ET EDB-SYSTEM FOR

JOHS. HANSEN T I P

JEN 'U ll

1/81

ET EDB-SYSTEM FOR

Com plex nr. 1 /8 1

In sliiu tl fo r p riv a lre ll, A vdeling for EDB-spørsm ål Universitetet i Oslo. Niels Juels gate 16

O S L O 2

Johs. Hansen

ET EDB-SYSTEM FOR ANALYSE

AV RETTSLIGE AVGJØRELSER

Matematisk grunnlag- og utform ing av systemet

U n iv e r s it e t s f o r la g e t

Oslo

© U n iversitetsfo rlaget 1981 IS B N 8 2-00-05872-7

O m slagsillustrasjon: Sture Johannesson & Sten K allin

Printed in N o rw a y by L O B O

- 1 -

Porord

Denne hovedfagsoppgaven er delvis b l it t t i l som en del av et forskningsprosjekt ved avdeling for EDB, in s titu tt for privatrett ved Lhiversitetet i Oslo. Dette prosjektet er kalt SARA, som står for system for analyse av r e tts lig e avgjørelser.

Prosjektet har vært - og er - støttet av Rasjonaliserings­

direktoratet, Forbruker- og administrasjonsdepartementet og Justisdepartementet.

Et programsystem er utviklet og anvendt på et materiale av æ s lu tn in g e r fra Distriktenes Utbyggingsfond. Anvendelsen ble utført av Mette Borchgrevink 2 . nalvår 1 9 79 . Hun var ansvarlig for den ju rid isk e sida ved denne delen av prosjektet.

Siden da har jeg vesentlig arbeidet mea teoretiske spørsmål i tilknytning tiJ systemet. Inneværenue år er aet vårt mål å lage en program-pakke for analyse av rettslige

avgjørelser.

Jon Bing ved avdeling for EDB og Sverre Spurkland ved Norsk Regnesentral Irar vært mine veiledere. Jeg v il takke begge for ideer, inspirasjon og kritik k. Likedan Mette Borcngrevink som er medansvarlig for en del begrepsdefinisjoner og ThorDjørn Meringdal som i en tid lig fase av prosjektet bidro med ideer og kritik k.

Oslo 1. juni 1981

Johs Hansen

- 2 -

Innhold:

1 Innledning

2 Representasjon av- og antakelser om beslutningene 3 Ntetematiske definisjoner

4 Matematiske egenskaper ved materialet 5 Metode for beregning av minimal F

6 Hjelpemiddel for kvalitativ analyse av beslutninger og manuell konsistensanalyse

7 Statistiske mål. Hypoteseprøving. S-regler og beskr- anking

8 Program og filstruktur

(I appendiks C er ei fullstendig innholasliste)

- 3 -

1 INNLEDNING

1 .1 Bakgrunn for oppgaven

Analyse av rettslige avgiørelser spiller en h elt sentral rolle i jusen. Avqjørelser fra domstoler (spesielt lagmanns­

rett og høyesterett) kan brukes i en ju ridisk argumentasjon hvis det kan påvises at de har relevans for den aktuelle beslutningas u t f a l l . Avsagte domner er rettskildefakto rer.

Juristen må argumentere for at det fin s en eller flere normer i avgjørelsen som er relevante. "Eli r e tts lig norm kan oppfattes som to-delt: Bi d el av normen beskriver betingelsene for at den skal være relevant, en del beskriver virkningen av at den er funnet relevant" (Jon Bing, Jussens venner 1975, side 15) .

På saime måte som en advokat som skal føre ei sak, kan forskere være interessert i å påvise at det fins en nærmere bestemt ju ridisk norm.

Men hvis lov elle r fo r s k ift e r , som regulerer et område raan v il analysere, inneholder vage regreper kan det ofte være vanskelig å påvise at det fin s en raermere bestemt norm ad den v ei. Iså fall b lir praksis den kilde det kan øses a v . Hvis nå i tillegg de relevante avgjørelsene er svært mange og bygger på et stort a n ta ll fakta som tillegges vekt så nar den tradisjon­

elle juridiske analysen støtt på store problemer.

Spesielt vanskelig har oppgaven vært hvis det har vært vanskelig å s t i l l e opp hypoteser om h vilke normer som har vært anvendt. Særlig aktuellt har dette vært i forvaltningspraksis.

Ftorslaget om utviKing av SARA ble foranlediget av et par prosjekter hvor det ble klart at det ikke finnes noe hensikts­

messig verktøy for å oygge s lik e hypoteser.

For å kunne starte på oppgaven b le det .aaovendig å finne en vel egnet representasjon av beslutninger. Dette var i stor grad gjort før jeg ble koblet på prosjektet. Ei beslutning Die

- 4 -

karaktersisert ved resultatet av beslutninga og de fa k ta / argumenter som var tilla g t vekt i beslutninga og hvilken retning (v er d i) hvert argument hadde i forholti t i l resu ltatet.

Det ble nødvendig å bygge opp et sett med forutsetninger som materialene, som skulle analyseres, måtte t ilf r e d s s t il le .

Som programsystem er SARA ennå relativt u ferdig. For tida består programmene av c a . 4700 linjer SIMUIA-instruk- sjoner. Hoveddelen består av 4000 lin je r . Denne tar seg av d efinering av et m ateriale, selve beregningene og presentasjon av resultatene. En del Eor endringer av materialer er på ca . 700 lin je r .

1 .2 Terminologi

Her skal vi meget knapt presentere de viktigste begrepene vi bruker utover i oppgaven.

t*i sak er et problem som er eller kan være av juridisk natur og som påkaller ei juridisk løsning.

To saker tilhører samme beslutninqsområde hvis problemene som skal løses reguleres av samne norm.

Ei beslutning i ei sak er konklusjonen den kompetente instans kommer i.dm t i l som løsning av saka.

Et faktum i ei sak er et hvilket som neist gyldig utsagn vedrørende saka.

Et faktum er relevant i ei sak når det tillegges vekt i beslutninga for saka.

Ei binai beslutning har nøyaktig to mulige resultater.

De to mulige resultatene kaller vi positivt resultat og negativt resultat.

Et argument i e i binær beslutning er et relevant faktum som taler for det ene av de to mulige utfallene.

Et argument er positivt i ei binær beslutning hvis det taler for positivt resultat. Det er negativt hvis det taler for negativt resultat.

- 5 -

Verdien på et argument i ei beslutning er -1 hvis

argumentet er n egativt, 1 hvis det er positivt og 0 hvis det er irrelevant elle r u s p e s ifis e r t. Et argument meci verdi 0 er nøytralt.

Vekta p5 et argument er den vekt argumentet tilordnes i den aktuelle beslutninga.

L)et teoretiske resultatet for e i beslutning er suinnen av vekt m ultiplisert med verdien for a lle argumentene.

Ei beslutning er forklart hvit det teoretiske resultatet har samme fortegn som det faktiske resultatet. Ei beslutning er uforklart hvis den ikke er forklart.

Feilen for e i uforklart beslutning er lik det teoretiske resultatet. Ft>r e i forklart beslutning er feile n 0.

Et analysemateriale (senere bare neterlale) bestyr av et bestemt antall im plisitte beskrivelser av beslutninger.

Di im plisitt beskrivelse av e i beslutning består av to deler: Beskrivelse av de argumenter som inngår og beskrivelse av resultatet av beslutninga. Vi kaller beskrivelsen im plisitt fordi sanmenhengen mellom argumentene og resultatet bare framkomner in p l is it t .

Hvis det for e i g itt mengde av im plisitte beskrivelser av beslutninger er mulig å tinne vekter på argunentene sliit at alle beslutninger er forklart så er denne mengdnn av im plisitte beskrivelser av beslutninger konsistent. Hvis det ikke er mulig er mengden inkonsistent.

Ei beslutning er tr iv iell å forklare hvis det fin s minst e t positivt argument og ingen negative når resultatet er pos­

itiv t eller minst et negativt argument og ingen positive når resultatet er negativt.

Ei beslutning er umulig å forklare hvis det ikke fins noen positive argumenter når resultatet er positivt eller hvis det ikke fin s noen negative argumenter når resultatet er neg­

a tiv t.

Ei dominerende gruppe av argumenter er de argumenter i ei beslutning som taler for resultatet av beslutningen.

