Effekt av progressiv bruddutvikling for utbygging i områder med kvikkleire: numerisk metode for beregning av udrenert brudd i sensitive materialer

(1)

RAPPOR T

2014 55

2014 5

kvikkleire: Numerisk metode

for beregning av udrenert brudd

i sensitive materialer

(2)

Naturfareprosjektet: Delprosjekt 6. Kvikkleire

Effekt av progressiv bruddutvikling for utbygging i områder med kvikkleire:

Numerisk metode for beregning av udrenert brudd i sensitive materialer

Norges vassdrags‐ og energidirektorat i et samarbeid med Statens vegvesen og Jernbaneverket

2014

(3)

Utarbeidet av:

Gustav Grimstad og Hans Petter Jostad v/NGI Dato: 02.05.2012

Opplag: P.O.D.

ISBN: 978‐82‐410‐1107‐1

Avrop:

Denne rapporten er en del av et samarbeidsprosjekt mellom Statens Vegvesen Vegdirektoratet (SVV), Norges Vassdrags og Energidirektorat (NVE) og NGI. Overordnet mål for samarbeidsprosjektet er å etablere et forbedret beregningsgrunnlag for etablering av sikkerhetsfaktorer og prosedyrer for prosjektering av bygg, anlegg og samferdsel i områder med kvikkleire eller meget sensitiv leire.

Denne rapporten gir en beskrivelse av resultatene fra Aktivitet 1 ”Numerisk metode for beregning av udrenert brudd i sensitive materialer”.

Emneord: sprøbruddmateriale, progressivbrudd, strain softening, NGI‐ADP soft

(4)

Effekt av progressiv bruddutvikling for utbygging i områder med kvikkleire

A1 Numerisk metode for

beregning av udrenert brudd i sensitive materialer

20092128-00-4-R 12. mai 2014 Rev.nr.: 0

(5)

(6)

Prosjekt

Prosjekt: Effekt av progressiv bruddutvikling for utbygging i områder med kvikkleire Dokumentnr.: 20092128-00-4-R

Dokumenttittel: A1 Numerisk metode for beregning av udrenert brudd i sensitive materialer

Dato: 12. mai 2014

Rev.nr.: 0

Oppdragsgiver

Oppdragsgiver: Statens Vegvesen Vegdirektoratet Norges Vassdrags og Energidirektorat Oppdragsgivers

kontaktperson:

Roald Aabøe (Vegdirektoratet) Odd Are Jensen (NVE)

Kontraktreferanse: Oppdragsbekreftelser datert 25. (SVV) og 10. (NVE) november 2010

For NGI

Prosjektleder: Hans Petter Jostad

Utarbeidet av: Gustav Grimstad/Hans Petter Jostad Kontrollert av: Hans Petter Jostad

Sammendrag

Denne rapporten er en del av forskningsprosjektet: ”Effekt av progressiv bruddutvikling for utbygging i områder med kvikkleire”. Prosjektet er et samarbeidsprosjekt mellom Statens Vegvesen Vegdirektoratet (SVV), Norges Vassdrags og Energidirektorat (NVE) og NGI.

Overordnet mål for prosjektet er å etablere et forbedret beregningsgrunnlag for etablering av sikkerhetsfaktorer og prosedyrer for prosjektering av bygg, anlegg og samferdsel i områder med kvikkleire eller meget sensitiv leire.

p:\2009\21\20092128\leveransedokumenter\rapport\a1\final\20092128-00-4-r a1_endelig.docx

(7)

Denne rapporten gir en beskrivelse av resultatene fra Aktivitet 1 ”Numerisk metode for beregning av udrenert brudd i sensitive materialer”.

En materialmodell med anisotrop undrenert skjærstyrke som reduseres (”softner”) med økende skjærtøyning mot en anisotrop residual skjærstyrke er forbedret og ferdigstilt. Numeriske problemer på grunn av ”softeningen” som for eksempel elementnettavhengige resultater er løst ved å inkludere en formulering basert på

”ikke-lokal tøyning”. Ved hjelp av denne metoden er det mulig å kontrollere tykkelsen på skjærsonen og dermed sprøheten til materialet i områder med

”softening”.

Materialmodellen er implementert som en brukerdefinert materialmodell (dll-fil) i elementmetodeprogrammet PLAXIS.

Rapporten presenterer input data til materialmodellen sammen med noen eksempler.

(8)

Dokumentnr.: 20092128-00-4-R Dato: 2014-05-12

Rev.nr.: 0 Side: 5

Innhold

1 Innledning 6

1.1 Bakgrunn 6

2 Teoretisk grunnlag 7

2.1 NGI-ADPSoft 7

2.2 Softening-kurver 8

2.3 Ikke-lokal tøyning 9

2.4 Implementering av modellen i Plaxis 11

3 Brukerveiledning 11

3.1 Input 12

3.2 Beregninger 15

3.3 Resultater 16

4 Eksempler 16

4.1 Skjærkolonne 16

4.2 Biax (udrenert plantøyning kompresjonstest) 18

4.3 Enkel skråning 20

4.4 Bæreevne problem ”uten” singulære punkt 23

5 Konklusjoner 26

6 Referanser 27

Vedlegg A – Matematisk formulering for NGI-ADPSoft

Vedlegg B – Artikkel: Grimstad, G., Andresen, L. and Jostad, H.P. (2010),

“Undrained capacity analyses of sensitive clays using the nonlocal strain approach”, 9th HSTAM International Congress on Mechanics, Limassol, Cyprus, 12 – 14 July, 2010

Vedlegg C - Jostad, H.P., and Grimstad, G., 2011, “Comparison of

distribution functions for the non-local strain approach”, 2nd International Symposium on Computational Geomechanics (ComGeo II), Cavtat-Dubrovnik, Croatia, 27-29 April, 2011 Kontroll- og referanseside

(9)

1 Innledning

Denne rapporten er en del av prosjektet: ”Effekt av progressiv bruddutvikling for utbygging i områder med kvikkleire”. Prosjektet er et samarbeidsprosjekt mellom Statens Vegvesen Vegdirektoratet (SVV), Norges Vassdrags og Energidirektorat (NVE) og NGI. Overordnet mål for prosjektet er å etablere et forbedret beregningsgrunnlag for etablering av sikkerhetsfaktorer og prosedyrer for prosjektering av bygg, anlegg og samferdsel i områder med kvikkleire eller meget sensitiv leire.

