Løsningsforslag til kontinuasjonseksamen august 2010
Oppgave 1
a)
Z = 1 h
Z ∞
−∞
dp Z ∞
−∞
dx e−βH
= 1 h
Z ∞
−∞
dp e−2mβ p2 Z ∞
−∞
dx e−β2kx2
= 1 h
r2mπ β
r2π kβ
=2π h
rm k
1 β
Kommentar: Normalisering ved ˚a dele med Plancks konstanther ikke nødvendig for ˚a f˚a riktig svar i resten av oppgaven, men det gjør Z dimensjonsløs. Det er lettest ˚a se ved ˚a skrive omZ p˚a formen (brukerbeta= 1/kT og mk =ω= 2πf)
Z = kT hf
derfer frekvensen til den harmoniske oscillatoren. B˚adekT oghfhar dimensjon energi (Joule i SI-enheter), s˚aZ er dimensjonsløs.
b)
hEi=− ∂
∂β lnZ
=− ∂
∂β (konst.−lnβ)
= 1 β
=kT
CV = ∂hEi
∂T =k
c) Ekvipartisjonsprinsippet sier at hvert kvadratiske ledd i Hamiltonfunksjo- nen bidrar med en faktor 12kT til den midlere energien hEi. I v˚art tilfelle best˚ar Hamiltonfunksjonen av to kvadratiske ledd (og ikke mer!), s˚a midlere energi skal i følge ekvipartisjonsprinsippet være
hEi= 1
2kT +1
2kT =kT som var det vi fant i deloppgave b).
d)
Z =
∞
X
n=0
e−βEn
= e−12βℏω
∞
X
n=0
e−nβℏω
= e−12βℏω 1− e−βℏω
Kommentar: Partisjonsfunksjonen kan alternativt uttrykkes ved en hyper- bolsk sinusfunksjon:
Z= e−12βℏω 1− e−βℏω
= 1
e12βℏω − e−12βℏω
= 1
2 sinh 12βℏω e)
hEi=− ∂
∂β lnZ
= ∂
∂β ln sinh 1
2βℏω
= 1
2ℏωcosh 12βℏω sinh 12βℏω
= 1
2ℏωcoth 1
2βℏω
Eventuelt kan man skrive dette som:
hEi= 1
2ℏω+ ℏω eβℏω−1 CV= ∂hEi
∂T
= ∂β
∂T
∂hEi
∂β
=−kβ2∂hEi
∂β
=−1
2ℏωkβ2 ∂
∂β coth 1
2βℏω
=k (βℏω/2)2 sinh2 12βℏω f) Lavtemperaturgrensa,T →0eventueltβ → ∞:
hEi= 1
2ℏω+ ℏω eβℏω−1
≈ 1
2ℏω+ℏωe−ℏkTω og
CV= ∂hEi
∂T
≈ℏω ∂
∂T e−kTℏω
=k ℏω
kT 2
e−ℏkTω
Kommentar: hEi → 12ℏωn˚arT →0, mens varmekapasiteten g˚ar mot null.
g) Høy temperatur,βℏω ≪1:
hEi= 1
2ℏωcoth 1
2βℏω
=kT 1
2βℏωcoth 1
2βℏω
Bruker s˚a (se feks Rottmann):
xcothx= 1 + 1
3x2− 1
45x4+O(x6) x2 < π2 og f˚ar
hEi=kT
"
1 + 1 3
1 2βℏω
2
+O(β4ℏ4ω4)
#
≈kT
1 + ℏ2ω2 12k2T2
og
CV= ∂hEi
∂T
≈k
1− ℏ2ω2 12k2T2
h) Se figur 1.
i) Frihetsgrader som ikke bidrar til varmekapasiteten ved en gitt temperatur sier vi er frosset ut.
Oppgave 2
a) ˚Atte mulige spinnkonfigurasjoner:
(↑↑↑), (↓↑↑), (↑↓↑), (↑↑↓), (↓↓↑), (↓↑↓), (↑↓↓), (↓↓↓) med tilhørende energier:
ǫ1 = 0, ǫ2 = 2J, ǫ3 = 0, ǫ4 =−2J, ǫ5 =−2J, ǫ6 = 0, ǫ7 = 2J, ǫ8 = 0, b) Partisjonsfunksjonen:
Z=
8
X
i=0
e−βǫi
= 4 + 2 e2βJ + 2 e−2βJ
= 8
eβJ + e−βJ 2
2
= 8 cosh2(βJ)
c) Midlere energi:
hEi=−∂lnZ
∂β
=−2 ∂
∂β ln cosh(βJ)
=−2Jsinh(βJ) cosh(βJ)
=−2Jtanh(βJ) GrensaT →0, eller ekvivalentβ → ∞:
hEi=−2J lim
β→∞tanh(βJ)
=−2J lim
β→∞
eβJ − e−βJ eβJ + e−βJ
=−2J
VedT = 0er systemet i grunntilstanden. Grunntilstanden har energi−2J.
d) Korrelasjonsfunksjonen:
Γ13=hs1s3i
= 1 Z
X
s1=±1
X
s2=±1
X
s3=±1
s1s3eβJ(s1s2−s2s3)
= 1 Z
X
s1=±1
X
s2=±1
X
s3=±1
(s1s2)(s2s3) eβJ(s1s2−s2s3)
=−tanh2(βJ) GrensaT →0, ellerβ → ∞:
βlim→∞tanh(βJ) = 1 som over, s˚a
Tlim→0hs1s3i=−1
Systemet er i grunntilstanden n˚ar T = 0. Da peker s1 opp ogs3 ned (eller omvendt), og dermed bliraves1s3 =−1.
Oppgave 3
I denne oppgaven skal vi studere en ideell Bosegass iddimensjoner. Partikkeltett- hetenρer gitt ved
ρ=Cd
Z ∞
0
dε ε(d−2)/2 eβ(ε−µ)−1 derCder en dimensjonsavhengig størrelse.
a) Det kjemiske potensialet µm˚a være mindre enn ε, og spesielt lavere enn minste enpartikkelenergiε1, hvis ikke kan partikkeltetthetenρbli negativ.
b) Sidenε1 ≈0for makroskopiske system ρmaks=Cd
Z ∞
0
dε ε(d−2)/2 eβε−1
=Cd
Z ∞
0
dεε(d−2)/2e−βε 1− e−βε
=Cd
Z ∞
0
dε ε(d−2)/2e−βε
∞
X
n=0
e−nβε
=Cd
∞
X
n=1
Z ∞
0
dε ε(d−2)/2e−nβε
Substituerert =βε:
ρmaks=Cd(kT)d/2
∞
X
n=1
1 nd/2
Z ∞
0
dt td/2−1e−t
=Cd(kT)d/2Γ d
2
ζ d
2
som var det vi skulle vise.
c) Kritisk temperatur:
ρ=Cd(kTc)d/2Γ d
2
ζ d
2
Løst forTc:
Tc = ρ2/d k
CdΓ d2
ζ d22/d
d) Riemanns zeta-funksjon definert ved summen ζ(s) =
∞
X
n=1
1 ns
er bare gyldig n˚ar s > 1, det vil si at summen divergerer n˚ar d = 1 og d = 2 og girTc = 0. Resultatet v˚art i deloppgave c) gir dermed at vi f˚ar Bose-Einstein–kondensasjon n˚ard= 3, men ikke lavere.
0 hω/k
Temperatur, T 0
hω
Midlere energi, <E>
0 hω/k
Temperatur, T 0
k
Varmekapasitet, CV
Figure 1: