1
Vurdering av
stasjonsundervisning
En didaktisk studie i matematikk Harald Hallin
Masteroppgave i pedagogikk Allmenn studieretning
Pedagogisk forskningsinstitutt
UNIVERSITETET I OSLO
28.05.2008
2
Forord
Denne masteroppgaven inngår som en del av masterstudiet i pedagogikk ved pedagogisk forskningsinstitutt, Universitet i Oslo.
Det er mange personer som har vært til stor hjelp og støtte i dette arbeidet. Først vil jeg rette en stor takk til min veileder Per Even Melbye for tydelig og konstruktiv veiledning. Det må også rettes en stor takk til Viggo Kilborn for inspirerende og reflekterende innspill. En stor takk går også til elevene og lærerne som deltok i undersøkelsen.
Sist, men ikke minst, vil jeg takke min kjære Christin og Adrian for støtte og oppmuntring, og ikke minst tålmodighet mens det har stormet som verst!
Fredrikstad, 28. mai 2008
Harald Hallin
3
Sammendrag
Tittel
Vurdering av stasjonsundervisning i faget matematikk.
Problemstilling
Hensikten med undersøkelsen har vært å vurdere stasjonsundervisning som
undervisningsmetode i faget matematikk. Jeg har valgt ut ungdomsskolen i undersøkelsen, og følgende spørsmål ble stilt: Kan stasjonsundervisning føre til bedre faglig kompetanse i emnet brøk for elever på 8. trinn?
Metode
Den metodiske tilnærmingen har vært en kombinasjon av kvalitativ og kvantitativ tilnærming.
I den kvalitative tilnærmingen har rollen som deltagende observatør vært sentral i innsamling av empiri. Denne delen av empiriinnsamlingen ble gjennomført som en kombinasjon av semistrukturert intervju, opptak av elevsamtaler og innsamling av skriftlig materiale. Den kvantitative delen kjennetegnes som en kvasi-eksperiment design, en pretest-posttest-design med en gruppe.
Resultater
Undersøkelsen indikerer at stasjonsundervisningen førte til en forbedring av elevenes faglige kompetanse. Elevene ga i den kvalitative delen av undersøkelsen uttrykk for at de fikk et faglig utbytte av stasjonsundervisningen. I den kvantitative tilnærmingen var differansen mellom elevgruppens gjennomsnittlige kompetanse i emnet brøk før og etter
stasjonsundervisningen statistisk signifikant.
4
Innhold
1. Innledning ...5
1.1 Bakgrunn for undersøkelsen ...6
1.2 Arbeidet fram mot problemstilling ...6
1.3 Avgrensing av problemområde og formulering av forskningsproblem ... 10
1.4 Presisering ... 11
1.5 Oppgavens oppbygning ... 13
2. Teoretisk referanseramme ... 13
3. Design og metode ... 19
3.1 Begrunnelse for metodevalg ... 19
3.2 Utvalg og rammebetingelser ... 21
3.2.1 Utvalg ... 21
3.2.2 Rammebetingelser ... 22
3.3 Presentasjon av undervisningsopplegg – Stasjonsundervisning... 22
3.4 Kvalitativ og kvantitativ datainnsamling ... 32
3.4.1 Deltakende observatør ... 32
3.4.2 Pretest – Posttest ... 35
4.0 Resultater og analyser ... 39
4. 1 Observasjon og analyser under gjennomføringen av ... 39
stasjonsarbeidet ... 39
4.1.1 Forkunnskaper og hverdagsbegreper som kilde til utvikling ... 39
4.1.2 Elevmedvirkning som motivasjonsfaktor ... 40
4.1.3 Løpende vurdering ... 41
4.1.4 Tilpasning ... 43
4.1.5 Ulik progresjon ... 45
5
4.1.6 Overføringsverdi ... 46
4.2 Observasjon av elevenes mestringsnivå - før tiltaket av ... 46
stasjonsundervisningen ... 46
4.3 Observasjon av elevenes mestringsnivå etter tiltaket av ... 50
stasjonsundervisningen ... 50
4.3.1 Alternative løsningsmetoder ... 50
4.3.2 Sammenligning av elevenes prosentvise mestringsnivå før og etter ... 53
stasjonsundervisningen ... 53
5. Reliabilitets- og validitetsbetraktninger ... 57
5.1.1 Observatørdeltagelse i klasserommet ... 57
5.1.2 Intervju og verbalisering i felleskap ... 58
5.1.3 Teoriladet empiri ... 58
5.2.1 Testenes pålitelighet – Reliabilitet ... 59
5.2.2 Validitet ... 61
5.2.3 Innholdsvaliditet ... 62
5.2.4 Statistisk validitet ... 63
5.2.5 Indre validitet ... 64
5.2.6 Begrepsvaliditet ... 65
5.2.7 Ytre validitet ... 66
5.2.8 Etiske refleksjoner... 66
6.0 Oppsummering ... 68
LITTERATURLISTE; ... 69
VEDLEGG ... 73
6
1. Innledning
1.1 Bakgrunn for undersøkelsen
I den senere tid har den norske skolen vært utsatt for kritikk i media. Noe av dette kan
forklares ut i fra offentliggjøring av rangerte resultater på internasjonale undersøkelser. Av de ulike områdene som undersøkelsene berører kommer de norske elevenes
matematikkferdigheter spesielt dårlig ut. Dette har ført til en offentlig debatt rundt ulike tiltak som kan iverksettes for å øke kvaliteten i skolen generelt, og matematikkferdigheter spesielt.
Lærernes kompetanse, arbeidsrammer, disiplinproblematikk og manglende vektlegging på kunnskap er begreper som ofte er å finne i media.
Det jeg synes er spesielt interessant i denne sammenhengen er begrepet lærerens kompetanse.
Slik jeg ser det kan lærerkompetanse belyses fra to sider. Den ene siden omhandler den faglige bakgrunnen læreren har, det vil si lærerens spesifikke fagkunnskap innenfor sitt undervisningsfelt. Den andre siden dreier seg om lærerens didaktiske kompetanse. Denne lærerkompetansen kan forstås som lærerens kunnskap om hvordan planlegge og tilrettelegge for opplæring slik at elevene når de målene som er nedfelt i læreplanene. Det er det sistnevnte kompetanseaspektet som har inspirert meg til dette studiet, og jeg har begrenset studiefeltet til undervisning i matematikk.
1.2 Arbeidet fram mot problemstilling
I min studie blir det sentrale å undersøke hvordan matematikklærere kan målrette
planleggingen og tilrettelegge læringssituasjoner for at elevene skal nå kompetansemålene i faget. Samtidig skal læreren være en ambassadør for sitt fag, og inspirere elevene til
arbeidsinnsats gjennom å gjøre stoffet interessant og meningsfullt.
Under arbeidet med oppgaven var Kunnskapsløftet på vei til å avløse L97. Dermed fikk jeg en mulighet til å sette meg inn i evalueringen av L97, og samtidig gjøre meg kjent med innholdet i Kunnskapsløftet i forhold til mitt studieområde. Mens L97 hadde formulering av typen I opplæringa skal eleven..., (Læreplanverket for 10-årige grunnskolen), finner vi i
Kunnskapsløftet formuleringen Mål for opplæringa er at eleven skal kunne... Hvor mål
7 forstås som noe man arbeider mot og noe man kan vite om man nærmer seg eller ikke
(Læreplanverket for Kunnskapsløftet 2006). Bruken av begrepene kompetanse og kompetansemål har fått stor plass i Kunnskapsløftet.
Ulstrup Engelsen (Engelsen 2008) poengterer i sin rapport at det ikke finnes noen universell enighet om hva kompetanse egentlig er, og at bruken av begrepene kunnskap og kompetanse i stortingsmelding 16 (2006 -2007) ikke er entydig, men at disse uttrykkene brukes om
hverandre (Ulstrup Engelsen, Sentrale styringssignaler og lokale strategidokumenter, rapport nr 1 2008). Engelsen gir i den samme rapporten en klarere presisering av hva som kan legges i begrepet kompetanse i Kunnskapsløftet. Kompetanse kan her forstås som ferdighet eller kunnskap og evnen til å kunne bruke denne kunnskapen i her og nå situasjoner og i fremtidige situasjoner innenfor videre utdanning, arbeids- og samfunnsliv. Dermed er det i
Kunnskapsløftet en utvidelse av innholdet i målene hvor det tydeligere vektlegges at
kunnskapen skal være anvendelig, og disse målene blir omtalt under de ulike fagområdene i Kunnskapsløftet som kompetansemål.
Det som er felles for L97 og Kunnskapsløftet er vektleggingen av den elevaktive
pedagogikken. Elevene skal arbeide med praktisk matematikk, bruke sine erfaringer til å undersøke og utforske sammenhenger og kommunisere med matematikk. Under studiet var det viktig å se på læreres tilbakemelding i forhold til deres erfaring med å imøtekomme intensjonen med praktisk matematikkundervisning, og evalueringer av L97 innenfor det aktuelle området.