Denne rapporten gir en beskrivelse av resultatene fra Aktivitet 1 ”Numerisk metode for beregning av udrenert brudd i sensitive materialer”. Rapporten gir en beskrivelse av en materialmodell som er implementert inn i elementmetodeprogrammet PLAXIS (www.plaxis.nl). Hovedfokus er lagt på anvendelse og brukerveiledning av beregningsprosedyren.

1.1 Bakgrunn

Ved stabilitetsberegninger for fyllinger, skjæringer og skråninger i områder med kvikke eller sensitive leirer benyttes grenselikevektsmetoden (f. eks.

GeoSuite Stability eller Slope W) i standard prosjektering. Grenselikevekts- metoden som benyttes i disse programmene er basert på en antagelse om perfekt plastisk (duktil) oppførsel, mens meget sensitive og kvikke leirer defineres å ha en sprø oppførsel. Det er kjent (for eksempel Janbu, 1970;

Bernander, 2000 & 2011; Andresen et al., 2002; Andresen og Jostad, 2004 &

2007) at sprøbruddoppførsel slik vi har i kvikkleirer kan føre til lavere bruddverdi og en annen type bruddmekanisme enn for perfekt plastiske leirer.

Det er gjort mye arbeid i Norge på kartlegging av kvikkleireområder og etterregning av skred ved bruk av tradisjonelle grenselikevektsmetoder.

Imidlertid har det i løpet av de siste tjue årene internasjonalt og nasjonalt, innen geomekanikk og andre mekanikkfag, blitt forsket mye for å bedre forståelsen av mekanismer knyttet til progressive brudd. Nasjonalt kan vi nevne grunnleggende studier på effekten av lokal drenasje fra tynne bruddsoner også kalt skjærbånd utført av Thakur (2007) og pågående arbeid av Ph.D. student Gylland (Gylland, 2009).

I tillegg har det ved NGI i løpet av de siste 10 årene blitt utviklet materialmodeller og analyseprogrammer som kan benyttes for å regne på brudd i sensitive leirer (Andresen et al., 2002; Jostad et al., 2006, Grimstad et al., 2010, Jostad og Grimstad, 2011). Grunnleggende innhold i disse beregningsmodellene er:

• Kompatibilitet i forskyvninger med tilhørende tøyninger, og likevekt mellom drivende krefter og stabiliserende spenninger beregnet ved hjelp av et elementmetodeprogram, for eksempel Plaxis (www.plaxis.nl)

(10)

Rev.nr.: 0 Side: 7

• Sammenheng mellom tøyninger og stabiliserende spenninger bestemt ved hjelp av en anisotrop elastoplastisk materialmodell, for eksempel NGI-ADPSoft (Grimstad et al. 2010)

• Problemet med nettavhengige resultater, hvor bruddoppførselen blir mer og mer sprø ved gjentatt forfining av elementnettet er for eksempel unngått ved å benytte en såkalt ”ikke-lokal” skjærtøyningsformulering som beskrevet i Grimstad et al. (2010) og Jostad og Grimstad (2011), i stede for den klassiske skjærtøyningen gitt av gradientene til forskyvningsfeltet

• Kontinuerlig oppdatering av geometrien i forbindelse med den progressive bruddutviklingen etter at skråningen har blitt ustabil er tatt hensyn til ved å benytte en stordeformasjonsformulering som for eksempel den som er tilgjengelig i Plaxis

Noen av disse punktene vil bli beskrevet nærmere i det neste kapittelet.

2 Teoretisk grunnlag 2.1 NGI-ADPSoft

NGI-ADPSoft er en totalspenningsbasert materialmodell som tar hensyn til anisotropi under udrenert oppførsel avhengig av deformasjonsretningen.

Modellen benytter input fra udrenerte treaks kompresjon (trykk) forsøk (suC, suC

r, γpC, γrC ), konstant volum direkte skjærforsøk (suDSS, suDSS

r, γpDSS, γrDSS) og udrenerte treaks ekspansjons (strekk) forsøk (suE, suEr, γpE, γrE). su står for udrenert skjærstyrke, p for ”peak”, r for ”residual”, γ for skjærtøyning, C for kompresjon, DSS for direkte simpel skjær og E for ekspansjon. Det er i modellen antatt at udrenert treaks skjærstyrker, suC og suE er tilnærmet lik samsvarende udrenerte plantøynings skjærstyrker, suA og suP.

Figur 2.1 viser resultater fra simuleringer av udrenerte plantøyningsforsøk med de parameterne som er gitt i Tabell 2.1. Som det fremkommer i tabellen kreves også input av en elastisk stivhet, representert ved Gur, og initial skjærmobilisering, τ0/suA. Den elastiske skjærstivheten benyttes til å styre oppførselen ved små tøyninger og ved av- og rebelastning. Den initiale skjærmobiliseringen kan være gitt av den faktiske initiale maksimale skjærspenningen, under forutsetning av vertikal sedimentasjon på horisontal grunn, gitt ved τ0 = (σv0 – σh0)/2, eller brukt som en ekstra tilpasningsparameter av spenningstøyningskurvene.