Eli dominert gruppe av ar jumenter er de argumentene i ei beslutning som taler mot resultatet i oeslutningen.

- 6 -

Et argument er doiuinereno^ (dominant) i e i beslutning hvis det tilhøret den dominante gruppe av argumenter. Det er dominert hvis det tilhører den dominerte gruppe av argumenter.

Et analyseforsøk (senere oare forsøk) kaller vi jnvencel- sen av en analysemetode på et nateriale.

1 .3 Hva slags problemer skal løses?

Flar vi kan gjøre noe som neist av matematisk analyse av juridiske beslutninger må to oppgaver være lø st. Eli matematisk representasjon av beslutningene må være utvikla. »3 for å kunne sanrnenligne to eller flere beslutninger må det

klargjøres hvilke forutsetninger denne saianenligninga SKal SK]e Disse to problemene er tatt opp 1 kapittel 2.

R>r en juridisk analytiker v il aet forhåpentligvis være nyttig å få presentert ulike beskrivelser av materialet. A finne velegna hjeloenuaael for å beskrive egenskapene t il et bestemt materiale v il derfor være et sentralt problem. I kapittel 3 b lir verktøyet for den deskriptive delen presentert.

Det har også interesse å avdekke generelle egenskaper ved mulige m aterialer. On del generelle egenskaper er reskrevet 1 kapittel 4 .

Analyse av konsistens har interesse av to grunner. Først fordi gode resultater fra konsistensanalysen kan fortelle oss noe om hvor bra beskrivelsen av beslutningene e r . Ug dernest:

Hvis vi kan garantere at beskrivelsen er goa - så kan analysen hjelpe t i l med å plukke ut "tvilsomme" o»*slutninger.

Konsistensanalyse er beskrevet i kapittel 5.

Ftor å illustrere mulig bruk av det deskriptive verktøyet presenteres det 1 kapittel 6 eksempler fra DliF-materialet.

De mest sentrale spørsmålene for en juridisk analytiker' v il nok oftest være knytta til vektlegging på argumentene. Og de to mest aktuelle spørsmålene innafor dette probleinomriaet igjen er

- om et argument har signifikant vekt og - sanmenligning av vfkter på ulike argumenter.

- 7 -

1 kapittel 7 foreslår jeg en s ta tis tis k test for det første problemet og indikerer en test for aet andre.

Til s lu tt må systemets funksjoner og utforming klargjøres. Dette er beskrevet i kapittel 8.

Jeg har aller ed e nevnt at e i skisse t i l representasjonen av beslutningene forelå før jeg ble engasjert i projektet. For de andre løsninger har jeg hovedansvaret.

1 .4 Hvordan vi tenker oss systemet tilpasset og orukt

Vi tenker oss at analysesystemet skal brukes i omgivelser som d isse:

1 . 4 . 1 Beslutningssystemet

Vi har e t beslutningsorgan som har myndighet til å av­

gjøre spesielle ju r id is k e spørsrrdl. Inn t i l dette oeslutnmgs- organet kontner beskrivelser av saker som er aktuelle for behanuling. Beskrivelsene antar v i er beskrivelser av relevante fakta i sakene. Inndata t il beslutningsorganet er også juridisk regulering av problemet som skrevet i lov, fo r s k r ift, e . l . Ut fra dette organet kommer resultater av beslutningene og beskrivelse av begrunnelsene for resultatet.

1 .4 .2 Sa te æ tw r fle r s y s teret

Vi kan anta al den beskrivelsen som er input til beslutningsorganet er et resultat av en saksbehandling.

Saksbehandlingsorganet nat t il oppgave på grunnlag av sakenes fakta å produsere en korrekt og velegna beskrivelse av saken.

1 .4 .3 Analysesysteraet

Analysesystemet tenker jeg meg sammensatt av fir e sen­

trale prosesser.

(1) Foroereaelse t i l koding

Denne prosessen består i å danne argumenter meci lit e varierende vekter. Dette skjer på grunnlag av beskrivelse av sakenes fakta fra saksbehandlerssystemet, beskrivelse av

- 8 -

begrunnelser for beslutningene oy muligens på grunnlag av resultatene fra konsistensanalysen.

Vi tenker oss a t vi kan beskrive forberedolsesprosessen s lik :

beskrivelse av sakenes fakta

beskrivbelse av begrunnelsene

I '

''Hva er relt'VdriEe\

arqumenter?

Resultater fra konsistensanalyse

Hypotetisk rele­

vante argumenter

Resultat og beskriv­

else av begrunnelse forberedt fo^ koding

Figur 1.1 Poroeredelse t il koding

(2) Koding

Kodinga skjer interaktivt på grunnlag av de manuelt utarbeida kodedata.

(3) Konsistensanalyse

Vi antar at vektene på argumentene i ei beslutning er positive reelle t a l l . Vi har e i hypotese om at en god del juridiske beslutninger kan beskrives ved h jelp av argumenter som er ensartet med hensyn på det faktiske forhold det samre argument avledes fra, samt at argumentet har relativt stabil vekt fra beslutning t il beslutning.

Por å oppnå mest mulig ensartete argumenter skal vi bruke en tekniKk som vi kan kalle loealisering av peslutningene. I

- 9 -

stedet for å forutsette at vektene er relativt s t a b ile , skal vi forutsette at de er konstante. Denne idealiseringa y]ør v i for å forsøke å påvise t ilfe lle r der argumentene er l it e ensartet.

Denne påvisinga av l i t e varierende vekter er det vi ønsker å løse ved h jelp av konsistensanalysen. Når det er funnet inkonsistente mengder av beslutninger der brukeren s t i l l e seg sparsmål om hvilke beslutninger som ikke tåler idealiseringa - og hvorfor.

(4) Statistisk analyse av vektene

Fterst når vi har oppnådd rela tiv t ensartete argumenter v il vi starte på en sta tistisk analyse. Da forutsetter vi ikke konstante vekter, men at vektene har l i t a variasjonsbredde.

Altså har vi løsna l it t på antakelsene som b le lagt til grunn ved konsistensanalysen.

Hvis det ikke er mulig for den som skal analysere oe- slutningene "å gå bak beslutningsprosessen", så er han begrensa til å analysere oegrunneIsene for beslutningene. Han kan ikke si noe ora beslutningene som ikke står i oegrunnelsen. Eller tor å si det på en annen måte: Fiktive Degrunnelser v i l v illea e den som analyserer beslutningene. Den som analyserer materialet kan da ikke uten å gi seg ut på spekulasjoner drive noen særlig grad av reforinulering av argumentene.

Verdien av en analyse mea så begrensa innsikt er begrensa av hvor god beskrivelsen av beslutningene er i uegrunnelsene, hvor godt de gjenspeiler de faktiske vurderingene i selve be­

slutningene og hvor godt d is s e oygget på saicens fakta.

Hvis den som analyserer kan få se saksuenanalerens doku- irenter - eller endatil s jø l granske saicens fakta - så kan han om han i tilegg har god innsikt i beslutningsprosessen seiv re- formilere argumenter, osv. På denne måten v il han selvsagt få bedre innsikt i selve beslutningene s l ik de ble fa ttet.

- 10 -

Juridisk regulering av området

Sakenes fakta

--- ---\

^Saksbehandling J

Beskrivelse av sakenes Eakta

Beslutningsprosess^

-Jf- —

Resultater og beskr­

ivelse! av begrunnelser

_______ L_________

^Forberedelse til koding)^"

, V

Resultater og beskrivelser av begrunnelser forberedt

for koding

G

Koding

_____ if ... _

Koda beslutninger

V

^S tatistisk analyse

Resultater fra analysen

Figur 1 .2 Skisse av beslutnings- og analysesystemet

- 11 -

2 REPRESENTASJON AV- OG ANTAKELSER OM BESLUTNINGENE

2 .1 Representasjon av beslutningene

Vi antar at beslutningene som skal analyseres er truffet ved anvendelse av én og sanme ju rid iske norm. Vi antar at norm­

en er uttrykt i lov, forskrift e . l . Qi norm er generelt av formen

Hvis B så K.