Evaluering av reform 97 påpeker at elever i grunnskolen, særlig i småskolen men også i ungdomsskolen, har et høyt aktivitetsnivå men at aktivitetene preges av hyppige skifter mellom aktiviteter og temaer (Dale og Wærnes 2006). De ulike aktivitetenes hensikt er ofte uklare og fremmer overfladisk læring. Overfladisk læring forstås som en læringssituasjon der elevene ikke får anledning til å arbeide grundig med stoffet. Det tyder på at L97 er for
omfattende, og at det ikke lar seg gjøre å innfri alle kravene. I konkurransen av hva som skal prioriteres har konsekvensen blitt en tendens til overfladisk og usystematisk tilretteleggelse, som har ført til manglende dybdelæring (Stortingsmelding nr 30 (2003 – 2004)). Lærerne skaper trygge rammer for elevene der de er støttende og inkluderende, men samtidig kvier seg for å stille faglige krav (Haug 2003). Haug viser til at mange lærere inntar en tilbaketrukket, positiv og lite intervenerende rolle som faglig rettleder. En konsekvens av dette blir at elevene
8 ikke er i en arbeidssituasjon der de lærer grunnleggende ferdigheter, men blir overlatt til seg selv. Haug knytter denne lærerrollen til ettergivenhet.
Videre har begrepet læringsstrategi fått en tydeligere oppmerksomhet i Kunnskapsløftet.
Stortingsmelding nr. 30 (2003-2004) viser til PISA-undersøkelse (OECD Programme for International Student Assesment), hvor norske elever skårer svært lavt på læringsstrategier, og følgelig er dette blitt et forsterket satsingsområde. Et viktig utsagn i denne
stortingsmeldingen er: ”Utviklingen av elevenes læringsstrategier må også bli en integrert del av opplæringen i grunnleggende ferdigheter og fag.” (s.36), der læringsstrategier defineres som ”evne til å løse problemer, planlegge, gjennomføre, evaluere, reflektere og erverve ny kunnskap og viten, og kunne tilpasse og anvende dette i nye situasjoner i utdanning, arbeid og fritid” (s.36).
Dermed fører Kunnskapsløftet inn prinsippet om at tilpasset opplæring og varierte
arbeidsmetoder i matematikk skal føre til grunnleggende ferdigheter og stimulere elevene til å utvikle læringsstrategier. Den viderefører vektleggingen av elevaktive arbeidsformer der selvvirksomhet er et viktig pedagogisk prinsipp. Med selvvirksomhet forstår vi at elevene skal erfare hvor mye mer en lærer av å få lov til å arbeide med tingene selv og utføre
eksperimenter og praktisk arbeid på egenhånd, enn ved ren lærerformidling (Dale og Wærnes 2006). Dale og Wærnes nevner at selvvirksomheten må kombineres med lærerens forklaringer og eksemplifisering for at eleven skal få faglig utbytte. Et viktig moment er å trene elevene mer systematisk opp i grunnleggende ferdigheter.
Gjennom intervju av lærere kom det fram at de tydelig verdsetter de nye elementene i L97, som også vektlegges i Kunnskapsløftet, som viser til at undervisningen skal bygge på elevenes erfaringer, vektlegge kommunikasjon og praktisk matematikk og innholdet skal temaorganiseres (Klette 2004). Problemet er ifølge lærerne å undervise i tråd med dette. Den sentrale grunnen til lærernes problem med å implementere L97 i undervisningen, er at de fant det problematisk å legge til rette for utforskning og temaorganisering, da dette tok for lang tid i forhold til det som egentlig er hensikten: spesifikke ferdigheter.
Læreren må ha gode didaktiske kunnskaper slik at han kan velge stoff og forklaringsmodeller ut fra elevenes ulike forkunnskaper, forutsetninger og behov (Løwing 2004).
9 Alseth, (Klette 2004), støtter dette ved å poengtere at det krever en solid fagdidaktisk
kompetanse for å legge opp undervisning med tanke på å fokusere på matematikk i praktiske aktiviteter, stimulere til forskning med tanke på matematikk og kommunisere med
matematikk. Kunnskapsløftet vektlegger at man skal begynne med en praktisk situasjon for å så introdusere begreper som kan være til nytte i situasjonen. Alseth hevder at matematisk fagstoff ofte blir introdusert uten at det først er etablert noe ekte behov hos elevene for dette fagstoffet. Vanlig praksis er å lære fagstoffet først og se anvendelser deretter. Ikke minst påpeker Alseth betydningen av å ha fagdidaktisk kompetanse for å vise hvordan matematiske begreper inngår i et større faglig bilde, noe som bryter med den mer vanlige undervisningen som fokuserer på spesifikke kunnskapsbiter i store deler av undervisningen. I Kunnskapsløftet er grunnlegende ferdigheter integrert i kompetansemålene. Matematikklærerens kompetanse kjennetegnes av at læreren evner å benytte de læringsaktiviteter som gir elevene
grunnleggende ferdigheter i emnet og at elevene bevisstgjøres på at denne kunnskapen er anvendelig i kommende situasjoner i både hverdags- og arbeidsliv. En slik fagdidaktisk kompetanse er ifølge Alseth mangelfull i norsk skole i dag.
En undersøkelse peker videre på at mange av konfliktene når det gjaldt kommunikasjonen i timene på skolen kunne forklares med bristende didaktisk innsikt hos lærerne (Løwing og Kilborn 2002). Det er en tendens i dagens skole at manglende didaktiske kunnskaper hos lærerne kompenseres med å velge spennende arbeidsformer (Løwing og Kilborn 2002).
Løwing (Løwing 2004) påpeker at kommunikasjonens didaktiske kvalitet bygger tre
komponenter: lærerens egen kunnskap om det hun skal undervise i, hennes evne å løfte frem de poengene i det hun skal undervise om og at det i denne sammenhengen tas hensyn til elevenes forforståelse og abstraksjonsevne. Dermed bør fokus dreies fra hva som gjøres i klasserommet og over på hvordan det gjøres. (Klette 2004).
Vi ser her at aktivisering ikke automatisk fører til kvalifisering. De tilrettelagte aktivitetene må være didaktisk begrunnet, gi grunnleggende ferdigheter istedenfor overflatisk læring og samtidig ikke sprenge de rammene som ligger i skolen. Videre er det en vilje blant lærere å imøtekomme fagplanens intensjon, men manglende lærerkompetanse på området fører til at norsk skole har et forbedringspotensial på dette området.
Følgelig blir mitt problemområde å undersøke hvilke muligheter matematikklærere har for å imøtekomme Kunnskapsløftets intensjon om undervisning som legger til rette for praktisk
10 matematikk, og som ivaretar prinsippet om tilpasset opplæring der eleven ikke blir overlatt til seg selv, men gjennom tilrettelagt selvvirksomhet får økt sine faglige ferdigheter og fremmet sin strategikompetanse, slik at elevene oppnår faglig kompetanse. Oppgaven tar for seg et avgrenset emne innen matematikk og et bestemt trinn i ungdomsskolen.
1.3 Avgrensing av problemområde og formulering av forskningsproblem
Jeg har valgt elever i 8. klasse som forskningsobjekter der jeg tar jeg for meg emnet brøk. Jeg avgrenser meg dermed til å undersøke hvordan lærere kan legge til rette for praktiske
aktiviteter innen emnet brøk for 8. trinn som bygger på elevenes erfaring, og gir faglig kompetanse i emnet brøk. Der faglig kompetanse inkluderer refleksjon over nyervervet kunnskap og anvendelse i nye situasjoner.
Ut i fra definisjonen som er gitt av Stortingsmeldingen nr. 30 (2003 -2004) ser vi at
læringsstrategi er et omfattende begrep, og masteroppgavens rammer gjør det nødvendig med en avgrensning av dette begrepet. Jeg har valgt å se på en bestemt del innenfor definisjonen der jeg tar utgangspunkt i utdraget ”…erverve ny kunnskap og viten, og kunne tilpasse og anvende dette i nye situasjoner…”, og undersøker hvordan dette kan integreres i
matematikkundervisningen.
Denne læringsstrategien er som vi har sett over en viktig del i elevens totale kompetanse, der faglig kompetanse blir forstått som evnen til å kunne bruke tilegnet kunnskap i framtidige situasjoner. Den læringsstrategien som vil være aktuell å fokusere på i min oppgave
kjennetegnes som det som Ostad omtaler som retrievel- strategi (Ostad 1999). Dette uttrykket har vokst frem fra teorier hvor forskerne ser på elevens matematikkunnskaper som et lager av kunnskapsenheter (Ostad 1999), og retrievel-strategier benyttes når oppgaveløsningen
kjennetegnes ved at eleven henter frem kunnskapsenheter fra dette lageret. Retrievel-strategi kan dermed oversettes til ”hente-frem-strategi”. Begrepet faglig kompetanse inkluderer dermed at elevene bruker retrievel-strategi.
Ifølge Kunnskapsløftet er brøk et emne som elevene skal ha arbeidet med i barneskolen, og er et emne som elevene også skal møte i ungdomsskolen. Oppgaven blir å undersøke hvordan
11 tilrettelegge praktiske læringssituasjoner for å gi elevene i 8.trinn faglig kompetanse i emnet brøk.
Min formulering av forskningsproblem blir:
Kan stasjonsundervisning føre til bedre faglig kompetanse i emnet brøk for elever på 8. trinn?