Tabell 2.1 Eksempel på input parametre til NGI-ADPSoft

Gur/suA suDSS/suA suP/suA suA

r/suA suDSS r/suA suP

r/suA γpC γpDSS γpE γrC γrDSS γrE τ0/suA

500 0.67 0.5 0.5 0.5 0.5 1% 5% 10% 20% 20% 20% 0.0

(11)

Figur 2.1 Simulering av isotropt konsoliderte plantøyningsforsøk – presentert i normalisert deviatorisk spenningsplott for plantøyningstilstand (σy – σx)/2 mot τxy og i plott med skjærspenning mot skjærtøyning

2.2 Softening-kurver

NGI-ADPSoft har i løpet av prosjektet blitt forbedret når det gjelder formen på softening-kurven. Ulempen med den originale softeningkurven benyttet i NGI-

-0.5 0 0.5 1

-0.5 0 0.5

τ xy/s uA

(σ y-σ

x)/2/s

u A

Residual surface

Peak surface

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-0.5 0 0.5 1

|ε y-ε

x|, γ xy

(σ y-σ x)/2/s uA , τ xy/s uA

Active biaxial test Direct Simple Shear Passive biaxial test

(12)

Rev.nr.: 0 Side: 9

ANISOFT (Andresen, 2002) er at kurven gir for langt platå før softeningen starter ved input av en stor skjærtøyning ved nådd residualtøyning. I tillegg er modellen forbedret med tanke på problemer knyttet til tap av konveksitet til flyteflaten ved noen uheldige kombinasjoner av ”peak” og residualtøyninger.

Dette er beskrevet mer i detalj i Vedlegg A.

2.3 Ikke-lokal tøyning

Ideen med såkalt ”ikke-lokal tøyning” er at det plastiske tøyningsinkrementet i et materialpunkt er erstattet med en ”ikke-lokal tøyning” hvor tøyningsinkrementene i et brukerstyrt område rundt det aktuelle punktet er vektet inn. Det betyr at den permanente tøyningen er bestemt av deformasjonen innen et bestemt område i stede for å være avhengig av elementstørrelsen.

Denne vektingen er typisk gjort med en Gauss funksjon. En variant av denne vektingen er kalt ”utvidet ikke-lokal tøyning” (Brinkreve, 1994). Det ”ikke- lokale” tøyningsinkrementet i et materialpunkt blir da beregnet i henhold til ligning (1).

( )

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )

p p p p

i i i w dV

V α α

∆^{ε x} = ∆^{ε x} − ⋅ ∆^{ε x} +

∫

^x ⋅ ∆^{ε x} ⁽¹⁾

hvor Δε^p(x) er det plastiske tøyningsinkrementet i materialpunktet med posisjon 𝐱𝐱 (,y,z); α er en parameter som settes større enn 1.0 (hvor α = 2.0 anbefales i Jostad & Grimstad (2011; vektingsfunksjonen (Gauss funksjonen):

(𝐱𝐱) = 1

𝑙𝑙√π∙exp �−(𝐱𝐱 − 𝐱𝐱_i)^T∙(𝐱𝐱 − 𝐱𝐱_i)

𝑙𝑙² �

𝐱𝐱i er en varierende posisjon rundt 𝐱𝐱 og l er en gitt lengde (”indre lengde”).

Merk at l ikke må forveksles med skjærbåndtykkelsen L. Avhengig av valg for α er skjærbåndtykkelsen gitt i Figur 2.2. For α = 1.58 er L/l ≈ 3.14 (π). Se også ligning (2) eller (3) under. Løsningen for α = 1 er udefinert.

𝐿𝐿

𝑙𝑙 = �ln(𝛼𝛼)−ln (𝛼𝛼−1)^𝜋𝜋 (2)

𝛼𝛼= ¹

1−1/exp�^{𝜋𝜋𝜋𝜋}_𝐿𝐿�² (3)

(13)

Figur 2.2 Normalisert skjærbåndtykkelse L/l mot α, etter Brinkgreve (1994)

I praksis gjøres integrasjonen av det ”ikke-lokale” plastiske tøyningsinkrementet numerisk ved å summere over alle integrasjonspunktene i elementnettet (eller et begrenset område gitt av l).

En annen variant av det ”ikke-lokale” plastiske tøyningsinkrementet er foreslått av Galavi og Schweiger (2010). Ligning (4) gir en alternativ vektingsfunksjon, som egentlig er en tosidig Weibull fordeling. Figur 2.3 viser begge vektingsfunksjonene for l = 1.

𝑤𝑤^∗(𝐱𝐱) =^{�(𝐱𝐱−𝐱𝐱}ⁱ⁾_𝑙𝑙₂^T^{∙(𝐱𝐱−𝐱𝐱}ⁱ⁾∙exp �−^{(𝐱𝐱−𝐱𝐱}ⁱ⁾_𝑙𝑙^T₂^{∙(𝐱𝐱−𝐱𝐱}ⁱ⁾� (4)

( )

*( ) 1 ( ) ( )

p p

i w dV

∆^{ε x} =V

∫

^x ⋅ ∆^{ε x}

(14)

Rev.nr.: 0 Side: 11

Figur 2.3 To alternative vektingsfunksjoner for ”ikke-lokal” tøyning med l

= 1 (Galavi og Schweiger, 2010) 2.4 Implementering av modellen i Plaxis

Modellen er implementert med en implisitt formulering. Det betyr at det er informasjonen ved slutten av et inkrement som benyttes til å bestemme den plastiske oppførselen for det aktuelle inkrementet. Siden tilstanden ved slutten av et inkrement ikke er kjent på forhånd, benyttes en Newton-Raphson iterasjonsprosedyre for å finne tilstandsparametrene ved endt inkrement. En slik prosedyre kan for eksempel finnes i de Borst og Heeres (2002). Den ”ikke- lokale” tøyningen i ett integrasjonspunkt beregnes ved å summere bidragene fra alle nærliggende integrasjonspunkt innenfor en radius på 3l. Grunnen til at avstanden er begrenset til 3l kan sees i Figur 2.3, hvor w er meget liten for r >

3l. Beregningstiden blir dermed betydelig redusert i forhold til å inkludere alle integrasjonspunktene i hele FE modellen.

3 Brukerveiledning

Modellen beskrevet foran kan benyttes i forbindelse med Plaxis 2D analyser.