B er her sakens fakta og K er de rettslige følger påvising av B får i henhola t i l normen. B 's form kan variere fra 'harde fakta* t i l 'vurderingsprega f a k t a '. K kan være en lorm ror påbud, t il la t e l s e elle r forbud osv . B og K kan s e lv fø lg e lig , hver for seg, være sanmensatt.

En som skal bruke SARA må forsikere seg om at æ slu tm n g - ene er truffet ved anvendelse av saume norm rør han koder mat­

e r ia le t.

Vi antar at resultatene av æ slu tn in g en e er oinære. Med det mener vi at vi kan beskrive resultatet av beslutninga for ei sak som ett av to gjen sidig utelukkende altern ativer. Vi representerer de to mulige resultatene som to utsagn Ul og U2.

Det skal da være s lik at Ul er identisk med "IU2. U2 er dermed identisk med "lul. Det er klart at valg av utsagn for å

karakterisere resultatet er svært v ik t ig , siden vi 30 er interessert i å finne sammenheng mellom nærvær av argumenter 1 e i beslutning og u tfa llet av den. Vi antar at valg av utsagn veiledes av konsekventen K i norm-uttrykket

Hvis B så K.

Vi kan nå bestemme oss for å kalle ett av resultatalternativene for p o sitivt og det andre for negativt. La oss si at v i Kaller det resultatet som vi nar representert med Ul for p o sit iv t. Da er det resultatet som vi har representert meo U2 negativt.

Representerer v i resultatet for beslutning i med o , og pos­

- 12 -

itiv t resultat med + og negativt med -, s å kan v i skrive:

- hvis U2

Utsagnet til det positive resultatet kaller vi PR. I vårt t il f e l l e er PK = Ul.

representerer nå resultatene for de n beslutningene.

E>or et materiale n^i det være mulig å bestemne et endelig antall argumenter. Vi tenker oss at vi leser gjennan alle begrunnelsene for beslutningene og at vi danner ei liste av de argumenter som trekker i retning av positivt resultat. Disse argumentene kaller v i altsa positive argumenter. Likedan tenker vi oss at vi danner e i liste av de argumenter som trekker i retning negativt resultat. Disse kaller vi altså negative argumenter.

La P^, ___. , P s være s utsagn som representerer de ulike positive argumentene. La • • »Ps] -t*» C^, .■ ./C^ være r utsagn som representerer de negative argument­

ene. c= { c x , . . . , C c] .

Vi krever at PflC = ø . Det v il si at lista av positive argumenter har ingen felle s argumenter med lista av negative argumenter.

Sett at vi har A é P A A é C . Dermed har vi a é

pnc =* pfic *

Den måten vi løser dette problemet på er ved å finne ut hva som særpreger argument A når a6 P og hva som særpreger A når AfcC.

Forhåpentligvis er vi da i stand til å redefinere argumentene s lik at disjunkthetskravet opofylles.

La oss kalle argument A for B i det t ilf e ll e t når A t C . Hermed har vi AÉ-PABé-C og

+ hvis Ul

b=

A^POC,

£ Pfic.

- 13 -

La oss illu strere dette med et eksempel. La oss anta at tema for den ju r id is k e avgjørelsen er Hvorvidt bedrifter skal få støtte t i l opprettelse eller ikke. La oss kalle "innvilgelse av søknad om s tø tte " for p o sitiv t resu lta t. Anta at "dårlige komnunikasjoner i regionen” generelt er et negativt argument.

Anta videre at det søkes om støtte t i l opprettelse av en transport-bedrift. Det kan da være nærliggende å tro at dårlige kommunikasjoner i regionen ikke taler mot, men for støtte.

Men er det faktum at det er "d å rlig konmunikasjon i regionen" i seg selv et positivt argument ved søknad om støtte t il transport-firma? Jeg v il tippe at det er som et moment ved vurdering av forhola som forutsetninger for å klare seg / oenov for s l ik t firma -som strukturargumenter - at faktumet framstår som et po sitiv t argument.

Ser vi nærmere på hensynet "forutsetninger for å klare seg" så er kanskje dette generelt avhengig av forhold som

-ledernes dyktighet osv.

-egenkapital

-konkurranse med andre foretak -komnunikas joner

osv.

Her begynner forskjellen mellom transportbedriften og andre bed rifter å b li interessant. For mens dårlig

koninuniKasjon kanskje svekker forutsetningene for å klare seg for en produsent av et oestemt materielt produkt, så er aet kanskje irrelevant i bedømninga av forutsetningene for et transportf irma.

Vi sier a t de positive argumentene har positiv verdi og at de negative argumentene har negativ v erd i. Vérdien angir retninga et argument trekker i .

Det samme argument,A, skal ha sanme verdi i alle beslucninger. La oss representere verdien t i l argument A med {f(A ) . For edle A f P skal [J\K) - 1 og for a l l e AfcC skal C^(A) =

-1.

Vi antar a t v i kan representere vekta på et argument som et positivt reelt t a l l . VeKta for argument j i beslutning i

representerer vi ved . Videre antar vi at for to

- 14 -

beslutninger, i og k, med lik e sett av argumenter så er vektene uf. . = tlC . for a lle argumenter j .

1] Kj

Vi antar at vektene på saume argument varierer l i t e . Det v il s i at det fins w s lik at for a lle i og j .

Her ligger det blant annet en antakelse om at vekta på et argument i ei beslutning er tilnærma uavhengig av hvilke andre argumenter som forekommer i beslutninga.

Det kan være gunstig - for oversiktens skyld - å framstille rekka av antakelser om vekt skjematisk:

Vekta på et argument, f . eks det j-te i beslutning i

antar at vekta lar seg representere av et ikke- negativt reelt tall

tekstlig beskrivelse

ur.

ur

positiv konstant

antar at vekta på et arg­

ument varierer bare mtd hvilke andre argumenter som foreligger i beslutninga

antar at vekta på samme arg­

ument varierer lite over i , w . ~ JT

Ingen av disse skrittene er triv ielle etter mitt skjenn, ikke en gang første s k r itt.

Et komplementært par av argumenter består av to argumenter A og B, notert (A,B) hvor A = T B . Por et konplementært par av cirgumenter er det dessuten slik at

A é PC( = ? B £ PC i ,

der PCj er mengden av argumenter som foreligger i beslutning i . Det v il altså si at argumentene i et komplementært par forekonmer aldri i samne beslutning.

I et konpleinentzert par av argumenter skal det være s lik at a £p& > b £ c .

- 15 -

I et komplementært par av argumenter (A , T A ) , skal det videre være s l ik at

U A A) = U f ( l A ) .

Fra foranstående har vi at [/ (A) = - l A T A ) .

( A , £ ) er et ufullstendig par av argumenter der £ skal bety det "tomie argument". Siden det t o m e argument kan sies å forekomme i a l l e beslutninger definerer vi

{/(£> = 0 .

Paret består av bare ett reelt argument.

Et u fullstendig - elle r komplementært par av argumenter - skal v i bruke fellesbetegnelsen argumentpar om.

Det er praktisk å lage en dei.inisjon som denne, siden en ikke kan vente a t a l l e argumenter som brukes i de materialene vi skal analysere danner konplementÆre par.

Av a lle argumenter i et materiale danner vi et så lite antall argumentpar som mulig.

La AP = f (P1,c 1 ) , (P2,C 2 ) ... » (P ^C ,,,)} være lista av argumentpar. Det må da være slik at

( V j ) : P3 = v P^ = l v Cj = £ .

Når lis ta av argumentpar er danna, så kan Koainga av beslutningene s ta r t e . Por hver beslutning i ;nå aet for hvert argumentpar merxes av om

1) det er kjent at P^ er til stede, 2) det er kjent at er til stede, 3) verken 1 eller 2 er t il f e l l e ,

4) det er kjent at p^ eller C_ er t i l sted e , men dette betraktes som irrelevant.

4 har prio rite t over 1 og 2. 1 ,2 og 3 er gjen sid ig utelukkende.

La være en arqument-vanapel som er deiine rt ved f Pj nvis P jÉ PCi

« * ij = 1 C3 hvis C j É P C i

^ ^ elle rs

La være argument-variaoel-ve<toren for den i-te

beslutninga. Ot. forteller hvilxe argumenter som er t il stede i beslutning i .

