)(0,0,1)

=kwk

• γ_p⁰(w,0) = kwkcos(0)_kwk^w − kwksin(0)(0,0,1) = w

Siden vektoren wi tangentplanet T_pS² kan parametriseres {(u, v,0) | u, v ∈R}, blir den eksponentielle avbildningen som følger:

p(u, v) = usin √

u²+v²

√u²+v² ,vsin √

u²+v²

√u²+v² ,cos√

u²+v²

!

(u, v)∈D=

(u, v)∈R² | u²+v² ≤π²

Resultatet er presentert i figur 3. Legg merke til at parametriseringen bare gir et jevnt nett i området rundt p, og at det er fordreid på mesteparten av kulen. Til sist i denne oppgaven vil det beregnes en måte å kvantifisere hvor hvor skjev denne parametriseringen er, sammenlignet med andre parametriseringer av kulen.

Figur 3: Den eksponentielle parametriseringen av enhetskulen. Legg merke til at nettet er jevnt rundt punktet p= (0,0,1), men blir mer og mer fordreid lenger unna, og oppfører seg helt annerledes mot punktet (0,0,−1).

7 Gauss-krumning

Så hvilke vegger tillater isometriske parametriseringer, slik som planene som er regnet på på til nå? Hvordan kan man finne ut hva slags vegger som gjør at det eksisterer automorfier på U som gjør at projeksjonen ikke blir fordreid?

Dette kan man besvare ved å regne ut flatens Gauss-krumning. Krumningen av en sirkel definert er ut ifra som invers proporsjonal med sirkelens radius, dvs. κ= 1/R.

Dette medfører at sirkler med stor radius kurver lite, mens sirkler med liten radius kurver mye. Senere i oppgaven vises det til at Gauss-krumningen til en flate er en

utvidelse av denne definisjonen, ut fra hvordan kurver krummer seg over flaten.

Denne oppgaven vil ikke bevise de følgende to teoremene, bare benytte seg av konsekvensene de innebærer. Bevis kan blant annet finnes i [1] og [2].

Teorem 7.1(Theorema Egregerium).Gauss-krumning blir bevart under isometriske avbildninger.

Teorem 7.2 (Mindings teorem). Alle flater med samme konstante Gauss-krumning K er lokalt isometriske.

7.1 Enkeltkrummede og ikke enkeltkrummede flater

De to teoremene over leder til en avgjørende inndeling av flater ut fra hvorvidt de tillater å kunne projisere fine biler eller ikke. Siden det antas at bildene som projiseres på veggen ligger i en bildebrikke, må de ha samme gauss-krumning som planet.

Theorema egregerium demonstrerer at de eneste mangfoldighetene som kan parametriseres med en isometri må ha samme gauss-krumning som planet, og Mindings teorem demonstrerer at en slik isometri nødvendigvis eksisterer når krumningen er lik.

Dette betyr at vi nå vet at betingelsen for å projisere et bilde opp på en vegg uten å bli fordreid: veggen må være enkeltkrummet. Dersom man skal projisere et bilde opp på en vegg og veggen er formet som et plan eller en sylinder, er det garantert at man kan projisere bilder uten problemer.

Når det kommer til ikke enkeltkrummede overflater er ikke problemstillingen så enkel lenger. Det begynner kanskje å synes tydelig at problemstillingen i denne oppgaven er en variant av en annen, veldig kjent problemstilling: avbildningen i atlas. Når man skal lage et atlas, begynner man med en flate med krumning (jordoverflaten), og skal lage en fin avbildning til en flate uten krumning (sidene i en bok). Om man gjengir jordkloden på en globus, vil krumningen relativt sett være den samme, så det finnes en skalert isometri, mens det ikke finnes noen til atlaset. Dette har gjennom historien medført konstruksjonen av flere av forskjellige kartprojeksjoner, som alle bevarer forskjellige egenskaper ved metrikken.

