Eksamen i Emne SIF 4060: Elektromagnetisk teori

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Faglig kontakt under eksamen:

Hans M. Pedersen, tlf. 93587 (mobil: 48 26 55 19)

Eksamen i Emne SIF 4060: Elektromagnetisk teori

Lørdag 8. desember, 2001 kl. 09.00-15.00

Tillatte hjelpemidler: C - Spesifiserte trykte hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt.

Rottmann: Matematische Formelsammlung Barnett & Cronin: Mathematical Formulae Øgrim: Størrelser og enheter i fysikken Se også oppgitte formler side 5-8.

Oppgave 1

For en rektangulær bølgeleder med sidekanter a og b er løsningene for TE_mn modene gitt ved B_z =B0^cos

(

) (

)

hvor B0 er en konstant. Disse oppfyller

2

[ ( )

]

2 2 2

=

−

∂ + +∂

∂

∂

z z

z c k B

y B x

B ω

hvor k er bølgetallet i z retning, dvs. i bølgelederens lengderetning.

a) Bestem dispersjonsrelasjonen (k som funksjon av ω) for disse modene, og vis at den kan uttrykkes som

1 _{2 2} . c mn

k = ω −ω

Finn frekvensen ωmn uttrykt ved a, b, m og n.

Hvilken betydning har frekvensen ωmn?

b) Finn fasehastighet og gruppehastighet for modene.

c) Vis at med

^cosθ = ¹−

(

)

kan resultatene i b) forklares ved at vi har en superposisjon av plane bølger som forplantes under en vinkel θ med z aksen.

d) Bølgelederens dimensjoner er a = 2.28 cm og b = 1.01 cm.

Hvilke TE_mn moder kan forplantes når frekvensen er 1.70⋅10¹⁰ Hz ?

Hvilket frekvensområde må velges dersom bare én mode skal kunne forplantes?

Oppgave 2

a) I elektrostatikk er det elektriske feltet bare gitt av skalarpotensialet V. Vi antar at feltet skyldes en ladningsfordeling ρ(r) i fritt rom (vakuum).

Hvilke differensialligninger oppfyller E og V? Skriv dem ned.

Bestem elektrisk felt E og ladningsfordelingen ρ når potensialet er gitt som:

[ ( ) ]

ïï î ïïí ì

≤

−

>

=

. for

; 2 3

1 4

for

; ) 4

(

2 0

0

R r R

R r Q

R r r

Q V

πε r πε

b) Det forutsettes kjent at

, ' hvor

; ' ) ' 1 ( 4

) 1 (

0

r r r

r = _πε

ò

og at

( )

å

− =

=

0

' ' cos

1 ' 1 1

m

m m

r P r

r θ

r

r r ,

hvor de første Legendrepolynomene er: P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = (3x²−1)/2, ..osv., og θ ' er vinkelen mellom vektorene r og r'.

Vis hvordan potensialet fra ladningsfordelingen ρ(r) kan representeres ved en multipolutvikling.

Skriv opp uttrykk for monopol- og dipolleddene.

c) Vis at dipolleddet kan uttrykkes som:

₂

0

ˆ 4

) 1

( r

V_dip p r

r = ⋅

πε , hvor p er dipolmomentet.

Anta at dipolmomentet p er rettet langs z aksen. Innfør kulekoordinater og beregn komponentene E_r, E_θ og E_φ av det elektriske dipolfeltet.

Vis at dipolfeltet kan skrives i koordinatfri form som:

[

]

r

E = 1 3( ⋅ˆ)ˆ− 4

) 1

( ₃

0 r

dip πε .

d) Forklar hvordan man kan bruke speilingsmetoden til å løse elektrostatiske problemer.

En punktladning q er plassert på z aksen i avstand a over et uendelig stort, ledende plan i z = 0.

Beregn potensialet og det elektriske feltet for avstander r >> a i halvrommet z ≥ 0.

Oppgave 3

a) Ta utgangspunkt i Maxwells ligninger på differensiell form (se oppgitte formeler) og skriv ned, eller utled, de tilhørende ligningene på integralform.

Hvilke grensebetingelser tilfredsstiller E, B, D og H ved grenseflaten mellom to materialer uten frie ladninger?

b) Vis at man ved å innføre skalarpotensialet V og vektorpotensialet A får to av Maxwells ligninger automatisk tilfredsstilt.

I stor avstand fra en dipol med tidsavhengig dipolmoment p(t) er potensialene gitt ved:

4 , ) ) (

, ( og 4

ˆ ) (

4

ˆ ) ) (

,

( ⁰

0 2

0 r

c r t t

cr c r t r

c r t t

V µ π

πε πε

= −

⋅ + −

⋅

= − p

r r A

p r

r p

hvor ( ).

)

( dt

t t dp p =

Beregn elektrisk felt i bølgesonen, dvs. for så store r at vi kan se bort fra bidrag som går mot null raskere enn 1/r når r→∞.

c) Vis at resultatet i b) kan skrives som:

[

(

) ]

) 4 ,

( ⁰ t r c

t = r r× r×p − r

E

π

µ .

Finn det tilsvarende uttrykket for magnetfeltet B(r,t).

d) Beregn Poyntings vektor S(r, t) og totalt utstrålt effekt fra dipolen i c).

Oppgitt: Side 5-8: formelene foran og bak i læreboka.