- 16 -

« i = ( ^ . ^ 2 , ^ 3 ... «i»)-

OC... skal vi kalle argument j i den i-te beslutninga eller synonymt: det j-ts argument i beslutning i .

r 1 hvis CM. . = p

= ) - 1 hViS^j =CD

( 0 hvis £

Siden r.kal vi tilla te oss å bruke vekta på det j-te argument synonymt med vekta på det J-te

argumentparet. VI ser at tilsvarende er umulig for verdiene.

Vi har nå Eølgerue enkle uttrykk for verdien på argument numner j i beslutning i :

f 1 hvis P^ t PC^ og P^ er relevant V ^^ = < - 1 hvis PC1 og Cj er relevant

( 0 elle rs

Ei beslutning kan vi nå representere som et par ( V j . b j K Siden V j- w ^O -v . w > 0 kan vi betrakte beslutningene (v^,-) og (-Vi#+) som ekvivalente. Vi erstatter beslutningene (V^,-) med (-V^.+J og skal aerfor overalt anta at a lle resultatene er positive mea mindre det motsatte er slått utrykkelig fast.

De fakta - eller argumenter - som inngår i ei beslutning er representert ved verdiene 0, - 1 elle r 1. Resultatet b.

angir vi ved + eller - . Således er ( ( - 1 ,0 ,1 ) ,+ ) ei beslutning med tre argumentpar. Verdiene for argumentene som forekommer er -1, 0 og 1 . Resultatet er positivt.

Vektsunmen for ei beslutning, VS, er definert ved L2>

VS =v. UJ = > V. M f .± .

i i i L - i j i j

J=1

Siden vi antar at UT. ^ w y så er ]=m

VSi / v v iw = ^ i ] w]

j= l

- 17 -

2 .2 Matematiske modeller av beslutningene

2 . 2 . 1 Fullsten dig na^eifBtisk_niodell^ av_bes_lutn_Ln2erje_iTied im plisitte vekter

(P R ,A P ,P ,C ,V ,b ,w ) definerer ni en fullstendig mate­

matisk modell av beslutningene.

I figur 2 .1 skal vi vise e i skisse over m odellutviklinga.

Eli sirkel skal representere en prosess, ei rute skal representere data i tilknytning til prosessene.

Når verdimatrisa er produsert kan vi for de fleste formål glemne a lt unntatt V og w.

2.2 . 2 U f u l ^ s t e r t d t e f n a m o d e l :l_av teslutnircgene med inj>lisitte_v <ter

(V,w) definerer en ufullstendig modell. V i kaller fen ufullstendig fordi, den har abstrahert vekk a l t som knytter npd- ellen t il e t ju r id isk problem. Videre kan v i lage en f u l l­

stendig modell av en ufullstenuig ved å Eøye t i l parametrene D, PR, AP, P og C . Disse må ha de egenskapene som før er nevnt for at modelllen skal være entydig og dermea for at fortolKinga av resultatene skal kunne skje formelt r ik tig .

Parametrene V og w kan vi derfor kalle beregnings- parametre og de øvrige artv-^ningsparametre i den fullstenaige modellen.

I det videre v i l jeg med modell referere txl den u fu ll­

stendige m odellen.

Vi skal prøve å finne fram til en modell som gir oss ei optimal mengde av konsistente beslutninger. Dett.» er et av hovedmålene t il oppgaven. Med (V,w} skal vi betegne denne modellen, som er u fu llsten dig , men med ek s p lis itte vekter w!

- 18 -

Beskrivelse av sakene og beslutningene

t z :

c

Lovtekst

Besteime hva som <•(

resul tatalter. ative

Resultatalternativer

('

( Bestemne positivt resultat^ z'Bestenme hva som er \

J, v relevante argumenter/

l i

Positivt resultat

PR Relevante argumenter

Bestemne P og C

)

Itode resultatene^I P og C

\ c

r .

\

AP ->

f^Ta s tillin g t i l ^ hvilke argument som foreligger

L

Beregning av verdiene for beslutningene når alle res­

ultatene er positive

Fbreliggende argumenter i beslutningene

_____V __

Danning av "N argumentenes verdier

Figur 2 .1 Skisse av modellutviklinga.

- 19 -

2 .3 Antakelser om materialet

Jeg skal opfsunmere oe betingelser som et analysenater- iale må oppiylle lor at SAKA-modellen skai kunne anvenaes.

Om norm.

(Al)Beslatningene må være trurtet vea å anvenoe en og saiime norm.

Gm beslutningene.

(A2) Beslutningene må være binære oeslutninger.

un argujnej-parene.

(A3) For e t materiale må aec være mulig å restertme et endelig antall argumentpar.

(A4) Samre argument må ha sarnne verai i a lle beslutninger i m aterialet.

(A5) For hvert arguiaantpar - i a n e oeslutninyer - må aet være mulig å avgjøre om

a) aet po sitiv e argument et t il steue o) det negative argument er t i l steae exler

c) det argument som er til steoe er irrelevant eller u) det er uspesifisert om a e n e r o er t i l f e i l e . Qn vektene.

(A6) Vekta på etnvert argumentpar må være større eiui 0.

(A7) Vekta på ethvert argunent i ei oeslutning må være uavhengig av de ^nare argumentene i ueslucninya.

(Ati; VeKta på ecc og sanme argumentpar må variere iic e l aet m a c e n a le æ re g n in gen e uctares ror.

2 . 3 . 1 Prooiemer i roroinaeise .ned antaxelsene (1) Vansker mea å få oetingeisene ofp tv ilt A l . netingeisen om én norm.

Hvis sanme norm regulerer oeslutninger innaror torsnjei.- n g e ueslutningsområuer så Kan a lie d is s e oeslutningene y<i inn i .n a c en a le t.

Hvis rorsn jellige normer regulerer sa<er rra sanme oe- slutningsområde må oesl ..tningene anaiyseres i grupper etter

- 20 -

Kravet om at beslutningene skal være regulert av sanme besternnelse reiser en del problemer. For hva am praksis har utvikla en norm fra to, eller to fra en, og endringa i praksis ikke har resultert i enuring av bestemneIsene? Skal da den rettslige reguleringas tekst eller praksis legges t il grunn ved vurdering om betingelse Al er oppfyllt? Her må vi svare at det er normene s lik de fortolkes ved praktisk anvendelse som skal legges t il grunn. Det v il si at i det første tilf e ll e t kan to materialer slås samnen og analyseres under e tc . I det andre må ett materiale splittes i to og delene analyseres uver for seg.

A2. Betingelsen om binære beslutninger.

Resultatet av ei beslutning må være uxnært. Denne b e­

tingelsen ekskluderer mange typer beslutninger fra å Dli analysert av SARA. Men det er ikke noen spesielle problemer med å avgjøre om en type beslutninger er birære eller ikke, dvs. ja /n e i avgjørelser eller avgjørelser med oare to m ilige u tfa ll.

A3. Betingelsen om et endelig antall argumentpar.

Prinsipielt er det klart inulig å oppfylle betingelsen A3 hvis vi forutsetter at antall saker er endelig og at antall kjente relevante fakta i hver sak er endelig. Men

argumentparene må også oppfylle betingelsene A4-8. Ved krav t il stor nøyaktighet kan særlig betingelse A8 gjøre at antallet argumentpar skyter voldsomt i været.

Krav til effektiv itet ved bruk av modellen tils ie r at brukeren tilstreber seg på å begrense antallet argumentpar så mye som n u lig .

Mayaktighet og effe ktiv ite t v il oftest stå i motsetning t il hverandre. Krever en stor nøyaktighet går det ut over effektiviteten . Krever en stor effektivitet går det ut over nøyaktigheten.

Por å få best mulig effektiv itet bør en altså ha så få argumentpar som mulig. Da bruker en mindre tid til

registrering av hver enkelt sak og beregningene tar mindre tid . Men det kan hende at en må bruke mye tid på å finne argumentpar som oppfyller betingelsene A4-8.

- 21 -

Det bør være så enkelt som mulig å kode beslutningene.

Det v il s i å besteimve hvilke argumenter som er t i l stede i beslutningene. Det b lir derfor viktig å legge argumentparene på e t nivå s lik a t kodinga b.Lir så enkel som mulig.

Argumentparene v il derfor ofte med fordel ligge på forskjellige abstraksjonsnivå.

