UNIVERSITETET I BERGEN
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.2003.
Obligatoriske Oppgaver Nr. 1 i emnet M100 - Grunnkurs i Matematikk I Innleveringsfrist Fredag 7. mars 2003
Oppgave 1
Regn ut alle skjæringspunktene mellom kurvene gitt ved i) (x−1)2+ (y−1)2 = 5, og
ii)y= 1− x−11 .
Oppgave 2 La f(x) = x+1x−1 og la g(x) = x21−1.
Konstruer den sammensatte funksjonen F(x) = f◦g(x) = f(g(x)).
Oppgave 3 Utled formelen cosx+ cosy = 2 cos x+y2
cos x−2y .
Oppgave 4
Benytt den formelle definisjonen av en grenseverdi til ˚a vise at lim
x→1
x2+ 2x+ 1
x+ 3 = 1.
Oppgave 5 La y =y(t) tilfredstille
y0 =−2y . Regn uty(t) n˚ar det i tillegg er gitt at y(0) = 4 .
Oppgave 6
Benytt definisjonen av den deriverte til ˚a beregne den deriverte av funksjonen f(x) =x3.
SNU ARKET !
1
2
Oppgave 7
Benytt induksjon til ˚a finne en generell formel forf(n)(x) n˚ar f(x) = √ x .
Oppgave 8
Finn en lineær tilnærmelseL(x) tilf(x) = sinxi punktetx= π4. BenyttL(x) til ˚a tilnærme sinx i x = 1. Regn ut et estimat for feilen i denne tilnærmelsen.
Oppgave 9 Benytt Newtons metode til ˚a beregne √
3 med minst 5 korrekte desimaler.
Oppgave 10
Finn ved regning en verdi av x som tilfredsstiller 2x2+4 = 16x.
Oppgave 11
En hotelleier har 80 rom i sitt hotell. Alle rom blir leiet ut dersom han tar kr. 500 per rom per døgn. Dersom han tar kr. (500 + 10 x) per rom per døgn, vil x rom bli st˚aende tomme hvert døgn. Det koster kr. 150 per døgn ˚a betjene et rom som er leiet ut, og kr. 30 per døgn ˚a betjene et rom som ikke er leiet ut. Hvor mye bør hotelleieren kreve per rom per døgn for ˚a f˚a størst mulig overskudd?
Oppgave 12
Du er p˚a fjelltur og vest for deg g˚ar det en rett vei nord-sør. Avstanden fra der du er og til nærmeste punkt A p˚a denne veien er 12 km. Du ønsker ˚a g˚a til punkt B som ligger ved veien 10km nord for punkt A. N˚ar du g˚ar i fjellet, er gjennomsnittlig hastighet 4km per time. N˚ar du g˚ar langs veien, er gjennomsnittlig hastighet 7km per time. Du planlegger ˚a g˚a først i en rett linje mot et punkt O p˚a veien mellom A og B. Derfra vil du følge veien til B. Du ønsker ˚a komme s˚a raskt som mulig til B. I hvilken avstand fra A bør da punktet O ligge? Hvor lang tid tar det før du kommer fram n˚ar du velger den ruten som gir kortest mulig gangtid?
Jarle Berntsen