De viktigste enkeltkrummede overflatene i R³ er plan, sylindere og kjegler, samt delmengder av disse. I tillegg finnes tangentflater, flater definert som alle punktene som ligger på en tangent til en parametrisk kurve. Mange kartprojeksjoner er laget ved å projisere punkter på kulen over på en enkeltkrummet flate, for så å avbilde den enkeltkrummede flaten på R² med en isometri.

Om man tillater at en flate har en rand, vil det tillegg til de ovennevnte flatene også være mulig å konstruere andre enkeltkrummede flater, Et eksempel på en slik flate er et såkalt "sferikon" ("sphericon" på engelsk), som består av en dobbel kjegle som er delt i to, rotert og satt sammen igjen som i figur 4. Grunnen til at denne figuren spesielt blir tatt opp, er at den senere i oppgaven vil brukes til parametrisere kulen ved projeksjon, en mer uvanlig kartprojeksjon.

Figur 4: Et sferikon er en enkeltkrummet flate med to halvsirkelformede rander.

8 Første og andre fundamentale form

Gauss-krumningen til en overflate forteller noe om hvordan kurver i alle retninger krummer over flaten. Den er definert ut fra flatens første og andre fundamentale

form, funksjoner som gir viktig informasjon om hvordan flaten er parametrisert.

8.1 Første fundamentale form

Den første fundamentale formen sier noe om om lengden av tangentvektorene i et punkt. Siden flatene som blir brukt i denne oppgaven er Riemann-mangfoldigheter, er det definert et indreprodukt i tangentrommet. Den første fundamentale formen I_p : T_pV → R defineres på en vektor i tangentrommet og beregner kvadratet av lengden, dvs. indreproduktet med seg selv.

I_p :T_pV →R v 7→ hv, vi

Man kan se på vektorene i tangentrommet som deriverte av kurver i flaten. Ved hjelp av de partiellderiverte kan man utlede følgende uttrykk for den første fundamentale formen:

v(t) = d

dtp(t) = vu(t)pu+vv(t)pv

I_p(v(t)) =hv_up_u+v_vp_v, v_up_u+v_vp_vi

=v²_uhpu, pui+ 2vuvvhpu, pvi+v_v²hpv, pvi

= (v_u v_v) hp_u, p_ui hp_u, p_vi hp_u, p_vi hp_v, p_vi

! v_u v_v

!

Ved å introdusere variablene E = hp_up_ui, F = hp_u, p_vi og G = hp_v, p_vi kan man få følgende uttrykk forI_p(v):

Ip(v) = (vu vv) E F F G

! v_u v_v

!

8.2 Andre fundamentale form

Den andre fundamentale formen sier noe om lengden av akselerasjonsvektoren til en kurve. Akselerasjonen til en kurve kan dekomponeres til to komponenter, tangentiell akselerasjon (akselerasjon som endrer fart) og normalakselerasjon (akselerasjon som

endrer retning). Den andre fundamentale formen beregner normalakselerasjonen til en kurve, altså hvor mye kurven krummes.

a(t) = d dt(v(t))

= d

dt(v_u(t)p_u+v_v(t)p_v)

= d

dt(v_u(t)p_u) + d

dt(v_v(t)p_v)

=v⁰_u(t)p_u+v_u(t)d

dt(p_u) +v⁰_v(t)p_v+v_v(t)d dt(p_v)

=v⁰_u(t)p_u+v_u(t) dp_u

du v_u(t) + dp_u dv v_v(t)

+v⁰_v(t)p_v+v_v(t) dp_v

duv_u(t) + dp_v dv v_v(t)

=v⁰_u(t)p_u+p_uuv_u(t)²+ 2p_uvv_u(t)v_v(t) +v⁰_v(t)p_v+p_vvv_v(t)²

Normalvektoren til overflaten V i punktet p er definert som en vektor som står normalt på tangentplanet T_pV, som betyr at den kan defineres som kryssproduktet mellom basisvektorene p_u og p_v. Det er mest praktisk for utregningene om N har lengde 1, som gjør at den defineres på følgende måte:

N = p_u×p_v

|p_u×p_v|

Her kan man benytte seg av atp_u ⊥p_u×p_v ogp_v ⊥p_u×p_v, for å beregne den andre fundamentale formen på matriseform.