Brukere av systemet må altså vurdere hvor mye de vil investere i forberedelser ut fra krav t i l effektiv oruk og nøy­

aktighet.

A 4 . Betingelsen om samme verui på samme argument.

Et problem i forhold t i l denne betingelsen er beskrevet i 2 . 1 i eksempelet med transportbedriften.

En annen type problem som kan oppstå er dette: Si at vi har et faktum "egenkapital i forhold t i l behov". Kan vi bruke det som argument? La oss s i at vekta på argumentet som en

funksjon av forholdstallet kan beskrives tilraermet s lik som på figur 2 .2 . Faktumet skifte r etter figuren verdi i I og I I . Så snart det dukker opp saker med forholdstall mellom 0% og I eller mellom I I og 200* er argumentet uegna etter betingelse A4. Ei anna sak er at det er lik e uegna etter betingelse A8.

v e k t

(positiv

v e r ö l )

Figur 2 .2 .

- 22 -

Por å oppfylle betingelse A4 må argumentene som oannes av faktumet formuleres noe a la "egenkapitalandel som taler for"

00 "egenkapitalandel som taler mot" støtte. Da kan argunentparet brukes ut fra det kravet som M s t ille r .

A5. Betingelsen om bestembarhet av eksistens for et argument i ei beslutning.

For hvert argumentpar - i a lle beslutninger - må det være mulig å avgjøre oin

a) det positive argument er til stede b) det negative argument er t il stede eller

c) det argument som er til stede er irrelevant eller a) det er jspesifisert om a eller b er t ilfe ll e . Parst skal vi ta opp problemer i forb^jidelse mea å av­

gjøre om et argument er til stede eller ikke.

oss tenke oss at vekta på argumentparet " goa konnunikasjon" er en slags tunksjon av kvaliteten.

Figur 2 .3 .

Vi v il £å problemer med å avgjøre saker innafor en sirkel som tegnet på figur 2 .3 . Er det "god-" eller "dårlig Konmunik- asjon" som er til stede innafor sirkelen? Problemet vil være desto større dess mer ulike typer komnumkasjonsforhola som skal samtienl ignes.

- 23 -

Ei anna vanskelighet kan være å ta s t il lin g t il hva som var de faktiske forhold da ei krim inell handling ble begått.

Var faktum X t i l sted e , elle r var det ikke det? Lette proDlem- et v il ofte være verre å løse enn det første pga. at situasjon­

en ikke kan rekonstrueres.

la oss se på øvre halvdel av figur 2 . 3 . Den prikka streken kan representere den maksimale vekten. Cm kvaliteten på et kommunikasjonsnett lar seg representere som et punkt på x-aksen, kan vi si at vekta på argumentparet er ca 40% av det det maksimalt kan være. Vi kunne da definere "god

komnunikasjon" som den "absolutt b este" og s i at krite riet var 40* t il stede. (Ikke innafor modellen.) Det vi gjør er å si at vekta på argumentet "god komnunikasjon" varierer fra 0 t il maksimalverdien, i det aktuelle t i l f e l l e t 40% av maksimal­

verdien og at argumentet helt og fu l l t er t il stede. En annen tj.ng er at b etingelse A8 krever tilrærma konstante vekter.

Det kan også opp6tå problemer med å avgjøre om et argument i ei beslutning er s pesifisert eller u sp esifisert.

Det skyldes g jerne problemer med å få mer innsikt i saka. ften kan tro at et argument er t i l stede uten å være nelt sikker.

On en ikke kan gå tilJbake og sjekke vi] eiet være flytende overganger som skaper problemer.

A6. Betingelsen om positive vekter.

Vektene på ethvert kriterium må være større enn 0 . Dette er ikke noe problem siden positiv verdi og negativ vekt kan transformeres t i l negativ verdi og po sitiv vekt.

A7. Betingelsen otn uavhengige vekter.

Vekta på ethvert argument i ei beslutning må være uavhengig av den argumentkonstellasjonen som forekonroer i Deslutninga.

Er det avhengighet mellom to vekter og i en g it t argumentkonstellasjon så kan vi danne ei gruppe av alle beslutningene der den s p es ie lle konstellasjonen forekormer for å fjerne e i avhengighet fra det opprinnelige m aterialet.

Det er kla rt at for materialer der vektene på de ulike argumenter er sterKt avhengig av h vilke andre argumenter som forekomær så er ikke materialet egna t i l å b l i analysert av SARA.

- 24 -

Betingelse A7 er ikke et absolutt krav. Men det må være tilnærma oppfyllt om resultatet skal b l i bra.

A8. Betingelsen om lite varierende vekter.

Vekta på et og sanme argumentpar må være lit e varierende i det materiale beregningene skal utføres fo r.

Det er to særlig viktige problemer forbundet med denne oetingelsen. Det første er at vekta på e t argument er avheng­

ig av konstellasjonen argumentet forekonmer i . Det er tatt opp særskilt som betingelse A7.

Så er det argumentpar som har vekter som er uavhengige, men sterkt varierende.

Man kan tenke seg at vekta på det negative argument

"økologiske skadevirkninger" i DUF-avgjørelser kan represen­

teres som en kontinuerlig funksjon av graden av skadevirkning s lik :

Figur 2 .4 . Vekta som funksjon av skadevirkninger.

Argumentet tilfred sstiller absolutt ikke kravet om lite varierende vekter hvis graden av skadevirkninger i

beslutningene er svært spredt langs skalaen. F.eks. hvis kriteriet kan representeres som på figuren for beslutning nr I , II og I I I .

- 25 -

Hvis argumentet for a ll e beslutninger kan representeres noe i rasrneten av det som kunne gjøres for de 5 beslutningene innafor s ir k e le n , skal vi im idlertid kreve stor nøyaktighet hvis vi ikke godkjenner argumentet.

Men i det første t il f e l l e t b l ir v i nødt t i l å sp litte argumentet i minst tre argumenter. Vi kan kalle aem 1 . , 2 . og 3 . grad av skadevirkning. Den beregna vekta for argumentparet bør helst være e t slags gjennomsnitt av de reelle vektene. Den beregna vekta v i l avvike mye fra den reelle hvis v i ikke s p l it ­ ter opp argumentparet. Dette kan b l i ei stor fe il k ild e i beregn ingene.

Hvis a ll e grader av skadevirkninger er lik e sannsynlige i materialet kan vi innføre forventa vekter for argumentene 1. , 2. og 3. grad av skadevirkninger (tykk strek ) . Hvis lavere grader av skadevirkninger er mest sannsynlig v i l forventnings­

verdien senkes.

Vfektene på argumentparene kan også endres systematisk over t id .

Por et komplementært par av argumenter krever vi at vektene på de to argumentene i paret skal være tilnærma like . Vekta på argument fra et argumentpar må altså være

verdiuavhengig.

(2) Konsekvenser hvis betingelsene om materialet ikke er oppfylt.

A l. Fo rsk jellig e eller flere normer.

Hvis beslutningene ikke er regulert av saime, men av forskjellige normer og resultatet betraktes som utslag av bruk av en norm kan flere fe il oppstå.

-Udefinerte argument.

Siden nonnene ikke er like kan relevante fakta være ute­

la tt. Isåfall må resultatet fra sakene forsøkes forklart vea et ufullkomment sett av argumentpar. Noen argumentpar må kanskje få større vekt enn de burde for at beslutnigene skal bli forklart.

- 26 -

-Ikke-relevante argumenter.

Argumenter som ikke er relevante for en norm som vi v il irodellere kan være relevante for en annen norm. Når derfor beslutninger som er fattet ved bruk av den første normen fo r ­ søkes forklart ved Jen andre normen kan det hende at vekta på argumentet blir trukket not 0.

-Vektene kan variere.

Sjøl om et argument er relevant under begge normene kan vektene være forskjellige.

Hvis beslutningene ikke er et resultat av bruk av én , men flere normer kan og flere problemer oppGtå.

Konsekvenser analogt t il dem beskrevet for forskjellige normer kan opptre.

A2. Beslutningene har mer enn to mulige utta ll.

Dette oppdager brukeren, og det blir ikke noen beregning- e r , eventuelt innskrenkinger i materialet.

A3. Unulig å best emne et endelig an tall argumentpar.