1.4 Presisering
Ut i fra Kunnskapsløftet ser vi at mål for opplæringen i emnet brøk etter 10. årstrinn at eleven skal kunne regne med brøk, utføre divisjon av brøker og forenkle brøkuttrykk
(Læreplanverket for Kunnskapsløftet 2006). Grunnleggende brøkkunnskap forstås som at elevene skal vite hva som menes med teller og nevner, kunne utføre regneartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av brøker. Faglig kompetanse i emnet brøk forstås som at eleven evner å bruke denne grunnleggende forståelsen og kunnskapen i brøk i fremtidige læringssituasjoner (jfr. side 7). I min oppgave begrenser jeg meg til å se på elevenes evne til å bruke tilegnet brøkkunnskap i den videre innlæringen av mer avansert brøkregning. Stasjonsundervisningen vil dermed ha to målsettinger. Den ene er å gi elevene den ovennevnte grunnleggende kunnskapen i emnet brøk. Den andre målsettingen er at læringssituasjonen skal legge til rette for elevenes bruk av tilegnet brøkkunnskap i den videre innlæringen, hvor denne fremhentingen av lagret kunnskap forstås som retrievel-strategi.
Med stasjonsundervisning mener jeg flere undervisningsopplegg, for eksempel i emnet brøk, som er bygget opp rundt arbeid i grupper på ulike poster. I det aktuelle
undervisningsopplegget skal elevene arbeide med praktiske oppgaver på ulike stasjoner. Dette arbeidet blir i oppgaven omtalt som stasjonsarbeid. Elevene skal arbeide i grupper på tre og tre. Det vil være fire stasjoner, og på hver stasjon arbeides det med bestemte oppgaver og problemstillinger innen brøk. Når elevene skifter stasjon så vil de møte en ny type oppgave.
Det legges opp til praktisk arbeid i de ulike arbeidssekvensene hvor elevene skal benytte praktisk materiale i innlæringen.
De ulike stasjonene følger en progresjon. Stasjon I starter med grunnleggende brøkforståelse hvor begrepet teller og nevner vil bli tatt opp. Neste stasjon bygger videre på denne
12 forståelsen. Elevene skal erfare at den tilegnede kunnskapen blir nødvendig i innlæringen av mer avansert brøkregning, og i disse overgangene er intensjonen at elevene skal benytte retrievel-strategier (jfr. side 10). Arbeidet avsluttes på stasjon IV. Her blir brøk dividert med brøk tatt opp, før arbeidet avsluttes med en oppsummering av de ulike regneartene i emnet brøk. Gjennom arbeidet på de ulike stasjonene vil det praktiske arbeidet bli kombinert med figurering og skriftlig løsning av oppgavene. Stasjonsarbeidet er i samsvar med Bruners teori om oppbygging av kunnskap gjennom konkretisering, billedliggjøring og abstrahering hvor målet er generalisering. Jeg kommer tilbake til dette i den teoretiske referansen (jfr. kapittel 2).
Vi ser at stasjonsarbeidet legger opp til en faglig utvikling. Jeg vil her referere til Blooms kognitive taksonomi over innlæringsmål (Bloom 1956). Denne taksonomen angir elevenes læringsutbytte på ulike nivåer. I Blooms klassifisering over innlæringsmål i
stasjonsundervisningen får vi følgende kunnskapsnivåer i emnet brøk, fra lavt til høyt: Det første nivået er Faktakunnskap som kjennetegner at elevene kan beskrive brøker og vite hva som er teller og nevner i en brøk. Neste nivå er Forståelse som kjennetegnes av at eleven kan forklare hva som menes med teller og nevner, og hvorfor nevneren må være lik ved addisjon og subtraksjon av brøk. Det tredje nivå er anvendelse. Eleven skal her kunne forstå hvorfor vi får de ulike regnereglene i brøkregning, og kunne regne de fire ulike regneartene med brøk.
Det fjerde nivået er evnen til å analysere. Et eksempel på dette læringsnivået er at eleven skal kunne vurdere og begrunne i hvilke tilfeller det vil være fordelaktig å utvide eller forkorte brøkene før vi regner videre. Jeg vil komme tilbake til dette i presentasjonen av
stasjonsarbeidet (jfr. kapittel 3), og under analysedelen (jfr. kapittel 4).
De to siste nivåene i Blooms kognitive taksonomi er henholdsvis syntese og vurdering. I min oppgave velger jeg å forholde meg til syntese som øverste nivået. Dette har to hovedgrunner.
For det første fører rammen i oppgaven at Blooms øverste nivå, vurdering, hvor elevene skal bedømme, drøfte, kritisere og avgjøre i forhold til indre/ytre kriterier innen emnet brøk, blir for omfattende å bedømme. For det andre kjennetegnes det nest øverste nivået, syntese, av at elevene evner å generalisere og trekke konklusjoner. Dette nivået er målbart innenfor mine rammer, og samsvarer med stasjonsarbeidets oppbygning mot abstrahering hvor elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike brøkoppgaver og kunne generalisere.
13 1.5 Oppgavens oppbygning
Etter innledningskapittelet kommer kapittel 2 hvor jeg presenterer en teoretisk
referanseramme for teorier som underbygger utformingen av stasjonsundervisingen. I kapittel 3 vil jeg gjøre rede for min metode. Jeg vil her begrunne min design og mitt metodevalg, presentere undervisningsopplegget i sin helhet og klargjøre metoden for datainnsamling. I fare for gjentagelser vil krav til metode, der jeg tar for meg reliabilitet og validitet, bli omhandlet i kapittel 5. I kapittel 4 vil jeg følge opp med resultater og analyser, og diskutere disse i lys av teori. Kapittel 5 følger som nevnt opp med en metodologisk vurdering der jeg tar for meg reliabilitets- og validitetsbetraktninger. Kapittelet avsluttes med etiske betraktninger.
Oppgaven avrundes med en kort oppsummering og en avsluttende kommentar.
14
2. Teoretisk referanseramme
Nyere forskning viser at det er viktig å legge vekt på elevenes forforståelse, ”Preexistings understandings”. (Bransford, Brown og Cocking, 2000). Elever kommer til skolen med en forståelse av hvordan deres verden er ordnet og fungerer. Om denne forforståelsen ikke
vektlegges og inkluderes i elevenes læringssituasjon, finnes det en risk for at de ikke tar til seg den nye informasjonen som gis i undervisningen. Om elevenes forforståelse ikke blir tillagt vekt i læringssituasjonen, finnes det en risk at elevene ikke vil lykkes i tilegningen av nytt stoff, eller at de vil lære for å prestere bra på prøver, men falle tilbake til sin opprinnelige forståelse utenfor skolens arena.
Dette samsvarer med Vygotskys begrep: sonen for den nærmeste utvikling (Daniels 2001).
Sonen for den nærmeste utvikling forstås som forskjellen mellom det nivået hvor barnet eller eleven selv kan løse oppgaver og nivået hvor barnet/eleven er i stand til å løse oppgaver under veiledning og støtte av voksnes hjelp. Det som en elev kan løse i samarbeid med læreren, blir eleven i stand til å løse senere. Dermed blir det viktig i læringssituasjoner å finne forholdet mellom undervisningen som en ytre prosess, og den indre utviklingen den legger til rette for.
Følgelig skal stasjonsundervisningen legge opp til aktiviteter som er av en slik
vanskelighetsgrad at elevene innledningsvis vil mestre dem under støtte og veiledning i innledningsfasen, for å så mestre oppgavene uten støtte.
Den avstanden som er mellom elevenes forståelse av hvordan verden er ordnet, og den mer formelle forståelsen som skolen skal formidle må ikke bli for stor. Dale (Bråten 2001) løfter frem betydningen av at læringsarenaen skal legge opp til å bygge en bro mellom elevenes forforståelse og den formelle forståelsen. Dale påpeker at skoleundervisningen har et
forbedringspotensial på dette området. Han vektlegger at det i skoleundervisningen skal være en formidling mellom disse to verdenene, men at skolen ikke skal være en arena som
etterligner familiens læreprosesser. De hverdagsbegrepene som elevene kjenner til skal bygges videre på og omstruktureres. Det skal være en avstand mellom skoleundervisningen og elevenes hverdagsliv, slik at skolen representerer noe nytt. Denne avstanden skal heller ikke være for stor slik at begrepslæringen spaltes fra barnets intellektuelle utvikling.
Dette får betydning for flere praktiske sider i undervisningen. I møte mellom elevenes forforståelse og innlæringen av nye begreper og emner, bør læringsmiljøet legges opp til
15 aktivitet og utforskning. Om elevene skal gjenkjenne stoffet og kunne videreutvikle sin
forforståelse som et ledd i sin intellektuelle utvikling, må læringsmiljøet være preget av at elevene kan presentere sin forforståelse og anvende denne i læringssituasjonen i sin læringsprosess. I elevenes læringsarena - klasserommet, skal elevene få arbeide med sin forforståelse og bli stimulert til aktivitet og utforskning i utviklingen mot et høyere
intellektuelt nivå (Bransford, Brown og Cocking, 2000). Om vi ser dette i lys av innlæring av brøk for elever i 8. klasse, blir det sentralt å legge til rette for en undervisningsform hvor elevene innledningsvis får en anledning til å vise den tilegnede forståelsen, og kunne utnytte denne forforståelsen i den videre utviklingen.
I likhet med Bransford, Brown og Cocking, påpeker også Kilborn (Kilborn 2002) betydningen av at skolen tar hensyn til barns og elever forforståelse, og ikke fjerner denne. Kilborn gjør oss oppmerksom på at mange nordiske elever har overraskende problemer med å løse (hverdags)problemer som har med brøk å gjøre. Han hevder at en forklaring kan være at de formelle regnereglene som ofte gis i skolen, ikke holder fullt ut når de skal omsettes i
tankeformer for praktisk eller teoretisk arbeid med brøk. Brøkundervisningen i skolen er i for stor grad preget av teknikk, der det pugges utenat hvilken løsningsmetode som skal brukes i de ulike oppgavene. Kilborn (1999) poengterer klart at brøkundervisningen i skolen bør ha en konkret forankring i elevenes hverdag .