II_p(v(t)) =v⁰(t)·N

=h v_u⁰(t)p_u+p_uuv_u(t)²+ 2p_uvv_u(t)v_v(t) +v_v⁰(t)p_v +p_vvv_v(t)² , Ni

=hp_uu, Niv²_u+ 2hp_uv, Niv_uv_v+hp_vv, Niv²_v

= (v_u v_v) hpuu, Ni hpuv, Ni hpuv, Ni hpvv, Ni

! vu

vv

!

Ved å introdusere variablene e=hp_uu, Ni, f =hp_uv, Ni og g =hp_vv, Ni kan man få følgende uttrykk for II_p(v):

II_p(v) = (v_u v_v) e f f g

! v_u v_v

!

Gauss-krumningen til en overflate kan uttrykkes ved hjelp av den første og andre fundamentale formen over, ut ifra determinanten til matrisene (se f.eks. Carmo, [1]):

K =

e f f g

E F F G

= eg−f² EG−F²

8.3 Eksempel 3 - Krumningen i en ellipsoide

Et interessant eksempel på Gauss-krumningen er ellipsoiden. Gitt tallet k ∈ R⁺ defineres ellipsoiden Γ_k ved følgende formel:

Γ_k:=

(x, y, z)∈R³ | x²+y²+ (kz)² = 1 Denne flaten kan parametriseres på følgende måte:

Γk=

cos(u) cos(v),sin(u) cos(v),1 k sin(v)

| u∈[0,2π], v ∈h

−π 2,π

2 i

Denne parametriseringen av flaten kan brukes til å regne ut den første og andre fundamentale formen, samt Gauss-krumningen.

p_u = (−sin(u) cos(v),cos(u) cos(v),0) p_v =

−cos(u) sin(v),−sin(u) sin(v),1

kcos(v)

E = cos²(v) F = 0

G= sin²(v) + 1

k² cos²(v) p_u×p_v =

1

k cos(u) cos²(v),1

ksin(u) cos²(v),sin(v) cos(v)

N = cos(u) cos(v)

pk²sin²(v) + cos²(v), sin(u) cos(v)

pk²sin²(v) + cos²(v), ksin(v)

pk²sin²(v) + cos²(v)

!

p_uu = (−cos(u) cos(v),−sin(u) cos(v),0) p_uv = (sin(u) sin(v),−cos(u) sin(v),0) pvv =

−cos(u) cos(v),−sin(u) cos(v),−1 ksin(v)

e= −cos²(v) pk²sin²(v) + cos²(v) f = 0

g = −1

pk²sin²(v) + cos²(v)

K = k²

k²sin²(v) + cos²(v)2

Legg merke til tre spesielle verdier for k:

• k → 0 ⇒ K → 0: Dette betyr at når k konvergerer mot 0, konvergerer ellipsoiden mot en enkeltkrummet flate (unntatt forv =±^π₂, hvor grensen ikke er definert). I dette tilfellet definerer flaten sylinderenΓ₀

(x, y, z)∈R³ | x²+y² = 1

• k = 1 ⇒ K = 1: Når k = 1 er krumningen konstant over hele flaten, som er ekvivalent med at Γ₁ er enhetskulen,Γ₁ =

(x, y, z)∈R³ | x²+y²+z² = 1

• k → ∞ ⇒ K → 0: Når k konvergerer mot ∞, konvergerer ellipsoiden igjen mot en enkeltkrummet flate. Grenseverdien kan parametriseres som følger:

Γ∞ =n

(cos(u) cos(v),sin(u) cos(v),0) | u∈[0,2π], v ∈h

−π 2,π

2 io

={(rcos(v), rcos(v),0) | u∈[0,2π], r∈[0,1]}

Dette er det parametriske uttrykket for enhetsdisken i xy-planet.