Da er det ikke mulig å definere noe forsøk.

A4. Noen argumenter har ulike verdier i u l m e beslutninger Dette bør tendere i retning av å g i argumentet lit a vekt. Jo mer jo hyppigere argumentet forekonmer mea den mot­

satte verdien av det som er d efin ert.

A5. Hvis et argument i ei beslutning b lir koda som t il stede når det ikke er det og omvendt

Verdien på argumentet er da enten motsatt av det en ønsn- er elle r Q. 1 begge tilfe llen e v il feilen bevirke støy med mindre argumentet hadde tilnærna 0 vekt ved beslutningene.

A6. Hvis vekta på et argumentpar varierer inye fra beslutning til beslutning.

Dette skaper støy og er den viktigste årsaken t il mot­

sigelser i materialene. Men det kan og godt være at selv om vektene varierer relativt mye så fins det ingen motsigelser 1 m aterialet. Støyen blir aa ved konsistenssjekken absorbert i vektene på andre argumentpar.

- 27 -

3 MATHMVTISKE DEFINISJONER

La c og d é R1" . Vi definerer to p a r tie lle ordninger i

c i d ( V i ) : d i c > d c i d A c * d .

3 . 1 v e r d i, vekt, teoretisk resu lta t, forklaring av beslutning og fe ile n for beslutning

3.1 . 1 VercUen t il argumentene

La n x m na trisa V representere verdiene på de ra argu­

mentene i de n fo rskjellig e o e slutm n g e n e.

La V^ være den i-te raden i verdim atrisa. Den

representerer da verdiene til argumentene i den i-te beslut- ninga i m aterialet.

V kan skrives son n rader s l i k : og i .

- 1 hvis argument j i beslutning i er negativt 1 hvis argument j i beslutning i er positivt 0 hvis argument j i beslutning i er nøytralt

V V.

i

Vn-1

- 28 -

eller som n x m elementer s lik :

V = V11 V21

Vxl

’ 12

V22

Vi2

V

Mm

' 'n l vn2 ...nm

Eksempel 3 .1 : Ei verdüiiatnse med 5 oeslutninger og med 3 argumentpar kan se slik ut:

V =

/ I’ 0 -1'

□ 1

0 -1 1

1 -1 0

1 1 -1/

I den videre diskusjonen antar vi at v-matrisa er g it t . Koeffisientene i matrisa Dlir dermed å betrakte som konstanter i de ulike funksjonene som defineres.

3 .1 .2 Vektene på_a£gumentparenc

La w vaire en vektor med m elementer som skal represent­

ere vektene pä argumentparene. w, skal oety vekta pS det l-te argumentpar. Vi krever av vektene at w > o. oss mea w(I) representere vektsummen for argumentparene med inaeKS l f l .

w(I) = 7 w . i é r DO gitt ved

DO = [wfc rf" | wA> o, l < i $ m j kaller vi definisjonsområaet tor vektene.

3 .1 .3 Teoretisk c_eslU tat_tor_Des_lutni^ngene Produktet D^ = v^-w kaller vi det teoretiske

resultat. Hvis v J w > 0 , sier vi at det teoretiske resultatet er positivt. Hvis V . . w < 0 , sier vi at det teoretiske resultatet er negativt.

- 29 -

3 .1 .4 Forklaring_jv eijaes^utning

Vi sier a t et sett av vekter, w = (w1(w2, . . . ,wm) , forklarer e i beslutning i hvis \T. w^O 09 wé-DO.

Den punktmengda som forklarer beslutning i er

= { w t D O | V - w > o(t

La M være ei mengde av beslutninger. Den punktmengda som forklarer M er

WM = ^ w 6DO| Vr w > o j = fl wi

ifc M i £ M

Vi ser at = WflO W Q for to mengder A og B av beslutninger.

La w 6 DO. Vi definerer en polsk funksion t il hver beslutning i som skal fortelle om w forklarer beslutninga eller ikke,

/ sann hvis V -w> 0 FBi (w) = |

L usann hvis V^- w< 0

Ofte skal vi utelate å nevne w s p es ie lt og skrive FB^ for FBi (w)

.

Alle beslutninger i ei mengde M av beslutninger er forklart hvis og bare hvis

A F &1 (w) ifc M

er sann for w£ DO.

Vi skriver FB^fw) = A FB-(w)M 1 i t M

Vi skriver fortsatt 1jtedet for H l ^ j .

La Ml være ei mengde av beslutninger som er forxlart av et punkt w£ DO og M2 ei mengde som er uforklart av w.

WM1 ^ WM2

er ni den punktmengda hvor Hl er forklart og M2 er uforklart.

WM2 = A Wi der Wi ={w I Vi ‘ w- ° 1 ' l t M2

Vi sier ar, i£ Ml ikke begrenser hvis WM1 - £ij = WM1‘

Likedan sier vi at j£ M2 ikke begrenser hvis WM2 - {jj= t*M 2‘

30 -

I disse tilfellen e sier vi at verken i eller j begrenser WMiri WM2 '

Por ei mengde rt = Ml(jM2 ser v i at vi kan foreta 2' 1 inndelinger i Ml og MJ Hvis vi har avhengigheter av typen

* Wj så ser vi at ror alle inndelinger der i t Ml og j <:

M2 så er 0 ri^ = ø .

3.1 . 5 Feilen_for_Deslutninger

La feilen for ei beslutning for en vektor w være definert slik

/-V ■ w

Ei ‘“> ■[ o‘

hvis V 'W J 0 å hvis V-- w > 0 E »

La feilen for et materiale av beslutninger være definert ved

E(w) = 2 1 E ,<w>

i = 1 1

3 .2 Konsistente mengder av b e s l u t n i n g e r

3 .2 .1 KonsiJtent^ mertgde_av besliJtninger

Ei mengde ,M av beslutninger er konsistent hvis det fins vekter w , slik at a lle beslutninger i mengda er forklart. Det v il si at FB^(w) er sann for wfcDO. M et konsistent skal vi også uttrykke ved

K (M ).

Vi har nå at

K(M) < =?• W„ + ø

(3

En mengde av beslutninger som ikke er konsistent er inkonsistent.

3 .2 .2 Maisijnalt kons^stentjnengde av_be^lutninge£

Mengden av a lle beslutninger i materialet kaller v i M. Ei konsistent delmengde MB£M er rraksinal hvis MBl>{i}er

inkonsistent for alle i t M - MB. Eller uttrykt på en annen måte. MB er maksimal konsistent hvis alle mengder av beslutninger M som tilfredsstiller relasjonen

M B C H j£ M er inkonsistent.

- 31 -

3 . 2 . 3 QotuiHl inengde_av konsistent£ beslutriing er Di maksimal konsistent mengde av beslutninger MB er optimal hvis for a l l e aeimengu^r M^C m,

|m I > {m b I er inkonsistent.

3 .3 Inkonsistente mengder av beslutninger

3 .3 .1 M_Lnijoal£ j^ton s is tente mengde£ a v_bes i. u tninge r Ei minimal inkonsistent mengde av beslutninger er ei mengde scm er inkonsistent og som også er s lik at ingen d el­

mengde av mengda er inkonsistent.

3 . 3 . 2 Minimale kutt-mengder

L a ff[ være mengden av minimalt inkonsistente deunengær av M. la C & M være en mengde s lik at

m t f f l MBflC f ø.

C kaller v i en kutt-mengde. Bi kutt-mengde C er minimal hvis

|CjJ>|c| for a l le kuttmengder Cj for .

Det er klart at det for et g it t materiale gjerne kan være flere minimale kutt-mengder.

3 .4 Antall uforklarte beslutninger

La Fjlw) være en funksjon som er 0 hvis beslutning i er forklart og 1 hvis beslutning i er u fork lart. A itallet uforklarte b eslu tn in g er,F, for materialet for en vektor w kan vi nå uttrykke s l ik :

i * ~ n F(w) = 2 L F, (w)

i' = 1

Vi har følgende sanmenheng i neilom FB^ og F^:

F B ^ w ) F i (w) = 0 og I F B ^ w ) ^ Fi <w) = 1

- 32 -

3 . 4 . 1 Problemet med å finne et_optimalt konsis tent_mat- eriale

Oppgaven t il aARA kan nå uttrykkes svært enkelt, nemlig minimaliser F . Det v il s i : Finn en vektor w slik at F antar sin minimale verdi.