Kopier ADPSoft.DLL filen (som inneholder materialmodellen) til Plaxis programmappen (hvor plaxis programmet ligger) sammen med filen DFORRT.DLL. Programmet PLAXIS 2D v9.02 kan da åpnes og et nytt prosjekt defineres. Det anbefales foreløpig å begrense navnet på prosjektet til 8 tegn. Merk også at i nåværende versjon av ADPSoft. DLL datert 2011-09-16 er antall integrasjonspunkt i modellen begrenset til 240 000 (hvilket for 15 noders elementer medfører at antall elementer er begrenset til 20000). En annen begrensing er at det kun kan benyttes opptil 5000 integrasjonspunkt innenfor en radius på 3∙l.

r = �(𝐱𝐱 − 𝐱𝐱_i)^T∙(𝐱𝐱 − 𝐱𝐱_i) Gauss fordeling

Tosidig Weibull fordeling (β = 2)

(15)

3.1 Input

Når et materiale med softening skal beskrives i en elementmodell velges først

”user-defined” materiale, deretter velges NGI-ADP-Soft-nls fra adpsoft.DLL.

Et vindu som vist i Figur 3.1 blir dermed åpnet. Totalt 28 parametere kreves som input til modellen. En beskrivelse av parametrene med kommentarer til valg av verdier er gitt i Tabell 3.1. Merk at for flere av parameterne kan

”standard” verdier benyttes.

De første parametrene er de samme som finnes i NGI-ADP modellen (NGI, 2008 og Grimstad et al., 2011). Disse parametrene benyttes til å beskrive skjærspenning-skjærtøyningkurven til materialet (vist i Figur 2.1 og beskrevet i seksjon 2.1) opp til ”peak” styrkene.

I Figur 3.1 er suA satt til 1.0. For et generelt tilfelle skal denne være gitt av suA

profilet. Det betyr at skjærstyrkeprofilet/fordelingen styres av suA fordelingen.

Softeningkurvene, for de tre karakteristiske tøyningsretningene, er gitt av forholdene mellom residual skjærstyrkene, suAr , suDSSr , suPr og ”peak” aktiv udrenert skjærtyrke suA og treaks tøyningene ved oppnådd residual styrke γ_r^C, γ_r^DSS og γ_r^E (se Figur 2.1 i seksjon 2.1). I tillegg styres formen på kurven av parametrene c1 og c2 (se Figur A1.1). Merk at c1 må være større enn 1.0 og at c2 må være lik eller mindre enn c1. Generelt anbefales det å benytte c2 lik c1. Lineær softening etter ”peak” oppnås med c1 = 1.0 og c2 = 0. For meget sensitive leirer er det ikke mulig å etablere hele softeningkurven ved hjelp av standard tester, tøyningen ved residual styrken er mye større enn det som kan oppnås i disse testene. Modelltester eller mer spesielle tester vil da være nødvendig for å etablere denne kurven.

Modellen kan også benyttes i en forenklet drenert analyse ved å spesifisere en drenert tverrkonsentrasjonstall ν mindre enn 0.495. Men generelt benyttes den i en udrenert analyse med νu = 0.495.

Den ”ikke-lokale tøyningen” er styrt av α og lint, hvor det normalt anbefales å benytte α = 2.0 (Jostad og Grimstad, 2011). lint velges typisk lik elementstørrelsen (karakteristisk lengde på elementene) i området hvor det forventes å få softening.

I noen tilfeller kan det være ønskelig å undersøke effekten av en skjærbåndtykkelse som er mindre enn den karakteristiske elementstørrelsen.

Dette kan da gjøres ved å skalere softeningkurven. Skaleringsparameteren (1-l^*/lint) kan benyttes i en slik skalering, hvor 0 er standardverdi som gir ingen skalering. Normalt bør en være forsiktig med å velge for stor verdi på denne parameteren. I materialmodellen benyttes l^* til å skalere residual tøyningen:

𝛾𝛾_𝑟𝑟^𝑝𝑝∗ =�𝛾𝛾_𝑟𝑟^𝑝𝑝− 𝛾𝛾_𝑝𝑝^𝑝𝑝� ∙_𝑙𝑙^𝑙𝑙^∗

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖+𝛾𝛾_𝑟𝑟^𝑝𝑝 (0)

(16)

Rev.nr.: 0 Side: 13

For å forbedre interpoleringen mellom ”peak” og residual tøyningene for en generell tøyningsretning, er det lagt inn 3 alternative interpolasjonsfunksjoner (se Vedlegg A). Generelt anbefales det å benytte interpolasjonstype INT. TYPE = 1.

For beregning av den ”ikke-lokale” tøyningen er det mulig å velge mellom eksakt løsning (GS pl/tot = 0), se ligning (1), eller en tilnærmet løsning hvor det plastiske tøyningsinkrementet antas lik det totale tøyningensinkrementet (GS pl/tot = 1). For et generelt tilfelle, med flere iterasjoner for å oppnå likevekt anbefales det å benytte GS pl/tot = 0. Det er kun i spesielle tilfeller det kan være hensiktmessig å benytte en tilnærmet løsning. Dette er for eksempel diskutert i Grimstad et al. (2010).

Tabell 3.1 Input for NGI-ADPSoft med ”ikke-lokal tøyning”

Param. Benevn. Beskrivelse Kommentar

Gur/suA - Normalisert elastisk (initiell) skjærmodul dividert på udrenert aktiv (plantøyning)

”peak” skjærstyrke

Normalt benyttes en initiell stivhet som er noe mindre enn Gmax. Verdien er normalt mellom 100 og 1500, med en typisk verdi på 500.