9 Konforme og ekviareale avbildninger

Theorema Egregerium beviser at de eneste flatene som kan parametriseres som skalerte isometrier, er enkeltkrummede flater. Dette betyr imidlertid ikke at alt håp er ute for å projisere et bilde opp på en vegg som er litt krummet, for denne oppgaven vil ta for seg hvor langt en parametrisering er fra å være en skalert isometri. Som

tidligere nevnt finnes det mange forskjellige verdensatlas som prøver å bevare former, areal, lengder, eller storsirkler (geodetiske kurver er som tidligere nevnt en parallell til "rette linjer" langs jordoverflaten). To av egenskapene ved parametriseringer er svært viktige for at bilder skal være fine: bevaring av vinkler og bevaring av areal.

I denne delen kommer det til å bli vist at en parametrisering er en skalert isometri dersom den bevarer både areal og vinkler.

9.1 Ekviareale avbildninger

En ekviareal avbildning er en avbildning som bevarer arealet på en mengde. Slike avbildninger kan strekke og fordreie på et bilde, men vil overalt bevare arealet. For å beregne arealet av en parametrisk overflate vil det være mulig å bruke kryssproduktet mellom enhetsvektorene, siden arealet av et parallellogram spent ut av vektorenepu

ogpv er lik a(pu, pv) = kpu×pvk.

Merk: I denne oppgaven er alle parametriseringer fra og til kompakte mengder.

Med "ekviareal avbildning" menes derfor "avbildning som skalerer med en konstant faktor". Denne faktoren defineres til å være forholdet mellom arealet på verdi-mengden og arealet på definisjonsmengden. Dette gjør at arealet på det projiserte bildet er likt som veggens areal.

Ved å diskretisere parametriseringsflatenD kan man se på fordelingen av vinkler og arealer over mangfoldigheten V. Ved å definere talletN ∈N kan man dele området D⊂R² inn i diskrete rektangler. Siden bildet som projiseres har endelig areal, kan man anta atDer en kompakt mengde. Det finnes derfor øvre og nedre grenser foru- ogv-verdiene. Man definerer deretter u0 = min{u ∈R | ∃v ∈ R s. a. (u, v) ∈ D}, u1 = max{u ∈ R | ∃v ∈ R s. a. (u, v) ∈ D}, og tilsvarende for v0 og v1. Ved å definere ∆u = ^u1_N^−u0 og ∆v = ^v1−v_N ⁰ kan man definere en jevnt fordelt mengde punkter på D på følgende måte:

D_N =

d_(i,j) = (u_i, v_j) = (u₀+i∆u, v₀+j∆v) | i, j ∈[[0, N]] ∩D Til hvert punktd_(i,j) ∈D_N hører det til et rektangel

r_(i,j)= [d_(i,j), d_(i+1,j)]×[d_(i,j), d_(i,j+1)]

Et slikt rektangel har areala(r_(i,j)) = ∆u∆v, og for storeN vil andelenr_(i,j)-rektangler som ligger fullstendig inne i D, konvergere mot 1, så man kan tilnærme at

Nlim→∞

r_(i,j) ⊂D og lim

N→∞

X

r_(i,j)∈DN

a(r_(i,j)) = a(D).

Arealet av funksjonen av rektangelet r_(i,j) kan tilnærmes som et parallellogram.

Dette kommer av at parametriseringen av V er kontinuerlig, slik atp_u(i,j) ≈p_u(i+1,j) og p_v(i,j) ≈ p_v(i,j+1) når N 0. Lengdene på sidene i parallellogrammet p(r_(i,j)) konvergerer mot ∆u p_u og∆v p_v når N → ∞.

a(V) = lim

N→∞

X

d_(i,j)∈D_N

k∆u p_u×∆v p_vk

Her kan man bruke Lagranges identitet, som sier at ka×bk² =ha, aihb, bi − ha, bi². Dette gjør at arealet kan uttrykkes ved hjelp av den første fundamentale formen.