Oppbygningen av progresjonen i stasjonsarbeidet (jfr. side 12) samsvarer med Bruners teori om de tre representasjonsområdene, enaktiv, ikonisk og symbolsk representasjon (Bruner 1974). Intensjonen er å benytte konkret, praktisk materiale og supplere dette med figurering hvor målet er at elevene skal evne abstraksjon og kunne generalisere de ulike regnereglene i emnet brøk. Vanlig forståelse av konkret materiale er at dette kan være klosser, brikker, mengderinger o.s.v. (Imsen 1995). Kilborn (Kilborn 2002) gjør oss oppmerksom på at det går et skille mellom det han omtaler som konkret material og laboratorisk material. Klosser, brikker etc. er dødt material for elevene som ikke inngår i elevenes hverdagsliv. Slikt material betegner Kilborn som laborativt utstyr. Praktiske gjenstander av denne typen kan tjene som å gjøre en matematisk tankeform tilgjengelig for eleven. I slike tilfeller er ikke hensikten at løse oppgaver med hjelp av materialet, men materialet skal være behjelpelig med å bygge opp en tankeform. Vi får da et laborativt miljø i klasserommet. Ettersom elevene savner en naturlig erfaring med å bruke slikt material bør man etterstrebe, så langt det er mulig, å bruke konkret, kjent konkret material i innlæringen Kilborn gjør oss oppmerksom på at det ikke er mulig å
16 konkretisere alt innen matematikk. Innenfor brøk er det ikke mulig å bruke konkret material til å vise brøk multiplisert med brøk (Kilborn 2002). Denne spesifikke brøkoppgaven faller utenfor det praktiske arbeidet i stasjonsundervisningen, men blir omhandlet slik som elevenes lærebok (Hjardar og Pedersen 2006) legger opp til.
Videre er det vesentlig at det i elevenes læringssituasjon blir vektlagt å vise elevene hvordan mestring eller kompetanse ser ut, og bevisstgjøre elevene på hvorfor stoffet skal læres (Bransford, Brown og Cocking, 2000). I stasjonsundervisningen blir det følgelig viktig å gi elevene eksemplifiseringer av hvordan ulike brøkoppgaver skal forstås og løses. Vi ser videre at bevisstgjøringen av hvorfor stoffet skal læres samsvarer med begrepet kompetanse slik jeg har presisert det (jfr. side 7).
Begrepet vurdering har i den senere tid fått økt oppmerksomhet. Kvaliteten i elevens engasjement i læringssituasjonen blir påvirket av hvordan læreren praktiserer
elevvurderingen. I den elevaktive skolen, som kjennetegnes av en elevaktiv pedagogikk (jfr.
side 7), skal vurderingen tjene til å øke læringsenergien gjennom å motivere eleven og forsterke læringsprosessen (Dale og Wærnes 2006). Dale og Wærnes poengterer at vurderingen skal utvikle elevenes læringsdyktighet ved å hjelpe elevene med å utvikle læringsstrategier. Knytter vi dette opp mot stasjonsundervisningen skal deler av vurderingen være støttende i forhold til utvikling av elevenes retrievel-strategi (jfr. side 12). I de tilfellene hvor elevene benytter grunnleggende brøkkunnskap i tilegnelse av mer avansert
brøkkunnskap, skal denne læringsstrategien bevisstgjøres for eleven og videreutvikles.
Bransford, Brown og Cocking vektlegger betydningen å supplere den mer tradisjonelle vurderingen av elevenes kunnskap, av typen kapittelprøver eller eksamen, med det som de omtaler som ”ongoing assessment” (Bransford, Brown og Cocking 2000). Vi kan oversette
”ongoing assessment” med løpende vurdering eller underveisvurdering. Denne løpende vurderingen fokuserer mer på å belyse elevens potensial i den videre utviklingen, enn den tradisjonelle vurderingen som vurderer et sluttresultat. Intensjonen er å bevisstgjøre elevene på hvor de er læringsstadiet, og bygge videre på dette. Dale og Wærnes påpeker at elevene tilegner en lært hjelpeløshet ved at elevene bryter ned sin selvfølelse gjennom vedvarende negativ vurdering. Konsekvensen blir ofte en redusert innsatslyst. Løpende vurdering gir elevene en innsikt i eget potensial, og vil i større grad fange opp de faglige positive
utviklingstrekkene, og i så måte forsterke læringsmotivasjonen. Stasjonsundervisningen må
17 derfor organiseres slik at elevenes faglige ståsted blir synlig for læreren. Elevenes faglige ståsted skal ikke bare avdekkes ved hjelp av tradisjonelle tester på bestemte tidspunkter i løpet av undervisningsperioden, men i så stor grad som mulig synliggjøres gjennom hele det
praktiske arbeidet. De praktiske oppgavene som gis bør derfor være slik at læreren raskt kan få innsikt i elevens faglige ståsted, og ut i fra dette ståstedet gi adekvat oppmuntring og videre faglig målsetting.
Ostad (Ostad 1999) fremlegger en modell for strategiopplæring. Denne modellen gjenspeiler Vygotskys teori om overføring av kunnskap fra det som han omtaler som det interpersonlige til det intrapersonlige plan (Bråten 2001). Vi kan her trekke paralleller til Vygotskys begrep om sonen for den nærmeste utviklingen (jfr. side 14). Modellen består av fem trinn. I trinn 1 opptrer læreren som modell for elevene ved å vise og verbalisere hvordan hun tenker når oppgaven løses. Lærerens strategivalg blir verbalisert og kommer derfor ”opp i dagen” og blir tilgjengelig for eleven. Trinn 2 er at elevene løser oppgaven under støtte av lærer. Læreren gir tilbakemeldinger og rettleder underveis. Vi ser at trinn 2 samsvarer med det som ble omtalt som løpende vurdering (jfr. side 16). I trinn 3 løser eleven oppgaven mens han/hun instruerer seg selv høyt. Trinn 4 løser eleven mens han/hun visker instruksjonen for seg selv. I trinn 5 løser eleven oppgaven av såkalt indre tale (Bråten 2001).
Denne modellen for strategiopplæring vil være sentral i stasjonsundervisningen i forhold til det jeg ønsker å undersøke. I en del av stasjonsundervisningen vil denne modellen bli prøvd ut som et ledd i å gi elevene faglig kompetanse. Den strategien som læreren skal vise eleven er betydningen av å bruke tidligere brøkkunnskap i tilegnelsen av ny og mer avansert
brøkkunnskap. I praksis vil det si at læreren skal kunne vise og eksemplifisere at det som er innlært på stasjon I er sentral kunnskap for å forstå de oppgavene som er på stasjon II, o.s.v.
Denne synliggjøringen av hvordan grunnleggende kunnskap blir hentet frem under tilegnelse av nyere kunnskap, å benytte retrievel-strategi i innlæringen av nytt stoff, er å vise elevene hva faglig kompetanse innebærer.
Stasjonsundervisningen må legges opp til at elevene skal verbalisere for læreren og hverandre hvordan de tenker når de løser oppgavene på gruppa. Elevenes talespråk inngår som et sentralt treningsmoment. Dermed blir de ulike matematiske tankene tilgjengelig for flere medelever, og dette kan skape refleksjon på stasjonsgruppa. Videre skal elevene også verbalisere tankene for læreren, hvor læreren støtter og gir nødvendig veiledning. I denne sammenhengen er det
18 viktig å trekke frem det som Kilborn betegner som ”lotsing”. Lotsing forstås som at læreren leder eleven gjennom oppgaven ved å stille ledende spørsmål, uten at elevene egentlig har forstått. Ledende spørsmål bør derfor unngås.
Forforståelse og løpende vurdering er begge viktige momenter i det prinsippet som Kunnskapsløftet viderefører: tilpasset opplæring. Elevenes evner og forutsetninger skal i varetas. ”Det pedagogiske opplegget må være bredt nok til at læreren med smidighet og godhet kan møte elevenes ulikheter i evner og utviklingsrytme” (Læreplanverket for Kunnskapsløftet 2006, side 10). Ifølge Jensen (Jensen 2006) er elevmedvirkning en viktig faktor for å kunne praktisere tilpasset opplæring i en elevaktiv skole. Læringsaktivitetene skal gi elevene en anledning til å bruke sitt potensial, hvor de kan få en mulighet til å uttrykke hvordan de lærer best. Jensen påpeker at undervisningen i større grad vil være tilpasset
elevene om innlæringen av fagstoff kan skje på ulike tidspunkt, hvor elevene kan arbeide med praktiske problemstillinger i sitt eget tempo og gjerne på ulikt vis. Aktivitetene vil i så tilfelle i seg selv være tilpassende i forhold til elevenes ulike preferanser. Det praktiske arbeidet i stasjonsundervisningen bør følgelig inneholde fleksible læringsaktiviteter som gir elevene en mulighet til å selv kunne bestemme innlæringstempo og hvordan de ulike praktiske
problemene kan løses.