Verdien benyttes til å kontrollere stivheten ved små tøyninger og avlastningsstivheten suAref kPa Udrenert aktiv ”peak” skjærstyrke ved yref

suAinc kPa/m Lineær endring i suA fra yref mot dybden Positiv verdi ved økning i styrken mot dybden

xref m Horisontal posisjon for yref

yref m Referansedybde for endring av udrenert

skjærstyrke Se også xref og Δyref/Δx (basert på koordinatsystemet som benyttes i Plaxis modellen)

Δyref/Δx - Endring i yref som funksjon av x fra xref Basert på koordinatsystemet som benyttes i Plaxis modellen

suDSS/suA - Normalisert udrenert DSS ”peak”

skjærstyrke Typisk:

suP/suA < suDSS/suA < 1.0 suP/suA - Normalisert udrenert passiv ”peak”

skjærstyrke

τ0/suA - Initial skjærmobilisering For NC leire:

τ0 = (1-K0)σy0’/2 suAr/suA - Normalisert udrenert aktiv residual

skjærstyrke ≤ 1.0

suDSSr/suA - Normalisert udrenert DSS residual

skjærstyrke ≤ suDSS/suA

suPr/suA - Normalisert udrenert passiv residual

skjærstyrke ≤ suP/suA

(suAr/suA = 1.0, suDSSr/suA = suDSS/suA og suPr/suA = suP/suA → NGI-ADP uten

“softening”) γpC % Skjærtøyning ved ”peak” udrenert treaks

trykkstyrke, suA

γpDSS % Skjærtøyning ved ”peak” udrenert DSS styrke, suDSS

(17)

Param. Benevn. Beskrivelse Kommentar γpDSS % Skjærtøyning ved ”peak” udrenert DSS

styrke, suDSS

γpE % Skjærtøyning ved ”peak” udrenert treaks strekkstyrke, suP

γrC % Skjærtøyning ved residual udrenert treaks trykkstyrke, suAr

> γpC

γrDSS % Skjærtøyning ved residual udrenert DSS styrke, suDSSr

> γpDSS

γrE % Skjærtøyning ved residual udrenert treaks strekkstyrke, suPr

> γpE

(ofte γrC = γrDSS = γrE)

c1 - Softeningparameter 1 > 1.0

c2 - Softeningparameter 2 ≤ c1 (c1 = c2 anbefales)

ν - Drenert tverrkontraksjonstall = 0 til 0.495

(0.495 gir udrenert på totalspenningsbasis)

νu - Udrenert tverrkontraksjonstall = 0.495

α - Paremeter for ”ikke-lokal tøyning”

α = 1.58 → Tykkelse av skjærbånd i 1D ≈ π ∙ lint

α = 1 ”vanlig” ikke-lokal tøyning med Gauss fordeling, etter Eringen (1981)

α = 0 → ikke-lokal tøyning skrues av α = -1 → tosidig Weibull fordeling etter Galavi og Schweiger (2010)

α = 2 anbefales (Jostad og Grimstad 2011) α = 1.58 → Tykkelse av skjærbånd i 1D ≈ π ∙ lint

α = 1 ”vanlig” ikke-lokal tøyning med Gauss fordeling, etter Eringen (1981) α = 0 → ikke-lokal tøyning skrues av α = -1 → tosidig Weibull fordeling etter Galavi og Schweiger (2010)

lint m Intern lengde Typisk lik elementstørrelsen

1-l*/l - Skaleringsparameter Hvis skalering ikke er ønsket benyttes (1-l*/lint) = 0 (Default)

INT.

TYPE - 1 (anbefales), 2 eller 3 for ulik valg av interpolasjon av peak/residual tøyninger (se vedlegg A)

GS –

pl/tot Plastisk (= 0; anbefales) eller total tøyning (= 1) som input i Galavi og Schweiger sin ikke-lokale tøyningsformulering

Debug - Skriver diverse info til usrdbg.txt for et ”tilfeldig” integrasjonspunkt

( )

^*

p* p p p

r r p p

l γ = γ −γ ⋅ l +γ

(18)

Rev.nr.: 0 Side: 15

Figur 3.1 Input for NGI-ADPSoft med ”ikke-lokal” tøyning (bare de 7 første parametrene er vist)

3.2 Beregninger

Siden en koblingsmatrise av integrasjonspunkter (integrasjonspunkter innen en radius på 3∙lint for hvert integrasjonspunkt) må initialiseres kan oppstartstiden ved hver fase oppfattes som lang. Koblingsmatrisen lagres i en binærfil i Plaxis prosjektmappen for analysen. Koblingsmatrisen (den binære fila) oppdateres mellom hver beregningsfase. Dette gjøres for å kunne ta hensyn til endring av geometri (for eksempel ved utgravninger etc.). Siden matrisen leses inn i hver iterasjon er det mest effektivt (med hensyn på regnetid) å regne lokalt på harddisken på maskinen som brukes, i stedet for på en server.

I Tabell 3.2 vises en oversikt over mulige beregningsalternativer for NGI- ADPSoft modellen. Merk at ”(v)” betyr at det skal være mulig å utføre en slik beregning, men at modellen ikke er ment brukt til dette formålet.

(19)

Tabell 3.2 Beregningsalternativer

Ja Nei Ikke aktuelt

Plastisk analyse ”Plastic analysis” v

Konsolidering ”Consolidation” (v) V

”Phi/c reduction” v V

Dynamisk analyse ”Dynamic analysis” (v) V

Store forskyvinger (”Update mesh”) v

”Stage construction” v

”Total multipliers””Stage construction” v

”Incremental multipliers””Total multipliers” v

”Incremental multipliers” v

3.3 Resultater

I programmet PLAXIS Output er det i tillegg til vanlig funksjonalitet en mulighet til å vise konturplott av tilstandsparametere. Disse finnes under Stresses and State Variables. Tabell 3.3 gir en oversikt over tilstandsparameterne for NGI-ADPSoft modellen med ”ikke-lokal” tøyning.

Tabell 3.3 Tilstandsparametre for output StVar Navn Beskrivelse

Variable parametere

1 γp plastisk skjærtøyning

2 κ1 ”hardening” parameter ( = 1 ved og etter full mobilisering av

”peak” skjærstyrke, initielt = 0) 3 κ2 ”softening” parameter

( = 0 ved ”peak” og = 1 ved ”residual”) Konstante parametere

4 suA Udrenert aktiv ”peak” skjærstyrke 5 Gur Av og re-belastningsskjærmodul

6 τ0 Initial skjærspenning uten plastiske tøyninger Andre

7-10 Hjelpeparametere / ikke i bruk

4 Eksempler 4.1 Skjærkolonne

En idealisert ”1D” skjærkolonne med høyde 1 m og bredde 0.01 m er simulert.