a(V) = lim

N→∞

X

d_(i,j)∈DN

q

kp_u×p_vk²∆u∆v

= Z

D

p(p_u·p_u)(p_v·p_v)−(p_u·p_v)²dA

= Z

D

√

EG−F²dA

Det er tydelig at avbildning er ekviareal dersom arealet blir bevart i hvert enkelt rektangel. Ut ifra uttrykket over betyr det at parametriseringen av en flate er ekviareal dersom √

EG−F² er konstant. Ved å kalle denne konstanten c og sette inn i uttrykket over, kan man finne ut hva cer:

a(V) = Z

D

√

EG−F²dA=c Z

D

dA=c·a(D)

Dette betyr at parametriseringen av V er ekviareal dersom følgende betingelse er oppfylt:

√EG−F² = a(V) a(D)

9.2 Konforme avbildninger

En konform avbildning er en avbildning som bevarer vinkler mellom kurver. Gitt to parametriske kurver d1 = (u1, v1) : R → D og d2 = (u2, v2) : R → D som skjærer hverandre i punktet p(d1(t1)) = p(d2(t2)), kan man bruke definisjonen av indreproduktet for å uttrykke vinkelen mellom dem. For leselighetens skyld noteres u⁰₁(t1) =u⁰₁, v⁰₁(t1) =v₁⁰, u⁰₂(t2) = u⁰₂ samtv⁰₂(t2) =v₂⁰:

cos(∠(d₁, d₂)) = hd⁰₁(t₁), d⁰₂(t₂)i kd⁰₁(t₁)k kd⁰₂(t₂)k

= u⁰₁u⁰₂+v₁⁰v⁰₂ p(u⁰²₁ +v₁⁰²) (u⁰²₂ +v₂⁰²)

For at parametriseringen avV skal være konform, må vinkelen mellom linjer bevares.

Uttrykkene for d₁ ogd₂ kan settes inn i uttrykket for vinkel mellom kurvene når de avbildes påV, som resulterer i følgende uttrykk:

cos(∠(p(d₁), p(d₂))) =

D_dp(d

1) dt ,^dp(d_dt²⁾

E

dp(d1) dt

dp(d2) dt

= hp_uu⁰₁(t) +p_vv₁⁰(t), p_uu⁰₂(t) +p_vv₂⁰(t)i kp_uu⁰₁(t) +p_vv₁⁰(t)k kp_uu⁰₂(t) +p_vv⁰₂(t)k

= u⁰₁u⁰₂E+ (u⁰₁v⁰₂+u⁰₂v₁⁰)F +v₁⁰v₂⁰G

p(u⁰²₁E+u⁰₁v₁⁰F +v⁰²₁G) (u⁰²₂E+u⁰₂v₂⁰F +v₂⁰²G)

Utregningene over viser at parametrisering er konform dersom følgende betingelse tilfredsstilles:

u⁰₁u⁰₂+v⁰₁v₂⁰

p(u⁰²₁ +v₁⁰²) (u⁰²₂ +v₂⁰²) = u⁰₁u⁰₂E+ (u⁰₁v₂⁰ +u⁰₂v₁⁰)F +v₁⁰v⁰₂G

p(u⁰²₁E +u⁰₁v⁰₁F +v⁰²₁G) (u⁰²₂E+u⁰₂v₂⁰F +v₂⁰²G) Med utregningen av ekviareale avbildninger i bakhodet kan man prøve å regne på noen konkrete tilfeller i håp om å se en indikasjon på hvilke betingelser den første fundamentale formen må tilfredsstille for at avbildningen skal være konform. Siden ligningene over uttrykker cosinus til vinkler, vil det forenkle utregningene å velge kurver som står normalt på hverandre:

• d₁(t) = (t,0) ogd₂(t) = (0, t)

Det er lett å se at d₁(0) =d₂(0), samt atcos(∠(d₁, d₂)) = h(1,0),(0,1)i k(1,0)k k(0,1)k = 0.