EXsempel 3 .2 . Minimal F.

La V være som i eksemplet foran.

; i o

0 -1 i

0 -1 ⁱ

-i i 0

-i -i

w

Fra beslutning 1 har vi at wj>w3 , tra beslutning 2 at w > w ,, fra beslutning 3 at w3>w2' ^ca beslutning 4 at

og fra beslutning 5 at v ^ + v ^ w ^ . Fra

beslutning 1 og beslutning 2 følger at w Dette

strider mot beslutning 4. Beslutning 1 strider mot beslutning 5.

Foreløpig konklusjon: A lle beslutninger kan ikke forklares av modellen. 1 eller 2 beslutninger v i l ikke b li forklart. Eir F=1 eller er F=2? Vi ser at hvis W ^w j+ W j og så er F=l. Da er det bare beslutning 1 som ikke forklares. Vi har da manuelt funne*- ei optimal løsning. Alle vekter der w^> og w ^ v ^ , Wj?0, w2>0 og

w.>o er optimale løsninger på problemet vårt. I a lle t ilfe lle r er F=l.

3 .4 .2 L<asn_in£S£OiTi for vekLc/ie

Et løsningsrom for ei mengde av beslutninger er ei mengde WM-M1^ WM1 * 0

hvor M-Ml er e i optimal konsistent mengde av oeslutninger.

- 33 -

3 .5 Dominerinqsbegrepet og noen størrelser knytta t i l det

De argumentene som trekker i samne retninga som resultat­

et kaller vi dominerende argumenter i beslutninga. De argument­

ene som trekker i motsatt retning kaller v i dominerte argument­

er.

La Q A ( i ,j ) være defin ert ved:

( 0 hvis argument j i beslutning i ikke er dominant

1 hvis argument j i beslutning i er dominant

La D E ( i ,j ) være d efin ert ved:

æ ( i r j ) =

f:

^ _ hvis argument j i beslutning i er dominert Ia AQft(i) og ADE(i) være henholdsvis antall aominante og antall dominerte argumenter i beslutning i , og la AA (i) være det totale a n ta ll argumenter l beslutning i . Da har v i :

m

ADM i) = X D A (i ,j ) j=l m

ADE(i) = 2 ! D E ( i ,j ) 3=1

AA (i) = ADA(i) + ADE(i)

Forholdet mellom antallet dominerte argumenter i ei beslutning og a n ta llet dominante kaller vi dominans forholdet for beslutninga. Dominansforholdet, CF, er altså defin ert som

, _ ACE(i)

(1) " ACft(i)

Grunnen t i l at v i definerer det s lik er at vi v il bruke dette forholdet t i l å uttrykke noe ora tyngden av vektene. Vi vet jo at sunmen av vektene på de uominante argumentene er større enn sunmen av vektene på de dominerte. Hvis v i nå representerer gjennomsnittet av vektene på de dominante argumentene ved \T , og gjennomsnittet av vektene på ae dominerte argumentene med w’^ , så har vi

- 34 -

WDA ^ D P I1* ' w d e"

Vi bruker altså dominansforholdet for beslutninga og

gjennomsnittsvekta tor de ocminerte argumentene t i l å uttrykke en nedre grense for gjennomsnittsvekta på de dominante

argumentene for at beslutninga skal b l i forklart.

Om vi nå ikke vet mer om vektene på argumsntene enn disse dominansforholdene for beslutnigene, så kan det være en mulig­

het å ta utgangspunkt i disse i forsøket på å finne rram til vekter som gir en mest mulig konsistent modell av beslutningene.

Antallet g a n g e r ,B E A (j), argument j har vært et dominant argument i materialet er g it t ved:

n

BDA(]) = 2 1 D M 1 ' ! )

i = 1

og antallet ganger argument j har vært dominert, B U E (j), ved n

BEE(j) = 5 ; D E (i ,j ) i = 1

Vi kan nå definere et par interessante størrelser. Uet gjennomsnittlige dominansforholdet i de beslutninger hvor argu­

ment j er et dominant argument er:

^ ■ r a r i .

Det gjennomsnittlige dominansforholdet i de beslutninger hvor argument j er e t dominert-argument er:

1 n

GDE(3) = BDE(J~) DE<i 'J> *DF(i) Eksempel:

La oss s i at vi har følgende fem beslutninger:

( l - 1 0 1 - 1

10 1 1 - 1 1

V = 1 0 1 - 1 1

-1 1 -1 - 1 1

- 35 -

Nedator er de størrelsene som er aetinert i aette av - snittet lista opp.

DA ALA UE AUE UF

0 0 1 0

0

1

0 1 1 0 1

0

1

1

0 1 0 1

0 0 0 1 0 1

0 1 0 0 1 2 1 0 1 1 0

1 0 0 0

2

0 0 0 1

W /

W

BUA (3

2 2 1

1

GDAi

11

1 2

l

18 12

1

Ï .

l2

2

3 .6 Nettverk av peslutm nqer

Vi Kan representere beslutningene som to noaer meu en retta kant mellom. I noaen ved starten av aen retta Kanten representerer v i ae dominante argumentene i oeslutninga. ug i nouen vea slutten av den retta kanten representerer vi ae dominerte argumentene.

Hvis v i nar ei oeslutning > Wj +v7 , s<5 kan vi representere denne oeslutninga s l i c

K Ø

Vi representerer da domirante og aominerte argumenter vea aeres ircieKsmenguer. Hvis vi også nar ei beslutning

W3 +w7^w4 + w i ' ^ ser vl at olsse to oesiutm ngene t il saninen kan representeres vea

© ---- * © ---- * ©

3 .7 Utleaa reslutninger

Hvis v i tra ei beslutning vet at wl +v2> w3+w4

og tra e i anna oeslutning vet at

- 36 -

w3> w2

så kan vi trekke ei interessant slutning. Por at begge beslutningene skal forklares så må

V v

Kaller vi beslutningene for 1 og 2 har vi FBJAFB2^ w 1> w4 .

Vi har altså oppdaget at for at beslutningene 1 og 2 skal for­

klares så må w, Denne typen betingelse er nøyaktig lik de betingelsene som beslutningene legger på vektene for for­

klaring. Vi kaller derfor w^> for ei utleda beslutning.

Utleda beslutninger v il kanskje vise seg å D li et godt hjelpemiddeJ til å røyke ut inkonsistenser i m aterialet.

La I være ei mengde av beslutninger. Vi sier at beslutning j kan utledes fra I hvis

(Sats 3 .1 ) FBj FB

<=»

Bevis: FBj(w) w é Hj ( = fl Wj) i é I

FBj(w) w e .

FBjJw) FBj [w)

w fe Wj. = £ • w £

<=?> wx C . w . . ■

La TO være menge», av alle mulige beslutninger med m argumenter,

re = K I Vl;)e{-1.0,l } , ■

Mengda av utleda beslutninger fra M, UTL(M), definerer v i:

ITTL(M) = £k 6 TO | FBm = * FB ,J

(Sats 3.2) Hvis M er inkonsistent så kan a lle teoretiske beslutninger utledes fra M.

Bevis: Siden FB aldri er sann er M

(FBm -=^ f b^) sann for alle kfelB. ■

Det er egentlig to hensikter med u t l e d n n ^ e r . Eliten å vise at FB^ f b^ for konsistent I . Da er

konsistent. Eller å vise at FB^ f b^ for sjølmotsigende j . Da er I inkonsistent. I dette t ilfe lle t sier vi at vi utleder en motsigelse.

- 37 -

A gi seg ut på å beregne LTTL(I) for store, konsistente, mengder I er u n y ttig . Den interessa som knytter seg til LTTL(I) er om hvorvidt den er konsistent eller ikke.

Følgende enkle sats kan være nyttig:

(Sats 3 .3 ) £ wm

u t l(m) å { k t m | vk-Wl > o j . Bevis: Por a lle k£ U T L(M ) gjelder FB^ -=^ FBk som er ekvivalent med a t W M « w. . Da har vik

Wl fc WM = * W1 6 Wk Vk wl > 0 * * (Sats 3 .4 ) Anta at w f h t .