Lokalisert skjærbrudd er oppnådd ved å inkludere et svakt element (suA er redusert med 1%) nær midt i kolonnen. Seks-knutepunkts trekantelementer er brukt.

Materialparameterne er gitt i Tabell 4.1. I tillegg er α = -1 (Galavi & Schweiger),

(20)

Rev.nr.: 0 Side: 17

c1= c2 = 2.3836 (lint = 0.1 og 0.05 m, og (1-l*/ lint) = 0 (uten skalering av softeningskurven) og 0.5 (halvering av skjærsonen ved å skalere softeningskurven) brukt i de ulike analysene. To ulike nett er brukt: Grov (44 elementer) og Fin (184 elementer), begge med to elementer over bredden. Figur 4.1 viser at man får samme resultat (nettuavhengige resultat) med de to nettene.

Grimstad et al. (2010) har vist at dette også er tilfelle for ”ikke-lokal tøyning” (α = 1.58). Magentarød og cyanblå kurvene viser at ved å skalere softeningkurven, (1-l*/ lint) = 0.5, så kan man i 1D oppnå nesten samme resultat med et grovt nett og en for stor indre lengde (for stor skjærbåndtykkelse) som med et fint nett og ønsket indre lengde (skjærbåndtykkelse). Merk at disse simuleringene var utført med veldig liten global toleranse (manuell endring av løsningsalgoritme data) for å sikre at lokalisert skjærbrudd skjer ved ”peak” last.

Tabell 4.1 Jordparametere for NGI-ADPsoft modellen ”skjærkolonne”

Gur/suA suDSS/suA suP/suA suAr/suA suDSSr/suA suPr/s^A γpC γpDSS γpE γrfC γrDSS γrE τ0/suA

500 0.7 0.4 0.1 0.1 0.1 1.5% 2% 4.5% 20% 20% 20% 0.7

For øvrig vises det til Jostad og Grimstad (2011) (Vedlegg C) for mer detaljer ved simulering av ulike metoder for en skjærkolonne.

Figur 4.1 Last-forskyvningskurver for ”skjærkolonne” med ulike indre lengder og skalering av softeningkurven

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0 5e-3 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

|U| [m]

Fx [kN/m]

Homogen l_int = 0.05 m, grov

l_int = 0.05 m, fin l_int = 0.025 m, fin l_int = 0.05 m, l*/l = 0.5, grov

(21)

4.2 Biax (udrenert plantøyning kompresjonstest)

En plantøyning kompresjonstest (biax) er simulert. Høyden av biaxen er 0.1 m og bredden er 0.05 m. Parameterne som er brukt i simuleringene er gitt i Tabell 4.2 i tillegg er lint = 0.01, 0.005, 0.0025 og 0.00125 m og α = –1 (Galavi &

Schweigher) brukt som input. Lokalisering i biaxen er oppnådd ved hjelp av helt rue (”fixed”) endeflater.

Tabell 4.2 Jordparametere for NGI-ADPsoft modellen i biax simuleringene

r/suA γpC γpDSS γpE γrfC γrDSS γrE τ0/suA

500 0.7 0.4 0.1 0.1 0.1 1.5% 2% 4.5% 20% 20% 20% 0.7

Resultatene i Figur 4.2 viser at helningen av den globale softeningkurven (last mot forskyvning), som er styrt av tykkelse på skjærbåndet. Denne tykkelsen kontrolleres ved å endre den indre lengden og indirekte ved å skalere softeningkurven. Men man oppnår ikke samme oppførsel ved passering av

”peak” ved de to forskjellige metodene. Dette kan indikere at skalering ikke fungerer godt i dette området, eller at det er toleransen som ikke har vært streng nok og man har derfor tillatt en del softening uten at man har fått lokalisering i det man passerte ”peak”.

Figur 4.2 Last-forskyvningskurver for biax med forskjellige verdier for indre lengde og skaleringsparamter (1-l^*/lint)

0 1,e-3 2,e-3 3,e-3 4,e-3 5,e-3

0,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

Uy [m]

Fy [kN/m]

"Grov", l=0.01 m

"Grov", l = 0.01 m, l*/l = 0.5

"Fin", l = 0.005 m

"Grov", l = 0.005 m

"grov", l = 0.005 m, l*/l = 0.5

"Fin", l = 0.0025 m

"Fin", l = 0.00125 m

"Fin", l = 0.0025, l*/l = 0.5

"Grov", l = 0.005 m, l*/l = 0.25

"Grov", l = 0.005 m, l*/l = 0.1...

(22)

Rev.nr.: 0 Side: 19

Ved ”lokalisering” Ved ”maks” softening

hastighet Ved residual

Figur 4.3 Konturer av κ2 for ”fint” nett og lint = 0.0025 m (blå er lik 0 og rød er lik 1)

Ved ”lokalisering” Ved ”maks” softening

hastighet Ved residual

Figur 4.4 Konturer av κ2 for ”fint” nett og lint = 0.00125 m (blå er lik 0 og rød er lik 1)

(23)

4.3 Enkel skråning

For å demonstrere effekten av ”ikke-lokal tøyning” i et stabilitetsproblem er det samme eksemplet som finnes i Grimstad et al. (2010), da regnet med BIFURC, brukt som eksempel. Geometrien for det aktuelle problemet er definert i Figur 4.5. Problemet består av en 10 m høy enkel skråning med helning på 45° og med belastning på et 5 m bredt stivt fundament på toppen av skråningen. Antall elementer er 826 15 noders elementer som gir totalt 9912 integrasjonspunkt i modellen.

Tabell 4.3 Jordparametere for NGI-ADPsoft modellen for enkel skråning

r/suA suDSS

r/suA suP

500 0.67 0.5 0.5 0.5 0.5 1% 5% 10% 20% 20% 20% 0.25

Problemet er analysert med 3 ulike verdier for α, 1.58, 0 (ingen regularisering) og -1 (tosidig Weibull fordeling som beskrevet i Galavi og Schweiger (2010)).