Dale og Wærnes (Dale og Wærnes 2006) er tydelige på at Kunnskapsløftet fordrer til at tilpasset opplæring knyttes til fagdidaktikk, der intensjonen om bedre faglige resultater knyttes til en undervisning som ikke preges av ettergivenhet (jfr. side 8). Dale og Wærnes (Dale og Wærnes 2003) gjør oss videre oppmerksom på at tilpasning skal ha kompetansekrav som avgjørende siktemål. Det vesentlige blir at undervisningen stiller krav og forventninger til elevene som er realistiske. Dette tydeliggjør at stasjonsundervisningen bør legge opp til et samspill med elevens evner og forutsetninger. For å få til dette samspillet blir
elevmedvirkning en sentral del av stasjonsundervisningen. Jensen (Jensen 2006) påpeker at elevmedvirkning handler om lærerens tilstedeværelse og rolle, god struktur, tilrettelegging og klare læringsmål (Jensen 2006). Ogden (Ogden 1996) tydeliggjør videre betydningen av god klasseledelse. Læreren skal evne til å håndtere både den organisatoriske delen og det sosiale aspektet i undervisningssituasjonen. En god klasseleder skal sørge for god aktivitetsflyt og struktur i læringssituasjonen. Samtidig kjennetegnes en god klasseleder av å kunne forholde seg til hele gruppen av elever, samtidig som hensynet til den enkelte elev i gruppen blir ivaretatt. Vi ser her at lærerens kompetanse (jfr. side 9) blir sentral.
19
3. Design og metode
I dette kapittelet vil jeg innledningsvis gi en begrunnelse for mitt metodevalg. Deretter blir stasjonsundervisningen presentert. Videre vil jeg gjøre rede for innsamling av empiri, der begrepene deltakende observatør og testing vil bli utdypet.
3.1 Begrunnelse for metodevalg
I min undersøkelse har jeg valgt å kombinere kvalitativ og kvantitativ empiriinnsamling. Ved å observere elevene når de arbeidet med stasjonsoppgavene i kombinasjon med å la de verbalisere sine tanker kunne jeg fange opp elevenes respons på stasjonsarbeidet. I tillegg ble skriftlig materiale samlet inn for analyse. Denne delen utgjør den kvalitative tilnærmingen.
I den kvantitative delen kartla jeg elevenes brøkkunnskap før og etter tiltaket av
stasjonsundervisningen med henholdsvis pretest og posttest og signifikanstestet differansen.
Den supplerende datainnsamlingen i min undersøkelse kan belyse problemstillingen fra flere sider, og dermed gi et mer dekkende grunnlag for å besvare problemstillingen.
Den metoden jeg har benyttet kjennetegnes som design eksperiment. Cobb m .fl (2003) peker på fem sentrale trekk ved å anvende design eksperiment som jeg anser som viktige i forhold til min studie. For det første er hensikten med en slik design å utvikle teorier om både
læringsprosessen og midlene som er designet for å støtte denne læringen, både når det gjelder den enkelte elev og klassen. I dette tilfellet vil det være om stasjonsundervisning vil gi
elevene i 8. klasse grunnleggende forståelse av brøk og brøkregning.
Det andre trekket er at hensikten med designen er å undersøke mulighetene for forbedring ved å ta i bruk nye former for teori ved å studere dem. Designen er utviklet for å bygge på
tidligere forskning, og forsøker å innkassere empiriske og teoretiske resultater av denne forskningen. I denne sammenhengen vil studier av annen forskning om hvordan elever forstår og lærer regning med brøk være et viktig ledd i utviklingen av stasjonsarbeid som
undervisningsmetode (jfr. side 12). Siden klasseromssituasjonen er kompleks, vil studiet utelukke en fullstendig beskrivelse av hele denne situasjonen. Følgelig er det viktig å spesifisere det som er gjenstand for undersøkelsen. Her vil stasjonsarbeidets betydning i forhold til elevenes faglige utvikling i emnet brøk være det som skal analyseres.
20 Det tredje trekket bygger på de to første. Design eksperiment skaper betingelser for å utvikle teorier, men må samtidig skjerme disse for skade. Følgelig vil design eksperiment alltid ha to aspekter. Et forestående aspekt basert på en hypotese om læringsprosesser, og hvordan man kan støtte disse for å få en oversikt over detaljene i denne prosessen. Deretter en
reflekterende side der en må være klar over andre mulige forhold som fører til læring og utvikling ved å se på uforutsette situasjoner som kan oppstå når designet gjennomføres. I mitt tilfelle er utviklingen av designen basert på en hypotese begrunnet ut fra didaktisk teori om hvordan vi skal legge til rette for innlæring av emnet brøk i klasserommet (jfr. side 14 og 15).
Den reflekterende siden vil være en bevisstgjøring på andre potensielle hendelser som påvirker elevenes faglige utvikling.
Det fjerde kjennetegnet ved denne designen er intensjonen om å gi inspirasjon til gjentakende design som bygger på erfaringen fra det gjennomførte designet. Her gis det muligheter for videreutvikling av hypoteser og kanskje forkasting som resulterer i et gjentakende design.
Dette er en prosess som inneholder en syklus av utvikling og revidering. Følgelig vil det femte kjennetegnet være at den aktuelle designen i denne oppgaven er et ledd i utvikling av teori.
Disse teoriene er begrenset i den forstand at de angår et klart avgrenset område i læringsprosessen i stedet for store og generelle læringsteorier. Om vi bruker metaforen økologi for å bevisstgjøre oss på kompleksiteten med alle faktorene som påvirker elevenes læringsutbytte i et klasserom, vil design eksperiment ideelt sett resultere i større forståelse av et begrenset område av ”læringsøkologien”. Ifølge Brown (Brown 1992) er et av
hovedtilskuddene fra design eksperiment til undervisningen et skifte i antagelser om læring og undervisning der fokuset er gått fra lærersentrert til læringssentrert undervisningsplan, hvor lærer responderer fleksibelt på elevens ideer istedenfor konsekvent å følge en gitt
undervisningsplan. Videre er fokuset dreid fra læring til læringsprosesser. Oppsummert er design eksperiment en gjentakende og utvidende, nyskapende og teoribasert virksomhet der teorier blir prøvd ut i en praktisk utdanningskontekst.
21 3.2 Utvalg og rammebetingelser
3.2.1 Utvalg
Utvalget besto av 50 elever fra 8. klassetrinn, hvorav 24 var jenter og 26 var gutter, fra en skole i Fredrikstad kommune. Elevene tilhørte samme team som var fordelt over to klasser.
Teamet besto av 52 elever, men to av disse elevene var på egen gruppe i matematikktimene og deltok derfor ikke i undersøkelsen. 8. klassetrinn ble valgt ut i fra progresjonen i
undervisningsopplegget. Stasjonsundervisningen startet med repetisjon fra barneskolen og avsluttet med oppgaver som ligger innenfor kompetansemål etter 10. årstrinn i
Kunnskapsløftet (jfr. side 11). Klassens faglærer sto for gjennomføringen av undervisningsopplegget.
I min undersøkelse har jeg av praktiske årsaker måttet forholde meg til to eksisterende klasser.
Utvalgsprosedyren min ble derfor et ikke-tilfeldig utvalg på 50 elever i 8. klasse.
Fredrikstad kommune ble valgt av praktiske grunner. Ved å bruke en skole i min egen kommune ble undersøkelsen enklere å gjennomføre med tanke på både tid og økonomi. Jeg hadde også bekjente der som var behjelpelige med informanter.
Undersøkelsen ble gjennomført i september 2007. Skolen ble kontaktet i april 2007 via brev (se vedlegg 1), og undersøkelsen ble presentert for rektor og de lærerne som arbeidet i det aktuelle teamet. I slutten av april ble det avholdt et møte mellom rektor, faglærer og
undertegnede der vi så nærmere på prosjektet. Et nytt møte ble avholdt med faglærer i starten av skoleåret der mer detaljert informasjon ble gitt. Det ble informert om undersøkelsen på et foreldremøte avholdt i begynnelsen av skoleåret 2007, og via temaets ukentlige ukeplan.
Teamets matematikklærer var behjelpelig med å innhente foresattes tillatelse. Samtlige av elevene fikk delta i undersøkelsen. Jeg var ved to anledninger på uformelle besøk til begge klassene før stasjonsundervisningen, slik at klassene ble informert om min rolle i denne undervisningsperioden.
22 Dagen før stasjonsundervisningen startet, avklarte faglæreren med klassen hvordan
stasjonsopplegget i hovedtrekk skulle legges opp, og hva som var målet med stasjonsarbeidet.
3.2.2 Rammebetingelser
Elevene hadde fire timer matematikk i uka. Gruppestørrelsen i disse timene varierte mellom vanlig klassestørrelse og en tredeling av teamets elever. Tredelingen var ifølge lærerne i en viss grad gjort ut i fra elevenes faglige og sosiale kompetanse. Lærerne begrunnet inndelingen med at det var lettere å praktisere tilpasset opplæring når det faglige spriket i elevgruppen var mindre. I løpet av en uke foregikk dermed matematikkundervisningen i en klasse på 25 elever og i en gruppe på 16 - 17 elever.
Stasjonsarbeidet foregikk i fire påfølgende matematikktimer. Tre av timene var i den tredelte gruppa, mens den siste timen var i vanlig klasse. De resterende timene i
undervisningsperioden arbeidet elevene selvstendig eller på grupper.
Klassens faglærer gjennomførte stasjonsundervisningen i slutten av september 2007.