M V j- w i 0

(FBm ^ FB1>-

Bevis: Siaen w£ WM og så er ikke WM £. fc . . ® Hvordan skal vi oppdage om FB^ FB^ ? Vi bør altså ikke forsøke å beregne 17TL(I). Vi må prøve å finne e i eller anna delmengde X av OTL(I) som tar rimelig tici og plass å beretjre - og som h elst avslører det om I er inkonsistent.

Vi kan trygt s i at X £ U T L ( I ) 0 IT

der IT er mengda av ik k e - t n v ie lle beslutninger.

Den framgangsmåten vi har valgt å prøve er å bruke oirare utledninger. Det v il s i utledninger der |l | = 2 i

FBj = p PHj

.

La oss k a lle mengda av beslutninger utleda ved binære utledninger i mindre eller lik i sk ritt fra materialet M for

u t i1(M ). V i definerer u tl°(M ) = M og

u t l ^ M ) = { p 6 1 b | ( 3 j / k é M ): FB^ A FBK =£> F B ^ fj M u t l1(M) er bestemt ved denne rekursive formel:

u t i1 (M) = u t l1(u t l1_1(H J ), i i 2 .

Hvis u t l l fM) = Litl1+*(M) så kan ikke flere beslutninger utledes. Vi definerer utl(M) = u t l ^ t M ) . Det er nå klart at

utl(M) £; UTL(M) .

Men det er også s lik at det ikke er praktisk å generere u t l (M ). V i har derfor påført hvert skritt i utledningene ytterligere restriksjoner i cillegg til at de skal være binære.

Disse to restriksjonene har vi kalt reduksjoner og konstruksjoner. De presenteres nedenfor.

- 38 -

3 .7 .1 Grunn lage t_f or _noen utledrunger

I SARA-rapporten på side 100 er grunnlaget for 8 typer utledninger skissert. Jeg bruker samne nuimerering på utled­

ningene som i rapporten.

La 1^, l 2 , 1 j og være m enger av argumenter.

(Cl) « l l ^ w d j l -=^ w dj^y I 3)> w ( I 2 ) (C2) w (Ij U I 2) <: w<I3 ) ^ w (I1) < w ( I 3) (C3) w ( I 1)> w (I 2 ) A w ( I2) > w ( I 3)

z=$> w ( I1) > w ( I 3)

(C4) w d j » w ( I 2) A w |I3) > w ( I 4 ) A I j O Ij • v

=£> w (I^ U I3) > w ( I 2 U I 4 )

(C6) w l l j i ; I2) > w d 3 U I L) A I j O l3 = 0 w d 2)> w ( I 3 )

(C7) w ( I 1)> w d j l A I X Q I3 = 0

= > '*<«1 U I 3) > w ( I2 U I 3)

(C9) w ( I 3 U I4) > w ( I 1 U I 2) A w (I1) > w d 3 )

A I3r'I4

= ? > w d4) > „ d 2)

(CIO) w ( I2l» I 3 )

A

w (I1 )> w ( I3 U I 4 )

C9 og CIO er nye. (C5 i SARA-rapporten følger direkte av C8 og er fjernet. C8 følger direkte av C2 og er også fje r n e t ).

3 .7 .2 Reduksjonsutledning

Ei utledning av ei beslutning k fra beslutningene i og j kaller vi ei reduksjonautledninq (kortere:reduksjon) hvis antallet argumenter i den reduserte beslutninga er minor“ enn antallet argumenter i de beslutningene det utledes fra, altså:

AA(k)< AA(i) og AA(k)< A A ( j ) .

3 .7 .3 Konstruksjonsutj.edning

Ei utledning kaller vi en konstruksjon hvis AA (k)> AA(i) og A A (k )> A A ( j ) . Vi ser at de fleste utledninger verken er en reduksjon eller konstruksjon generelt.

Vi ser og at for eksenfiel c3 er en reduksjon hvis AUE(i) > ADE( j) og AOA( j) > ADA(i) .

- 39 -

3 .7 .4 Utled nuK^s tre

Ei utledet beslutning kan selv inngå i a n ttæ d enten i ei ny utledning. Det kan derfor være hensiktsmessig å tenke seg utledningene representert som et tre. Anta a t vi har

F B ^ F B j ,

for ei ei mengde I av beslutninger og for e i beslutning j . La 11/ = r - " • ' xrl ‘ Vl * an representere

utledninga s l i k :

Rota i treet v il da være det endelige resultatet av utledningene. Hvis |l| = 2 er treet Dinært.

Det er ganske innlysende at to utleaningstrær for å u t­

lede samme beslutning ikke trenger vatre identiske.

Utledningstre der hver utledning er en reduksjon kaller vi reduksjonstrær ■ Er a lle utledningene konstruksjoner kaller vi treet konstruksjonstre.

Ut p være det største antallet argumenter i de beslutningene som det skal reduseres fr a . Representerer v i utledningene i et tre så vet vi at dyDden i treet er mindre eller lik fH-1. Det er slik siden antallet argumenter rf>auseres med minst 1 for hver reduksjon, og antallet argumenter i den endelige beslutninga er "> 0.

Ia så p være det mir^ste antall argumenter i de beslutninger som det skal utledes fra vea konstruksjoner.

Antallet nivåer i Lreet for å representere konstruksjonene er mindre elle r lik m-p.

3 . 7 . 5 EXseupei_på reduksjons tre

La oss s i at v i har følgende tre beslutniger:

- 40 -

2 5 . 8 , 9

( T T Z t ) --- ^ , 5 , 6 ,8.9)

0

O— O

1 /2 ,3 ,7 5 ,8 ,9

4 ,5 ,6 ,8 ,9 X 3,7

Ni

*,f> "v ^ 1 , 2

Altså er de tre ovenstående beslutningene inkonsistente.

3 .7 .6 Hv i l^e_u tlednir>ger_bør_u tf øres £

& i kunne tenke seg at en utleda alle beslutninger som er mulig å utled«; ved reduksjoner fra et materiale M. Ville en da klare å utlede alle motsigelser? Vi skal nå vise at dette ikke a lltid er tilfe lle

(Sats 3.5) EA kan ikke utlede alle motsigelser uten kons truxsjoner

Jeg skal vise det ved et ensempel:

Vi har følgende materiale:

- 41 -

f e ) ---* © © --- > ©

(5)—^5) ©^— Q)

Vi kan ikke utlede motsigelsene uten å gjø re en konstruksjon.

Bruker vi konstruksjon, for eksempel på de to første beslut­

ningene får vi

Av denne beslutninga og beslutninga

@ e - 0

kan vi så utlede

som strider mot beslutninga

@ e - @

Altså har vi utleda en motsigelse.

(Sats 3 .6 ) & i kan ikke utlede a l l e motsigelser uten reduksjoner

I for eksenpel følgende situasjon trengs reduksjon:

© — i►©

- 42 -

Ved to reduksjoner kan vi utlede

( S ) '5© ^ 0 Ø ^ / © -* © 0 <9 J 0 O l© - ^ © ■

3.7 . 7 Beskrivelse av_u^edninger_ved_hjelp_av verdiene forjaeslutm ngene

(Sats 3.7) Hvis vi for ei mengde I av beslutninger og ei b e s l u t n i n g j som ik k e e r s e l v m o t s i g e n d e h a r a t

vj ^ c i ' vi ' V - 0 Ifc I

så følger det at F B j F B j

.

Bevis: Hvis I er inkonsistent er dette t r iv ie l t . La w é W r w é - W j ^ < t / i f c D : V - w > 0 .

( V i 6 I) : V.. w > 0 A ‘‘,2 0 A Vj =Z c i ’V i l t I V. -w>0

< ^ > w é W . .

Vi har altså vist at w f " , = $ «6^ Det v il s i at w. , som er ekvivalent med at F B j = ^ KB . ®

Vi har altså vist at

V^ v i ' C!- 0 Deskriver ei utledning av i6 I

beslutning j .

(Sats 3 . 8 ) Anta at vi har Vj = 2 c i v i - c i ^ °

i fe I

og er et rasjonalt ta ll. Det medfører at det fins n t og Oj slik at

Vj = (l /n j) •

2

i 6 l

der n.. og alle n i er naturlige ta ll.