I tillegg er lint = 0.2 m brukt. Figur 4.6 gir normalisert last-forskyvningskurver (q/suA mot δv) i punkt A i bakkant av fundamentet. De to regulariserte beregningene ender opp med en liten forskjell i maks last og residuallast som skyldes at effektiv skjærbåndtykkelse er litt forskjellig i de to tilfellene.

Skjærbåndtykkelsen uten regularisering (α = 0) er gitt av elementnettet og er dermed mindre enn for de to analysene med regularisering. Resulterende konturplot av skjærtøyning, εs, er gitt ved maks oppnådd last i Figur 4.7, Figur 4.8 og Figur 4.9 for de respektive input av α. Forøvrig var beregningstiden for de to ulike regulariserte beregningene omtrent lik. Basert på dette kan man ikke gi en grunn til å velge den ene metoden framfor den andre. Figur 4.10 viser konturplot av ”softeningparameteren” κ2 ved residuallast for α = 0 og α = -1.

Man kan se at bruddmekanismen (område med residual styrke) er forskjellig med regularisering og uten.

Figur 4.5 Elementmodell av en enkel skråning med et stivt fundament på toppen

A

(24)

Rev.nr.: 0 Side: 21

Figur 4.6 Normalisert last-forskyvningskurver, q/suA mot δΑ, for fundamentet med ulik input for α

Figur 4.7 Skjærtøyning ved maks last med α = 1.58

0 0,1 0,2 0,3 0,4

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

|U| [m]

Sum-MloadA

alpha = 1.58

alpha = -1 alpha = -1 (Total strain)

alpha = 0

(25)

Figur 4.8 Skjærtøyning ved maks last med α = -1

Figur 4.9 Skjærtøyning ved maks last med α = 0

(26)

Rev.nr.: 0 Side: 23

α = -1 (Galavi og Schweiger, 2010) α = 0

Figur 4.10 ”Softening parameter”, κ2, ved residuallast (dvs. ved forskyvning på ca. 0.8 m) for α = -1 og for α = 0

4.4 Bæreevne problem ”uten” singulære punkt

Bæreevneproblemet analysert i seksjon 4.3 har singulære punkt i ytterkantene av det stive fundamentet. Grimstad at al. (2010) demonstrerte at ved å regne på forskjellige elementnett med bruk av ”ikke-lokal tøyning” så var ikke resultatene perfekt nettuavhengige. En hypotese er at dette skyldes problemer med å regularisere nær de singulære punktene. Derfor er også et bæreevneproblem uten disse singulære punktene analysert. I analysene er jordparametere fra Tabell 4.4 brukt. Dobbel Weibull fordelig (α = -1) er brukt i analysene. Initialspenningene er generert slik at man har initialt konstant vertikalspenning mot dybden og horisontalspenning slik at initial maksimal skjærspenning er lik med τ0. Figur 4.11 og Figur 4.12 viser det grove og det fine elementnettet brukt i analysene. Elementene som er brukt er 15 noders elementer. I Figur 4.13 kan man se det veldig fine nettet som er brukt i noen av analysene. Figur 4.14 viser normaliserte last-forskyvningskurver (q/suA mot δv) for α = 0 (uten regularisering). Som forventet øker graden av ”softening”

med antall elementer. I Figur 4.15 kan man se at for det fine og det veldig fine nettet har man fått tilnærmet perfekte nettuavhengige last-forskyvningskurver, mens for det grove nettet har man fremdeles en liten diskretisersingsfeil. Dette betyr at lint = 0.2 m er tilstrekelig stor for det fine nettet til å oppnå nettuavhengig resultat. Mens for det grove nettet er lint = 0.2 m litt for stor. På samme måte viser Figur 4.16 at lint = 0.04 m er for liten for det fine nettet. Man kan ikke konkludere mht det superfine nettet uten ytterligere forfining. Men konkusjonen er at uten singulære punkter vil man lettere kunne regularisere problemet med bruk av ”ikke-lokal tøyning”.

Tabell 4.4 Jordparametere for NGI-ADPsoft modellen benyttet i bæreevne- problemet

500 0.75 0.5 0.05 0.05 0.05 3% 3% 3% 75% 75% 75% 0.25

(27)

Figur 4.11 Grovt nett

Figur 4.12 Fint nett

Figur 4.13 Veldig fint nett

(28)

Rev.nr.: 0 Side: 25

Figur 4.14 Last-forskyvningskurver med forskjellig diskretisering, uten bruk av ”ikke-lokal tøyning”

Figur 4.15 Last-forskyvningskurver med forskjellig diskretisering, med bruk av ”ikke-lokal tøyning” (α = -1 og lint = 0.2 m)

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 1 2 3 4

|U| [m]

Sum-MloadA

alpha = 0

"Grovt nett"

"Fint nett"

"Super fint nett"

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 1 2 3 4 5

|U| [m]

Sum-MloadA

alpha = -1

"Grovt nett"

"Fint nett"

"Super fint nett"

L = 0.2 m

(29)

Figur 4.16 Last forskyvningsplot med forskjellig diskretisering, med bruk av ”ikke-lokal tøyning” (α = -1 og lint = 0.04 m)

5 Konklusjoner

Denne rapporten beskriver og demonstrerer bruken av NGI-ADPSoft-modellen med ”ikke-lokal tøyning” for beregning av udrenert bruddutvikling i sensitive leirer. En ”ikke-lokal” tøyningsformulering er en enkel og effektiv måte å regularisere ”softening”-oppførselen som er typisk for sensitive leirer.

Regulariseringsmetoden benyttes til å kontrollere skjærbåndtykkelsen i

”softening” sonen. For en antatt ”effektiv” undrenert skjærbåndtykkelse kan man ved hjelp av denne modellen kunne regne på bruddproblemer ved bruk av Plaxis 2D, som innholder både anisotropi i udrenert skjærstyrke og ”softening”, uten å få resultater som er sterkt påvirket av det valgte elementnettet. Dette forutsetter at elementnettet er tilstrekkelig fint for det aktuelle problemet.

Effekten av å endre skjærbåndtykkelsen kan også enkelt undersøkes.