3.3 Presentasjon av undervisningsopplegg – Stasjonsundervisning
Det ble avsatt tre uker i emnet brøk. I praksis hadde elvene ti timer avsatt til undervisning i brøk. To timer var avsatt til prøver. Elevene fikk dermed åtte timer til gjennomgang av emnet brøk. De tre første timene var avsatt til praktisk arbeid på ulike stasjoner. Den neste timen tok for seg en repetisjon og viderebygging på det elevene hadde erfart på stasjonene. De
resterende fire timene la opp til selvstendig arbeid der elevene skulle arbeide med oppgaver i boka, i kombinasjon med ytterligere gjennomgang på tavla der forklaringsmetoden ble knyttet til stasjonsarbeidet så langt det var mulig. Et unntak her var brøk multiplisert med brøk. Dette var en problemstilling som ikke lot seg konkretisere (jfr. side 16.) Jeg vil komme tilbake til dette senere i klargjøringen av stasjonsundervisningen. Det praktiske utstyret som ble benyttet i stasjonsarbeidet var tilgjengelig for både elever og lærer i hele denne perioden.
23 I den videre presentasjonen av undervisningsopplegget vil arbeidet på stasjonene bli referert som stasjonsarbeid, de ulike gruppene som arbeider på stasjonene betegnes som
stasjonsgrupper, og stasjonsundervisningen omhandler hele undervisningsperioden i brøk, det vil si både undervisningen som foregikk under selve stasjonssekvensen i tillegg til de øvrige timene som bygger videre på det gjennomgåtte stoffet under stasjonsarbeidet.
Elevene skulle arbeide i grupper på tre og tre. Faglærer satte sammen stasjonsgruppene.
Hennes kjennskap til sosiale og faglige forutsetninger ga en større mulighet for fruktbare gruppekonstellasjoner enn om jeg skulle foretatt en tilfeldig gruppeinndeling. På grunn av elevtallet ble det to grupper på fire og fire, mens de resterende gruppene besto av tre elever per gruppe.
Elevene arbeidet på fire ulike stasjoner, henholdsvis stasjon I, II, III, og IV. De begynte på stasjon I og avsluttet på stasjon IV. Det ble avsatt en bestemt tid til hver stasjon, og for å unngå unødvendig mye vandring i klasserommet ble stasjonene avviklet på samme sted.
Stasjonsoppgavene ble kontinuerlig gjennomgått av faglærer i plenum etter hvert som elevene ble ferdig. De ulike arbeidsoppgavene varierte mellom oppgaver som skulle løses praktisk og/
eller skriftlig. I tillegg til å skrive oppgaven på tavla, ble arbeidsoppgavene muntlig formulert i plenum.
De supplerende spørsmålsformuleringene til de gitte oppgavene på tavla var tilnærmet standardiserte spørsmål. De ble gitt av faglærer for å vektlegge at elevene skulle verbalisere sine tanker under oppgaveløsningen. Det standardiserte spørsmålet var: ”Kan dere vise og fortelle meg hvordan dere vil løse oppgaven praktisk og skriftlig?”. Det ble i enkelte av tilfellene nødvendig å klargjøre dette spørsmålet, spesielt i begynnelsen, men det endret ikke innholdet i den gitte arbeidsoppgaven. Dette spørsmålet ble stilt etter samtlige
arbeidsoppgaver under stasjonsarbeidet og blir derfor ikke nevnt videre i presentasjonen.
I noen av stasjonsoppgavene som jeg refererer til, har jeg benyttet parentes, spesielt under redegjørelsen av oppgavene i stasjon II. Parentesen er tatt med for å synliggjøre at vi har en mengde i de aktuelle oppgavene. Faglæreren benyttet parentes der hun syntes det var nødvendig når hun forklarte på tavla, noe som gjorde at hun ikke var like konsekvent med parentesbruken som det jeg har vært i refereringen. Hun var allikevel nøye med å presisere
24 muntlig for elevene under de aktuelle oppgavene at vi har en mengde. Det var ikke noe krav i undervisningsopplegget at parenteser skulle benyttes.
Stasjonene I, II og III la opp til oppgaver som kunne løses både praktisk og skriftlig hvor elevene skulle verbalisere sine tanker og løse oppgavene på ark. Stasjonsoppgavene hadde en faglig progresjon der stasjon I startet med det grunnleggende innen brøk. Stasjon IV var en oppsummering av de ulike problemstillingene som elevene hadde arbeidet med på de foregående stasjonene, og avsluttet med mer krevende oppgaver som var vanskeligere å konkretisere, da spesielt brøk dividert med brøk. Stasjon I, II og III inneholdt praktisk arbeid med kjente konkrete materialer fra elevenes hverdagsliv og ulike former for laborativt materiale (se side 15), og oppgaver som skulle gjøres skriftlig. På stasjon IV var materialet tilgjengelig for de elevene som ønsket å benytte seg av det.
Stasjon I
På stasjon I ble selve brøkbegrepet behandlet. Her fikk elevene møte kjent materiale fra hverdagen som inneholdt en bestemt mengde volum. Oppgaven var å skrive voluminnholdet i de konkrete gjenstandene som brøk. Målet med denne stasjonen var å klargjøre begrepene teller og nevner, hvorfor nevnerne må være like ved addisjon og subtraksjon med brøk, og å kunne forstå hva som menes med å utvide og forkorte brøker.
De kjente konkrete gjenstandene som ble benyttet på stasjonene var Coca Cola-bokser, juice- og melkekartonger, ulike brusflasker og pappkrus. Slike pappkrus er vanlig ved Mc Donalds, Burger King og bensinstasjoner. Det ble også benyttet en plastflaske som rommet 1 liter.
Denne flasken ble brukt som utgangspunkt for å klargjøre en bestemt del i forhold til 1 liter.
På noen av plastflaskene hadde jeg satt en strek som markerte når volumet var 4 3liter.
Disse plastflaskene var et eksempel på laborativt materiale (jfr. side 15). Innledningsvis ble det lagt vekt på å vise at disse konkretene hadde et voluminnhold som kunne uttrykkes som brøk.
Den første oppgaven elevene fikk var å prøve å gjette voluminnholdet til gjenstandene i liter uttrykt som brøk, og plassere dem i stigende rekkefølge på pulten. Etter denne sekvensen skrev læreren det korrekte voluminnholdet til hver gjenstand på tavla, og dette dannet grunnlaget for det videre arbeidet. Gjenstandene hadde følgende voluminnhold:
25 Pappkrus
5
1liter, melkekartongene og juicekartonger 4
1 liter, Coca Colabokser 3
1 liter, liten
brusflaske 2
1 liter, plastflaske med markering 4
3liter, umarkert plastflaske 1 liter og en stor
brusflaske 1 2
1 liter.
Hensikten med denne oppgaven var å klargjøre voluminnholdet uttrykt i forhold til 1 liter.
Et eksempel for å vise dette var at en CocaCola-boks som rommer 3
1liter, utgjør en tredjedel
av en flaske som rommer 1 liter. Dermed går det 3 bokser a' 3
1liter i en 1 liters flaske.
For å innlede klargjøringen av begrepene teller og nevner ble elevene bedt om å fortelle volumet til 2 pappkrus. Hensikten var her å konkretisere mengden
5 2liter.
Oppfølgingsspørsmål som ble stilt etter dette var: Kan dere plassere 5
4liter på bordet for
meg? Dette var et sentralt spørsmål. Her skulle det vise seg om elevene hadde forstått at 5 4
kan skrives som 5 1+
5 1+
5 1+
5
1. Begrepet teller og nevner skulle her bli klargjort, og hvorfor
nevnerne skulle være lik ved addisjon. Brøken 5
4kan forstås som at vi teller 4 enheter a`
5 1.
Dette er en grunnleggende forståelse innen brøk, og det var derfor viktig å investere tid sammen med elevene og spørre etter tilsvarende problemstillinger. Denne kunnskapen dannet fundamentet for å forstå og kunne løse praktiske og skriftlige oppgaver på stasjon II og III av typen:
2a) 5
4: 2, 2b) 4
6: 3 og 2c) 3 2 2
26 Etter forklaring av hvordan man kunne vise
5
4liter med pappkrusene, og at denne brøken
kunne sees på som 5 1+
5 1+
5 1+
5
1, ble det gitt tilsvarende oppgaver til elevene som de skulle vise praktisk og skriftlig. Disse oppgavene ble skrevet ned på tavla:
Kan dere vise 5
2liter, 4 3liter,
5
3 liter, 3
2 liter, 3
4 liter og 5
6 liter med det materialet dere har?
Neste fase av stasjon I var å benytte det konkrete materialet til vise at en brøk kan skrives på forkortet eller utvidet form. Et eksempel var å vise at 2 melkekartonger á
4
1 liter kunne
skrives som 4 1+
4 1=
4
2 og videre at 4 2=
2 1.
Spørsmål som ble stilt var:
- Kan dere vise 4
1liter + 4
1liter? Hva får dere da? Finnes det en slik mengde i det materialet dere har fra før?
Her viste det seg hvorvidt eleven har forstått at 4
1liter + 4
1liter = 4
2liter = 2 1liter
Å kunne forkorte og utvide brøker er en vesentlig innenfor emnet brøk. Om eleven vet at en brøk kan utvides og forkortes, er dette en forkunnskap som kan være behjelpelig med å løse oppgaver av typen
5
2: 3. Jeg kommer tilbake til denne oppgaven og lignende under stasjon II.
