11.00 og 13.00 Eksamen TFY4230: Statistisk fysikk Lørdag 21

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPLIGE UNIVERSITET

INSTITUTT FOR FYSIKK

Faglig kontakt under eksamen:

Øyvind Borck

Tilgjengelig p˚a telefon 408 59 107 mellom kl. 11.00 og 13.00

Eksamen TFY4230: Statistisk fysikk Lørdag 21. august 2010

kl. 09.00–13.00 Oppgavesettet best˚ar av tre oppgaver p˚a tre sider.

Tillatte hjelpemidler: C.

Godkjent, enkel kalkulator

K. Rottmann: Matematisk formelsamling K. Rottmann: Mathematische Formelsammlung Barnett & Cronin: Mathematical Formulae

Alle delspørsm˚al teller likt. Les oppgavene nøye. Lykke til!

Oppgave 1

Toatomige molekyler, som for eksempel CO, kan vibrere langs aksen. Vi skal først beskrive molekylet som en klassisk, endimensjonal harmonisk oscillator:

H = p² 2m +1

2kx² a) Beregn partisjonsfunksjonenZ.

b) Beregn midlere energihEiog varmekapasitetC_Vfor den harmoniske oscil- latoren.

c) Midlere energi (og dermed varmekapasiteten) kunne du funnet ved hjelp av ekvipartisjonsprinsippet. Forklar.

Vi skal n˚a beskrive det toatomige molekylet kvantemekanisk. Energiegenverdiene til en endimensjonal harmonisk oscillator er:

E_n =ℏω

n+ 1 2

, n = 0,1,2. . . Egenverdiene er ikke degenererte.

1

d) Beregn partisjonsfunksjonenZ.

e) Beregn midlere energihEiog varmekapasitetC_V. f) Finn lavtemperaturgrensa forhEiogC_V.

g) Finn høytemperaturgrensa forhEiogC_V.

h) Lag to plot (skisser!) som viserhEiogC_Vsom funksjon avT og sammen- lign oppførselen til den klassiske og kvantemekaniske oscillatoren.

i) Hva menes med utfrysing av frihetsgrader?

Oppgave 2

En kjede med tre Isingspinn har Hamiltonfunksjon:

H =−J(s1s₂−s₂s₃)

hvorJ er en positiv konstant.

a) Skriv ned alle konfigurasjonene og de tilhørende energiene.

b) Vis at partisjonsfunksjonen kan skrives som Z = 8 cosh²(βJ)

c) Regn ut midlere energihEi. FinnhEii grensenT →0og tolk resultatet.

d) Regn ut korrelasjonsfunksjonen hs1s₃i. Ta grensen T → 0 og tolk resul- tatet.

Oppgave 3

I denne oppgaven skal vi studere en ideell Bosegass iddimensjoner. Partikkeltett- hetenρer gitt ved

ρ=C_d Z ^∞

0

dε ε^(d−2)/2 e^β(ε−µ)−1 derC_der en dimensjonsavhengig størrelse.

a) Hvilken begrensing gjelder p˚a verdiene det kjemiske potensialet µkan ta?

Begrunn.

2

Restriksjonen p˚aµimpliserer en maksimal partikkeltetthetρ_maks. b) Vis at

ρ_maks=C_d(kT)^d/2Γ d

2

ζ d

2

der Γ(s) er Gammafunksjonen og ζ(s) er Riemanns zetafunksjon. Den kritiske temperaturenT_cfor Bose-Einstein-kondensasjon er den laveste temperaturen hvor partikkeltettheten er likρ_maks.

c) FinnT_c.

d) I hvilke dimensjoner er T_c 6= 0, det vil si, i hvilke dimensjoner kan en ha Bose-Einstein-kondensasjon?

Oppgitt:

Γ(s) = Z ^∞

0

dt t^s−1e^−t, s >0 ζ(s) =

∞

X

n=1

1

n^s, s >1

3