Men, følgende forutsetninger må tilfredstilles for at metoden skal være effektiv:

• En tilnærmet uniform materialoppførsel og skjærspenningsfordeling innenfor skjærbåndet.

• Den indre lengden er større eller tilnærmet lik elementstørrelsen innenfor den aktuelle bruddsonen

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 1 2 3 4

|U| [m]

Sum-MloadA

alpha = -1

"Fint nett"

"Super fint nett"

L = 0.04 m

(30)

Rev.nr.: 0 Side: 27

Jostad og Grimstad (2011) har vist at ”utvidet ikke-lokal” formulering er mest effektiv. Derfor anbefales α > 1 hvor α = 2 ser ut til å være mest optimalt. Det betyr at formuleringen fra Galavi og Schweiger (2010) i utgangspunktet ikke anbefales, da den hverken er mer robust eller mer effektiv.

Som delvis illustrert i denne rapporten og i Grimstad et al. (2010) så anbefales det at skalering av ”softeningkurven” brukes med forsiktighet og kun for å studere sensitiviteten av å redusere skjærbåndtykkelsen.

Effekten av tøyningshastighet og lokal drenasje må indirekte tas hensyn til ved valg av input parametere.

6 Referanser

Andresen, L. and Jostad, H.P. (2002), “A constitutive model for anisotropic and strain-softening clay” Numerical Models in Geomechanics - NUMOG VIII. Rome, Italy, pp. 79-84.

Bjerrum, L. (1973), “Problems of Soil Mechanics and Construction on Soft Clays, State of the Art Report to Session IV”, 8th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Moscow, pp. 111-159.

Brinkgreve, R.B.J (1994), Geomaterial Models and Numerical Analysis of Softening, PhD thesis, TU Delft, Delft, The Netherlands.

de Borst, R. and Heeres, O. M. (2002), “A unified approach to the implicit integration of standard, non-standard and viscous plasticity models”, Int. J.

Numer. Anal. Meth. Geomech. 26, pp- 1059–1070.

Eringen, A.C. (1981), “On non-local plasticity”, Int. J. Eng. Science, 19, pp.

1461-1474.

Galavi, V. and Schweiger, H.F. (2010), “Nonlocal Multilaminate Model for Strain Softening Analysis” International Journal of Geomechanics, 10, pp. 30- 44.

Grimstad, G., Andresen, L. and Jostad, H.P. (2011), “NGI ADP: Anisotropic Shear Strength Model for Clay”, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, DOI: 10.1002/nag.1016

Grimstad, G., Andresen, L. and Jostad, H.P. (2010), “Undrained capacity analyses of sensitive clays using the nonlocal strain approach”, 9th HSTAM International Congress on Mechanics, Limassol, Cyprus, 12 – 14 July, 2010 Gylland, A. (2009): ”Progressiv bruddutvikling i sensitive leire”.

Geoteknikkdagen 27. november 2009

(31)

Hill, R. 1958. “A general theory of uniqueness and stability in elastic plastic solids”, J. Mech. Phys. Solids, 6, pp. 236 -249.

Jostad, H.P., and Grimstad, G., 2011, “Comparison of distribution functions for the non-local strain approach”, 2^nd International Symposium on Computational Geomechanics (ComGeo II), Cavtat-Dubrovnik, Croatia, 27-29 April, 2011.

NGI (2008), Report No. 20081970-1, NGI-ADP Anisotropic shear strength model. 30 June 2008

Thakur, V. (2007): ”Strain lokalization in sensitive soft clays”.

Ph.D. Thesis ved NTNU.

Vardoulakis, I, (1985), “Stability and bifurcation of undrained, plane rectilinear deformations on water-saturated granular soils”, Int. J. Num. and Anal. Meth.

In Geomech., 9, pp. 399-414.

(32)

Rev.nr.: 0 Vedlegg A, side 1

Vedlegg A - Matematisk formulering for NGI-ADPSoft

Innhold

A1 Flytekriterium 2

A2 Interpolasjon av karakteristiske plastiske tøyninger 4

p:\2009\21\20092128\leveransedokumenter\rapport\a1\final\20092128-00-4-r_vedlegga_a1_endelig.docx

(33)

A1 Flytekriterium

( )

ˆ2 1

(

1 2

)

2 0

2 2

A P A P

u u u r u r

s s s s

F = H ω ⋅J − ⋅ −κ κ ⋅ ⁺ −κ ⋅ ⁺ = (A.1)

Hvor:

( )

cos² 1arccos 1 2

(

1

)

H ω = ^6 − aω ^, ³²₃

2

27 ˆ 4 ˆ

J

ω= J , a₁→1 gir eksakt Tresca

1

2 /

1 /

p p

p

p p

p

γ γ

κ ^{= ⋅} +γ γ når γ^p <γ_p^p ellers κ₁=1, (A.2)

2 0

κ = når γ^p ≤γ_p^p

1 2

2 2

c c

p p p p

p p

p p p p

r p r p

γ γ γ γ

κ γ γ γ γ

 −   − 

= −    ⋅ − −  når γ_p^p <γ^p <γ_r^p ellers κ₂ =1 (A.3) hvor γ^p, γppog γrp er plastisk skjærtøyninger, plastisk “peak” skjærtøyning og plastisk

”residual” skjærtøyning. γpp and γrp kan være avhengige av hovedspenningsretningene. Interpolasjonen for γpp or γrp som funksjon av spenning er gitt seinere. For c1 = 1.0 og c2 = 0 vil softeningkurven være lineær fra peak- til residual-skjærtøyning.

I den opprinnelige versjonen av NGI-ADPSoft så var κ2 definert som:

2 0

κ = når γ^p ≤γ_p^p

2 1 1 cos 2

p p

p

p p

r p

γ γ

κ π

γ γ

  − 

= ⋅ −  ⋅ −  når γ_p^p <γ^p <γ_r^p ellers κ₂ =1 (A.4)

For c1 = c2 = 2.3836394 er κ2 forløpet tilnærmet identisk for de to formuleringene.

Figur A1.1 viser spenning-tøyningsforløp for NGI-ADPSoft med ulike verdier av c1

og c2.