Stasjon II
Stasjon II tok for seg brøk dividert med et helt tall og brøk multiplisert med et helt tall. Denne stasjonen inneholdt det samme konkretiseringsmaterialet som stasjon I, og bygde videre på det som var erfart fra denne stasjonen. Denne stasjonen åpnet for elevmedvirkning (jfr. side
27 18). Elevene lagde ulike problemstillinger som de ga til hverandre og som kunne løses
praktisk og/eller skriftlig. Tidligere gitte oppgaver i stasjon I og II dannet grunnlaget for hvordan man løste disse brøkoppgavene. Intensjonen var å gi elevene en forståelse av hvorfor vi har de ulike regnereglene i disse typer av brøkoppgaver.
Nedenfor ser vi hvilke oppgaver som innledningsvis ble arbeidet med på denne stasjonen.
Oppgavene skulle løses praktisk og skriftlig. Det ble arbeidet med å se sammenhengen mellom den praktiske og teoretiske løsningen.
2a) 5
4: 2 2b) 4
6: 2 2c) 3
2 2 2d) :2 3
11 2e) 5
2: 3
Oppgave 2a), 2b) og 2c) bygde videre på erfaringen fra stasjon 1. Hensikten var nå at de nå skulle arbeide med oppgave 2a)
5
4: 2, og videre se på denne som ( 5 1+
5 1+
5 1+
5
1) : 2.
I praksis ville dette si at elevene skulle plassere 4 pappkrus på bordet og dele denne mengden i to.
Skriftlig ble løsning slik:
5
4: 2 = ( 5 1+
5 1+
5 1+
5
1) : 2 = ( 5 1+
5
1) = 5 2
Ut i fra samme grunnleggende forståelse skulle elevene kunne løse 2b) praktisk og skriftlig.
I dette tilfellet 6 melkekartonger og dele denne mengden på 2.
Skriftlig ble løsningen slik: ( 4 1+
4 1+
4 1+
4 1+
4 1+
4
1) : 2 = ( 4 1+
4 1+
4 1) =
4 3
Oppgave 2c) bygde på den tidligere erfaringen om at multiplikasjon er gjentatt addisjon. Her kunne vi sette opp et par Coca Cola-bokser og addere med et nytt par, og til sammen få fire Coca Cola-bokser.
Skriftlig ble løsningen slik:
3 2 2 = (
3 1+
3 1 ) + (
3 1+
3 1 ) =
3 4
Ut fra den praktiske løsningen med fire Coca Cola-bokser på bordet, og med erfaringen fra stasjon nr 1, ble det nå klart at vi hadde til sammen 1 liter og en Coca Cola-boks til ”overs”.
Det kunne nå vises at 3
4 kan skrives som 3
11 . Dette kunne også vises praktisk ved å
28
”veksle” inn 3 Coca Cola-bokser til 1 liter. Dermed fikk elevene 1liter (plastflasken) og
3
1liter (CocaCola-boksen), altså 3 11 liter.
Dermed var grunnlaget lagt for å løse neste oppgave, 2d) :2 3 11 .
Fra oppgave 2c) hadde vi nå at 3 11=
3
4 og fra stasjon I at 3 4 =
3 1+
3 1 +
3 1+
3 1
Ut fra dette kunne vi løse oppgave 2d) :2 3
11 både praktisk og skriftlig. I praksis kunne vi løse denne ved å plassere fire Coca Cola-bokser på bordet og dele denne mengden i to deler.
Den praktiske løsningen ble to Coca Cola-bokser.
Skriftlig ble løsningen ble slik:
3 11=
3 4 =
3 1+
3 1 +
3 1+
3
1 da blir :2 3
11 = 3
4 : 2 = ( 3 1+
3 1+
3 1+
3
1 ) : 2 = 3 1+
3 1 =
3 2
’
Neste nivå på denne stasjonen var oppgaven 2e) 5
2: 3. Denne problemstillingen kunne ikke la seg konkretisere med det materialet elevene hadde tilgjengelig. Her var kunnskapen fra stasjon I om at brøk kan skrives på utvidet form, i kombinasjon med kunnskap fra stasjon II om brøk dividert med et helt tall, en viktig forutsetning for å kunne løse oppgaven. I dette tilfellet var det viktig å vite at
5
2kan utvides til 15
6 og at vi dermed kunne skrive 5
2: 3 som
15
6 : 3. Dermed kunne vi se på 15
6 : 3 som ( 15
1 + 15
1 + 15
1 + 15
1 + 15
1 + 15
1 ) : 3 som ga ( 15
1 + 15
1 )
og vi fikk 15
2
Følgende øvingsoppgaver til stasjon II ble gitt:
2f) 3 4
3 2g) :4
3
8 2h) 2 5
2 2i) :3 15
6 2j) :3 7 1
Løsningen var: 2f) 4
9 2g) 3
2 2i) 15
2 2h) 5
4 2j) :3 7
1 = :3
21 3 =
7 1
29 Stasjon III
På stasjon III benyttet elevene det samme materialet som stasjon I og II. Stasjon III tok for seg divisjon der divisoren var brøk. Her skulle elevene arbeide med både brøk delt på brøk og helt tall delt på brøk. Intensjonen var å konkretisere at divisjon kan forstås som innholdsdivisjon (jfr. side xx). Elevene skulle først arbeide med oppgaver som kunne løses både skriftlig og praktisk, for så å løse oppgaver skriftlig.
Eksempler på problemstillinger som lot seg konkretisere ved hjelp av tilgjengelig materiale var 3a)
4 3:
4
1 3b) 3 :1
2
Felles for disse oppgavene var at begrepet innholdsdivisjon kunne la seg konkretisere med det tilgjengelige materialet. Innholdsdivisjon kunne her illustreres ved å vise hvor mye
gjenstandene rommet. I oppgave 3a) skulle elevene skulle finne ut hvor mange mengder a`4
1liter inneholder mengden 4
3liter? Elevene fant ut hvor mange melkekartonger á 4 1 liter
med melk som måtte til for å fylle en plastflaske som rommet 4
3. Dermed fikk vi at
4 3:
4 1= 3.
Tilsvarende kunne oppgave 3b) konkretiseres ved at elevene skulle finne ut hvor mange Coca Cola-bokser á
3
1liter det rommer i mengden 2 liter. Her ble seks Coca Cola-bokser på bordet vist som en volummengde på 2 liter, og klargjorde dermed at det rommet seks volumenheter a`
3
1 i 2 liter. Vi fikk 3 :1
2 = 6.
Følgende øvingsoppgaver til stasjon III som skulle konkretisere innholdsdivisjon ble gitt:
3c) 2 : 4
1 3d) 1 3 2:
3
1 3e) 2 : 2 1
4
1 3f) 1 5 3:
5
1 3g) 2 2 1:
2 1
30 Her skulle elevene arbeide praktisk hvor de kunne fylle Coca Cola-bokser, kartonger, flasker og pappkrus med vann for å løse oppgaven. Skolen har flere vasker lett tilgjengelig for elevene.
Løsningene ble her: 3c) 8 3d) 5 3e) 10 3f) 8 3g) 5
Avslutningsvis ble det klargjort at disse oppgavene kunne reverseres. Oppgave 3c) ble brukt for å vise at 2 :
4
1 = 8 da må 8 4
1 = 2. Dette ble så konkretisert ved å vise at åtte melkekartonger tilsvarte to liter.
Stasjon IV
I den første delen av stasjon IV fikk elevene oppgaver som bygde på det de hadde erfart fra stasjon I, II og III. Denne stasjonen oppsummerte de ulike problemstillingene som elevene hadde erfart på de tidligere stasjonene. Innledningsvis i denne stasjonen ble det gitt oppgaver fra stasjon I som elevene skulle løse praktisk. Deretter ble det gitt oppgaver fra temaene i stasjon II. Elevene skulle løse oppgavene uten bruk av praktisk utstyr først, for deretter å kontrollere svaret ved løse oppgaven praktisk. Under dette arbeidet var det noen av elevene som etter eget ønske fikk lov til å løse oppgaven praktisk først. Dette var elever som ifølge faglærer var svake og vanligvis lite motiverte for å arbeide, og fikk dermed anledning til å øve mer med det praktiske materialet. Den siste oppgaven 4h) kunne ikke la seg løse praktisk.
Elevene ble informert om dette.
Følgende øvingsoppgaver til den første delen av stasjon IV ble gitt:
(svar står i parentes etter oppgaven).
4a) På hvor mange måter kan dere vise meg mengden 1 3
1liter med det utstyret dere har?
4b) 3 5
3 ( 5
9 eller 1 5
4 ) 4c) 2 4
3 ( 4
6 eller 1 4
2 eller 1 2 1 )
4d) 2 5
2: 3 ( 5
4 ) 4e) 2 : 5
1 ( 8 ) 4 f) 5 4:
5
2 ( 2 )
4g) 6 4:
3
1 ( 2 ) 4h) 3
2: 3 ( 9
2 )
31 Intensjonen med å gi disse oppgavene var å observere elevenes evne til abstraksjon (jfr. side 17).
Neste trinn på stasjon IV var brøk dividert med brøk som ikke lot seg konkretisere. Her var erfaringen fra stasjon III om innholdsdivisjon viktig.
For å forklare dette teoretisk ble følgende oppgave ble gitt:
4 3 :
3
1. Ved å utvide brøkene slik
at nevnerne ble like, ble det nå:
12 9 :
12
4 . Nevneren ble sett på som en enhet og brøkene i oppgaven ble nå skrevet med benevning: 9 tolvdeler : 4 tolvdeler. Ut i fra innholdsdivisjon var oppgaven å finne ut hvor mange 4 tolvdeler inneholder mengden 9 tolvdeler. Siden benevningen var lik, ble det nå det samme som 9 : 4. Dermed ble svaret
4
9som gir 2 4 1.
Vi kunne vise at innholdsdivisjon var en alternativ løsningsmetode for å løse oppgave 4 3 :
3 1 .
Ved å gå veien om å utvide brøkene slike at nevnerne ble like kunne det nå vises at 3 1 går
24
1 gang opp i 4
3. Hensikten med denne forklaringsmetoden var å vise at vi kan utvide eller forkorte brøkene ved oppgaver av typen brøk delt på brøk for at nevnerne skal bli like. Når nevnerne er like har brøkene samme enhet kan vi, som eksemplet over viser, dividere tellerne.
Følgende øvingsoppgaver til den andre delen av stasjon IV ble gitt:
(svar står i parentes etter oppgaven).
4 i)
5 3 :
2 1 (
5
6 eller 1 5
1 ) 4j) 7 3 :
3
1 ( 7
9 eller 1 7 2 )
Etterarbeidet i den fjerde timen var en gjennomgang og oppsummering av de ulike arbeidsoppgavene i stasjonene.
Ved brøk multiplisert med brøk var dette ikke mulig å konkretisere (jfr. side 15). Videre inneholdt elevenes lærebok (Hjardar og Pedersen 2006) gode forklaringer på hvordan denne
32 typen av oppgaver kan forstås og løses. Dermed kunne ikke brøk multiplisert med brøk
knyttes til det konkrete arbeidet på noen av de tidligere stasjonene. Denne typen oppgaver falt dermed utenfor det jeg legger i stasjonsundervisning. Denne typen problematikk ble i
undervisningsperioden gjennomgått og eksemplifisert slik som elevenes lærebok (Hjardar og Pedersen 2006) legger opp til. I løpet av den resterende undervisningsperioden ble ikke konkretiseringsmaterialet tatt bort, men var hele tiden tilgjengelig for både faglærer og elever til praktisk arbeid og repetisjon. Hovedvekten av de resterende arbeidsøktene var nå
selvstendig arbeid der faglærer gikk rundt og hjalp elevene. Faglærer tok med jevne
mellomrom initiativ til å forklare på tavla i plenum. Arbeidsoppgaver ble i hovedsak hentet fra elevenes lærebok (Hjardar og Pedersen 2006).
3.4 Kvalitativ og kvantitativ datainnsamling
I denne delen av metodekapittelet vil jeg i den kvalitative tilnærmingen ta opp systematisk observasjon og semistrukturert intervju som kilde til empiri i forbindelse med min rolle som deltagende observatør. I den kvantitative delen tar jeg for meg de testene jeg har benyttet samt signifikanstesting.
3.4.1 Deltakende observatør
Læreren var ansvarlig for gjennomføringen av stasjonsundervisningen. Min rolle var
deltagende observatør (Fugleseth 2006). Deltakende observatør forstås her som at jeg deltok i undervisningen, men bare som observatør. Jeg skulle dermed være midt blant elevene, og observere elevene når de arbeidet i kombinasjon med elevintervju.
Det var flere naturlige grunner til å la klassens faglærer stå for den fulle og hele
gjennomføringen av stasjonsundervisningen, mens min rolle var begrenset til deltakende observatør (se over). For det første var faglærer også en klasseleder (jfr. side 18) med ansvar for arbeidsro, og god aktivitetsflyt uten unødvendig forstyrrende momenter. Ved å bli frigjort fra dette ansvaret kunne jeg i større grad konsentrere meg om innsamling av empiri.
Visualiseringen utgjorde en viktig del i innsamlingen av empirien. Arbeidet med det konkrete materialet var synlig for både observatør og faglærer, og var en indikator på elevenes faglige
33 utbytte av stasjonsarbeidet. Samtaler med faglærer rundt det hun hadde observert etter en gjennomført stasjonsøkt utgjør en del av min empiri. Hovedinnholdet i disse samtalene ble ført inn i en loggbok (se vedlegg 3).
For det andre kunne det oppleves som mer naturlig for elevene å ha deres ordinære lærer under stasjonsundervisningen. Et undervisningsopplegg som blir gjennomført av en ukjent person, og som i tillegg er av praktisk karakter, vil kanskje i forsterket grad bli en
”happening” for elevene. Ved at deres lærer gjennomførte stasjonsundervisningen ble undervisningssituasjonen normalisert for både elever og foreldre.
For det tredje kunne mitt engasjement i oppgaven føre til en bevisst eller ubevisst ekstra innsats og hjelp til elevene om jeg hadde deltatt i gjennomføringen av stasjonsundervisningen.
Eksempler her kunne vært å bli igjen i friminuttene eller et kvarter etter skolens slutt for å forklare elever som lurer på noe. Dette er kanskje ikke en unormal praksis for lærere, men mitt undervisningsopplegg skulle prøves ut og analyseres ut i fra normale rammer og skal kunne etterprøves. Et positivt resultat som skyldes skjulte og unaturlig gunstige
rammebetingelser, vil gi falske signaler til andre som vil prøve undervisningsopplegget. Dette vil i så tilfelle være uheldig for både elever, foreldre og lærere.
Det ble foretatt systematisk observasjon i løpet av stasjonsundervisningen. Systematisk observasjon forstås som en tydelig avklaring på hva det er som skal observeres og at observasjonsmetoden er strukturert (Fugleseth og Skogen, 2006). Den systematiske
observasjonen var i mitt tilfelle å vektlegge det visuelle, det vil si at jeg var fokusert på å se hvordan elevene løste oppgavene praktisk, og at jeg registrerte hva de sa når de arbeidet. Ved å observere elevene når de arbeidet med stasjonsoppgavene i kombinasjon med å la de
verbalisere sine tanker, kunne jeg fange opp elevenes respons på stasjonsarbeidet.
Hovedhensikten med at elevene skulle verbalisere sine tanker når de løste oppgavene, var for å få lettere tak i deres matematiske tankegang, og i så måte få et inntrykk av det praktiske arbeidet var egnet til å gi elevene en faglig forståelse. I mitt tilfelle var det vesentlig med gode observasjonsmetoder som fanget opp hvorvidt det praktiske arbeidet med konkretene førte til en faglig forståelse.
Jeg benyttet diktafon som jeg tok med meg rundt for å ta opp sekvenser av elevenes samtaler når de arbeidet på de ulike stasjonene. På den måten fikk jeg elevenes verbalisering av
34 tankene på tape som analysegrunnlag. Disse samtalene ble transkribert for å systematisere empirien, og dermed gjøre analysen lettere. Jeg tok også opp samtaler mellom elev og lærer der det var naturlig. I utgangspunktet hadde jeg en passiv rolle i klassen der jeg fungerte som deltagende observatør (jfr. side 32), men ved enkelte oppgaver stilte jeg spørsmål til elevene, både under stasjonsarbeidet og i de øvrige arbeidsøktene (jfr. side 22). Disse spørsmålene omfattet både planlagte spørsmål og ikke-planlagte spørsmål. Ved enkelte problemstillinger, som jeg anså som spesielt viktige under stasjonsarbeidet, hadde jeg planlagt å stille elevene spørsmål, der også spørsmålsformuleringene var bestemt på forhånd. Elevene var blitt forberedt på dette under avklaringen av stasjonsarbeidet (jfr. side 21). Ved andre tilfeller ble det stilt ikke-planlagte spørsmål. Dette ble nødvendig når det var uklart hvordan eleven tenkte, eller at jeg ikke oppfattet det som ble sagt. I noen tilfeller gjentok jeg eller
omformulerte spørsmålet uten at innholdet ble endret. Det ble lagt vekt på en oppmuntrende tone under spørsmålsformuleringene, hvor det skulle gis adekvat ros til elevene under arbeidet. Spørsmålene skulle være åpne (jfr. side 18). Disse spørsmålene kan sees på som semistrukturert intervju. Semistrukturert intervju forstås som planlagte spørsmål der man åpner for oppfølgingsspørsmål (Fugleseth og Skogen, 2006). I min undersøkelse hadde jeg på forhånd tenkt igjennom hvordan jeg skulle formulere mine spørsmål, men ved enkelte tilfeller var det behov for oppfølgingsspørsmål for å få mer utfyllende informasjon. Jeg har lagt vekt på å la elevene få den tid de trengte for å svare uten avbrytelser.
Under transkriberingen ble elevene markert med E og et nummer, eksempel E3. Kjønnet var i denne sammenhengen irrelevant i forhold til min problemstilling og ble derfor ikke
identifisert. Lærer ble identifisert med L og observatør ble markert som O. Under arbeidet i grupper på stasjonene, var hver gruppe identifisert med en bokstav, og elevene med nr 1, 2 eller 3. De tredelte gruppene fikk bokstaven A, B eller C. Eksempelvis var CE2 da elev nr 2 i gruppe C.
Det ble i tillegg samlet inn skriftlig elevmateriale. Elevene skulle regne på blanke ark når de arbeidet ved stasjonene uten bruk av viskelær, slik at de ikke kunne viske ut eventuelle feil.
Arkene ble markert med gruppebokstav og elevnummer, for så å bli samlet inn når elevene var ferdige. Dette innsamlede materialet fungerte som et supplement til diktafonen under analysen av elevens forståelse av brøk og brøkregning. Mye av det innsamlede materialet har vært vurdert i samarbeid med klassens faglærer, og i enkelte tilfeller også i samarbeid med
